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§1数学期望第四章随机变量的数字特征一数学期望定义(1)离散型(2)连续型例2试问谁的射击水平高?例

3两点分布的数学期望例4(二项分布)设X～B(n,p),求EX.例5(正态分布)设

,求EX.解例

6Cauchy分布的密度函数为注意,并不是每一个随机变量都有数学期望.而二随机变量函数的数学期望(1)

若X的分布率为且绝对收敛,则定理1

设Y=g(X),g(x)是连续函数，推广到多维变量的函数，有解

例8设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域.求

EX，E(-3X+2Y)，EXY.三数学期望的性质v)若X,Y独立，则EXY=EXEYi)Ec=c，c是常数.ii)若，则例9(二项分布)设X～B(n,p),求EX.注意,我们在例4中已经由定义求出二项式分布随机变量的期望为np.一定义§2方差

方差描述了随机变量X与其均值EX的偏离程度。

例1方差计算的重要公式：证明容易.例

2

二项分布B(n,p)的方差二、方差的性质注：令，则EY=0,DY=1故称Y

是随机变量

X

的标准化随机变量。例3

(泊松分布)设X服从参数为泊松分布,则而故例4

(均匀分布)设随机变量X有密度函数则例5

(正态分布)设随机变量,则已有且

定理：（切比雪夫

(Chebyshev)不等式）设随机变量X的数学期望和方差都存在,则对任意的,都有证明(只证X是连续型)推论：DX=0

P{X=EX}=1.证略．或

Chebyshev不等式给出了随机变量X的分布未知情况下，事件的概率的一种估计方法。对比于正态分布,设,则因此，正态随机变量的值落在区间内几乎是肯定的,这就所谓的3σ原则。例6

假设一批种子的良种率为，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与之差的绝对值不超过0.02的概率。2.二项分布1.两点分布小结:重要随机变量的数学期望及方差3.泊松分布5.指数分布4.均匀分布6.正态分布§3.协方差及相关系数一定义

设X,Y

是两个随机变量,称

为随机变量X,Y的协方差.并称注

1.为随机变量X,Y的相关系数。2.

是一个无量纲的量；

3.若,则称X,Y不相关。问:不相关和独立性有什么关系?定理：若X,Y相互独立，则X,Y不相关。证明由数学期望的性质有又有所以即注意：定理意味着若X,Y

相关,则一定不独立。二协方差的性质三相关系数的重要性质证明思路:1)等价于Cauchy-Schwartz不等式;2)从右到左直接可证,从左到右注意:说明X

与Y

之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。例1可解得则有X，Y独立=0X，Y不相关。于是根据我们的讨论,在服从练习1

对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格(中止条件).

假设产品数量很大，抽查到废品的概率

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