向量组的线性相关、行和秩

第六讲

向量组线相关和正文:一、何线性组合和关性：

1线性组设有向量组A:

1

,

2

,…,

m

任何一组实数:

1

,

2

,…,

m

,表达式

11

+

22

+

mm

,称向量组A的一个线性组合；同时，对于向量，如果存在一组数

1

,

2

,…,

m

，使得=

11

+

22

+…+

mm

，则称向量

能由向量组A线性表示。2相关性：于

11

+

22

+…+

mm

=0（

i

不全为零i=1,2，）,则称向量组A线性相关；否则称向量组A线性无关。314例：断向量组

1

=1,=6,=7的线性相关性。23005解：令

11

+

22

+

33

314=0，即167005

123

=0314由于A=167=850005

所以由克拉默法则知，该方程组只有零解，即

1

=

2

=

3

，所以

1

,

2

,线性无关。33、定理

向量组

1

,

2

m

(m线性相关的充分必要条件是向量组

A至少有一个向量可由其余m-1个量线性表示。4定理

向量组

1

,

2

,…,

m

线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(

1

,

2

,…,

m

)的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。例：设12

0

11

=1，=，211

3

=1，2

4

=，2试讨论向量组

1

,

2

,

3

,

4

及

1

,

2

,

3

的线性相关性。解:设(

1

12011201,,,)=101202132341122013可见R(

1

,

2

,

3

,

4

)=3小于向量个数4，故向量

1

,

2

,

3

,

4

线性无关；同时可得R(

1

,

2

,

3

)=3，等于向量个数，故向量组

1

,

2

,

3

线性无关。注意上述例1亦可由这一定理求解例矩阵的秩为3于向量的个数所以

1

,

2

,

3

线性无关。5向量组之间等价关和线性表示引例：知向量组21311

=4,=2,=，=4问否由2342140

1

,

2

,

3

线性表示4

？解：设有

1

,

2

,

3

使

11

+

22

+

33

=

4

,213可得方程组25214

123

1=40容易得出此方程无解，因此

4

不能由

1

,

2

,

3

线性表示。注意线性方程组

11

+

22

+…+

mm

=

有解的充分必要条件是向量

可以由向量组

1

,

2

,…,

m

线性表示。

因此，由线性方程组有解的充分必要条件，可得：定理向量可以由向量组A:

1

,

2

,…,

m

线性表示的充分必要条件是矩阵A=(

1

,

2

,…,

m

)的秩等于矩阵B=(

1

,

2

,…,

m

,)的秩。定义：向量组A:

1

,

2

,…,

m

中的每一个向量

i

均可由向量组：1

,

2

,…,

l

线性表示则称向量组A可由向量组B线性表示若量组A与向量组B可相互线性表示，则称向量组A与向量组等价。定理向量组：,1

2

,…,

l

能由向量组

1

,

2

,…,

m

线性表示的充分必要条件是矩阵A=(

1

,

2

,…,

m

)的秩等于矩阵B=(

1

,

2

,…,

l

)的秩,即R(A)=R(A,B)推论向量组：,1

2

,…,

l

与向量组

1

,

2

,…,

m

等价的充分必要条件是:R(A)=R(B)=R(A,B)13213例设

1

1=,1

2

=

11

,

1

=

01

,

2

=

10

,

3

1=,证明向量组,21

2

与13120向量组

1

,

2

,

3

等价。证：

记A=(

1

,

2

),B=(

1

,

2

,

3

),根据上述定理4推论，只需证明R(A)=R(B)=R(A,B)所以(A,B)=

13232111000000000可见，R(A)=R(B)=R(A,B)=2.6结论：（1）含有零向量的向量组一定是相关的；（2）一个向量组中有线性相关的部分组，则该向量组线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。二、向组的秩:1、义：设有向量组A果在A中能选出r个向量

1

,

2

,…,

r

足(1)向量:0

1

,

2

,…,

r

线性无关向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关则称向量组是向量组的A的一个极大无关向0

量组（简称极大无关组无关组中向量的个数称为向量组的秩，记R

A特别的若向量组A本身线性无关则A便是一个极大无关组；而只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0.极大无组的特点：大无关组A的部分值且都是相互线性无关的若在其中间加入任一剩余的向量便线性相关。343

1例：设

1

=,=1,=5,=7,234425

5

0,求A中一个极大无关0组，并将余下向量用这个极大无关组线性表示。解：A=

1

3431,,,,）=21570023454200

003101010

37/1516/156/5所以R(

1

,

2

,

3

)=R(

1

,

2

,

3

,

4

,

5