函数模型及其应用精品

函数模型及其应用精品第一页，共二十二页，2022年，8月28日到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数（a≠0）第二页，共二十二页，2022年，8月28日例题：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？第三页，共二十二页，2022年，8月28日思考投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优

比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量

哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。第四页，共二十二页，2022年，8月28日分析

我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)第五页，共二十二页，2022年，8月28日x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4第六页，共二十二页，2022年，8月28日从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？第七页，共二十二页，2022年，8月28日累积回报表

天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论

投资1~6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。

第八页，共二十二页，2022年，8月28日例题的启示解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解第九页，共二十二页，2022年，8月28日例2、某蔬菜菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示：（1）、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）

0200300t100300P0tQ50150250300100150250第十页，共二十二页，2022年，8月28日解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:第十一页，共二十二页，2022年，8月28日(2)设时刻的纯收益为,则由题意得即时,配方整理得,所以当时,取得上的最大值当时,配方整理得所以当时,取得上的最大值;当综上,由可知,在上可以取得最大值100,此时=50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.第十二页，共二十二页，2022年，8月28日X0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.4191.51622.6393.4824.5956.063810.556…0.040.3611.963.244.846.76911.56…-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…例3.探究函数的增长情况并分析差异第十三页，共二十二页，2022年，8月28日第十四页，共二十二页，2022年，8月28日结论1：一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.第十五页，共二十二页，2022年，8月28日第十六页，共二十二页，2022年，8月28日结论2：一般地，对于指数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内，logax可能会小xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.第十七页，共二十二页，2022年，8月28日综上所述：(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数。(2)、随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n>0)的增长速度。(3)、随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n>0)的增长速度。总存在一个x0，当x>x0时，就有

logax<xn<ax第十八页，共二十二页，2022年，8月28日

某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是（）xyxyxyxyABCDB第十九页，共二十二页，2022年，8月28日

有一批材料可以建成200M的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形。（如图所示）则围成的矩形最大面积为_______________。解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（200－4x）m，则矩形面积为S＝x（200－4x）（0＜x＜50）,∴∴x＝25时，S有最大值2500m2．第二十页，共二十二页，2022年，8月28日

某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：⑴写出该城市人口总数Y（万人）与年份X（年）的函数关系式。⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）第二十一页，共二十二页，2022年，8月28日小结实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型解决问题几种常见函数的增长情况：一次函数对数函数指数函数y=kx+b;当k＞0时为增函数，当k=0时为常数函数，当k＜0时为减函数。