数理方程第三章行波法和积分变换法

数理方程第三章行波法和积分变换法23一维波动方程的达朗贝尔公式行波法

4结论：达朗贝尔解表示沿x

轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a

沿x

轴正向传播的波代表以速度a

沿x

轴负向传播的波4解的物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于05解：将初始条件代入达朗贝尔公式5达朗贝尔公式的应用6影响区域决定区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法6相关概念77非齐次问题的处理(齐次化原理)利用叠加原理将问题进行分解：8利用齐次化原理，若满足：则：令：9从而原问题的解为1011特征方程12例1解定解问题解13例2求解解：特征方程为令：14例3求解Goursat问题解：令15

思考题：求解如下定解问题16二积分变换法1傅立叶变换法傅立叶变换的性质微分性位移性积分性相似性傅立叶变换的定义偏微分方程变常微分方程17例1解定解问题解：利用傅立叶变换的性质1819例2解定解问题解：利用傅立叶变换的性质202拉普拉斯变换法拉普拉斯变换的性质微分性相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程21例3解定解问题解：对t求拉氏变换22例4解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换2324例5解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换2526例6求方程满足边界条件，的解。解法一：27解法二：对y求拉氏变换28例7解定解问题解：对t取拉氏变换x取傅立叶变换其中293031323积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中那些需要积分变换，那些不需取如何取逆变换思考利用积分变换方法求解问题的好处是什么？33三.三维波动方程的柯西问题34球对称情形所谓球对称是指与无关，则波动方程可化简为35半无界问题36这是关于v=ru

的一维半无界波动方程.37一般情形我们利用球平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑u

在以（x，y，z）为球心，r为半径的球面上的平均值其中为球的半径的方向余弦，38如把x,y,z

看作参变量，则是r，t的函数，若能求出，再令则为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球体内积分，并应用Gauss公式，可得（*1）39同时有由（*1）(*2)可得（*2）关于r微分，得（*3）利用球面平均值的定义，（*3）可写成（*4）40（*4）又可改写为41通解为令r＝

0，有代入上式，得（*5）关于r微分，再令r＝0，有（*6）42接下来，求满足初值的解。对（*5）关于t

微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得4344从而有4546Poisson公式47四.二维波动方程如果我们把上述问题中的初值视为重复推导Poisson公式的过程，将会发现所得Poisson公式中不含第三个变量。降维法：由高维波动方程的柯西问题的解