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文档简介

一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线第七节偏导数的几何应用三、小结四、作业设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.

1.空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置——上式分母同除以割线的方程为切线的过程解.切线方程法平面方程例1.即设曲线直角坐标方程为法平面方程为2.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令切线方程为x为参数,两个柱面的交线例2.

在抛物柱面与的交线上,

求对应的点处的切向量.x为参数,于是解.所以交线上与对应点的切向量为:交线的参数方程为取

利用2.结果,

法平面方程为切线方程为在点

M(x0,y0,z0)处的解.例3.

切线方程和法平面方程.切线方程

将所给方程的两边对x求导法一法三公式法设曲线证.

因原点即于是证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为故有

在法平面上,任取曲线上一点例4.

今在曲面Σ上任取一条1.设曲面Σ的方程为的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线

函数的偏导数在该点连续且不同时为零.点M对应于参数

不全为零.过点M的曲线Γ,设其参数方程为

因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的曲面在M(x0,

y0,

z0)处的法向量:切平面方程为法线方程为所以曲面Σ上在点M的解.令切平面方程法线方程

例5.∥其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为注释1：关于因为(第三个分量为负),

求旋转抛物面在任意点P(x,y,z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).解.而为向下的法向量故向上的法向量应为:例6.因为曲面在M处的切平面方程:全微分的几何意义表示切平面上的点的竖坐标的增量.切平面上点的竖坐标的增量注释2：设曲面与切平面的切点为则因而故所求切平面方程

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