2018高考·数学-第14章第三讲离散型随机变量与其分布列、均值与方差

2018高考·数学-第14章第三讲离散型随机变量与其分布列、均值与方差第一页，共43页。目录Contents考情精解读考点1考点2A.知识全通关B.题型全突破考法1考法2考法4考法3C.能力大提升专题1专题2第二页，共43页。考情精解读第三页，共43页。考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲011.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差第四页，共43页。考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域离散型随机变量及其分布列、均值与方差【100%】全国Ⅰ,19,12分

·全国Ⅱ,18,12分2016天津,16(Ⅱ)2016山东,19(Ⅱ)2015山东,19,12分2015天津,16(Ⅱ)2014山东,18,12分2014江苏,22,10分2014浙江,12,4分2014天津,16(Ⅱ)第五页，共43页。考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测

本讲内容通常与古典概型、二项分布、计数原理、事件的互斥等知识综合考查,以解答题为主,分值5~12分.2.趋势分析

预测2018年,以实际问题为背景,求解离散型随机变量的分布列、均值与方差仍是高考对本讲内容考查的热点和重点.命题趋势

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差第六页，共43页。知识全通关第七页，共43页。知识全通关1考点1

离散型随机变量的分布列继续学习高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η,…表示2.离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量...【说明】若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量第八页，共43页。知识全通关2

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习【辨析比较】随机变量和函数的联系与区别联系:随机变量和函数都是一种映射,随机变量是随机试验结果到实数的映射,函数是实数到实数的映射;随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.区别:随机变量的自变量是试验结果,而函数的自变量是实数x.第九页，共43页。知识全通关3继续学习

高考帮数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差3.离散型随机变量的分布列的表示一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则下表称为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.为了简单起见,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.4.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤x≤xj)=Pi+Pi+1+…+Pj(i<j且i,j∈N*).Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第十页，共43页。知识全通关4高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习【说明】分布列的性质（2）的作用：可以用检查所写出的分布列是否有误，还可以求分布列中的某些参数。【名师提醒】1.求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率.2.在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理，古典概型等知识求解。第十一页，共43页。知识全通关4

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习1.两点分布如果随机变量X的分布列为,称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.X01P1-pp考点2常见的离散型随机变量的概率分布模型第十二页，共43页。知识全通关4

高考帮·数学第一讲随机事件的概率继续学习【说明】(1)两点分布的实验结果只有两种可能,且其概率之和为1;(2)两点分布又称0—1分布,其应用十分广泛.2.超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列

为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.第十三页，共43页。知识全通关5高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习m=min{M,n}的理解m为k的最大取值,当抽取的产品件数不大于总体中次品件数,即n≤M时,k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m=n;当抽取的产品件数大于总体中次品件数,即n>M时,k的最大值为m=M.【名师提醒】第十四页，共43页。知识全通关6高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习考点3

离散型随机变量的均值与方差1.离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.称D(X)=[xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn【辨析比较】随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系随机变量的均值，方差实常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化.第十五页，共43页。知识全通关7高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习2.均值与方差的性质若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则均值的性质:(1)E(k)=k(k为常数);(2)E(aX+b)=aE(X)+b;(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);(4)若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).(5)两点分布的均值:若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p.(6)二项分布的均值:若X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np.方差的性质:(1)D(k)=0(k为常数);(2)D(aX+b)=

a2D(X);(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2;(4)若X服从二项分布,即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).第十六页，共43页。返回目录

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差题型全突破8【名师提醒】(1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的,可取不同的值,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均状态.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.(3)方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负的.第十七页，共43页。题型全突破第十八页，共43页。考法1离散型随机变量分布列性质的应用继续学习

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差题型全突破1考法指导

分布列的应用主要体现在分布列性质上的应用,离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的应用:(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.第十九页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破2考法示例1

设X是一个离散型随机变量,其分布列为则q=

;P(X≤2)=

.

思路分析

根据性质,使每一个变量取值的概率在[0,1]内、其总和等于1,即可求解q的值.把P(X≤2)转化为P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)进行求解.X123Pq21-q-1第二十页，共43页。高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破3【解析】

由分布列的性质得:由①②③,得≤q≤由④,得由分布列可知X的可能取值只有1,2,3,故第二十一页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破4【突破攻略】求随机变量在某个范围内的取值概率时,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.第二十二页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差考法2求离散型随机变量的分布列、期望与方差继续学习题型全突破5考法指导

1.求解离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)根据分布列的性质对结果进行检验.2.期望与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取的值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.第二十三页，共43页。高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破6考法示例2

某品牌汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为1.5万元;分12期或15期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的a,b值;(2)若以频率作为概率,求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用分9期付款”的概率P(A);(3)求η的分布列及均值E(η).

付款方式分3期分6期分9期分12期分15期频数4020a10b第二十四页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破7【思路分析】(1)根据统计数据和频率的计算公式可直接求出a,b的值(2)事件A是一个独立重复试验,包含两个互斥事件——没有顾客分9期付款与只有1位顾客分9期付款,故先根据题意把频率换成概率即可求解;(3)顾客选择付款的期数只能是3,6,9,12,15,根据题意得到付款期数与利润的关系,然后合并利润相同的事件,确定η的取值,然后求出其对应的概率值,则易得η的分布列与均值.第二十五页，共43页。高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破8【解析】

（1)由

=0.2,得a=20.又40+20+a+10+b=100,则b=10.(2)记分期付款的期数为ξ,依题意,得则“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位分9期付款”的概率为P(A)=0.83+×0.2×(1-0.2)2=0.896.第二十六页，共43页。高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破9【解析】

由题意,可知ξ只能取3,6,9,12,15.而ξ=3时,η=1;ξ=6时,η=1.5;ξ=9时,η=1.5;ξ=12时,η=2;ξ=15时,η=2.所以η的可能取值为1,1.5,2,且P(η=1)=P(ξ=3)=0.4,P(η=1.5)=P(ξ=6)+P(ξ=9)=0.4,P(η=2)=P(ξ=12)+P(ξ=15)=0.1+0.1=0.2.故η的分布列为

η的均值E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元).η11.52P0.40.40.2第二十七页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差考法3超几何分布的求解继续学习题型全突破10考法指导

1.随机变量是否服从超几何分布的判断

(1)若随机变量X服从超几何分布,则满足如下条件:①该试验是不放回地抽取n次;②随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件),反之亦然.(2)一般地,设有N件产品,其中次品和正品分别为M1件,M2件(M1,M2≤N),从中任取n(n≤N)件产品,用X,Y分别表示取出的n件产品中次品和正品的件数,则随机变量X服从参数为N,M1,n的超几何分布,随机变量Y服从参数为N,M2,n的超几何分布.2.求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.第二十八页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破11

3.求超几何分布的均值与方差的方法(1)列出随机变量X的分布列,利用均值与方差的计算公式直接求解;(2)利用公式

求解.第二十九页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破12考法示例3

某项大型赛事,需要从高校选拔青年志愿者,某大学学生实践中心积极参与,从8名学生会干部(其中男生5名,女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X,求X的分布列及数学期望.【思路分析】先根据8名志愿者的构成,确定X的分布列的类型——超几何分布,进而确定相应的参数取值,并求出X的每个取值对应事件的概率,列出分布列,最后代入数学期望公式求值..第三十页，共43页。高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破13【解析】

解法一

因为8名学生会干部中有5名男生,3名女生,所以X的分布列服从参数N=8,M=3,n=3的超几何分布.X的所有可能取值为0,1,2,3,其中P(X=i)=(i=0,1,2,3).由公式可得P(X=0=P(X=1)=

P(X=2)=P(X=3)=X0123P第三十一页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差考法4利用期望与方差进行决策继续学习题型全突破14考法指导

利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策,其中随机变量ξ的期望的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1、ξ2的期望,当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好,需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度,偏离程度小的更好.(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时,一般先计算期望,若相等,则由方差来确定哪一个更好.若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近,且期望较大者的方差较小,显然该变量更好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时,应根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.第三十二页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破15考法示例4

有甲、乙两种棉花,从中各抽取等量的样品进行质量检验,结果如下:

其中X表示纤维长度(单位:mm),根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量.【思路分析】计算纤维长度的均值与方差→根据数值得出结论X甲2829303132P0.10.150.50.150.1X乙2829303132P0.130.170.40.170.13第三十三页，共43页。

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破16【解析】

由题意,得E(X甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30,E(X乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30.又D(X甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1,D(X乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=1.38,所以E(X甲)=E(X乙),D(X甲)<D(X乙),故甲种棉花的质量较好.第三十四页，共43页。高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差继续学习题型全突破17考法示例5

某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,也可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.第三十五页，共43页。返回目录

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差题型全突破18【解析】

若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为∴E(X1)=300×7/9+(-150)×2/9=200(万元).若按“项目二”投资,设获利X2万元,则X2的分布列为∴E(X2)=500×3/5+(-300)×1/3+0×1/15=200(万元).D(X1)=(300-200)2×7/9+(-150-200)2×2/9=35000,D(X2)=(500-200)2×3/5+(-300-200)2×1/3+(0-200)2×1/15=140000.所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.X1300-150P7/92/9X2500-3000P3/51/31/15第三十六页，共43页。能力大提升第三十七页，共43页。高考中的概率与统计问题继续学习

高考帮·数学第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差能力大提升11概率与统计的综合应用

示例6某制药厂对A、B两种型号的产品进行质量检测,从检测的数据中随机抽取10次,记录如下(数值越大表示产品质量越好):A:7.9,9.0,8.3,7.8,8.4,8.9,9.4,8.3,8.5,8.5;B:8.2,9.5,8.1,7.5,9.2,8.5,9.0,8.5,8.0,8.5.(1)画出A、B两种型号的产品数据的茎叶图;若要从A、B中选一种型号产品投入生产,从统计学角度考虑,你认为生产哪种型号产品合适?简单说明理由.(2)若将频率视为概率,对产品A今后的