2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测评试题（含解析）

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为。的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为

8m,那么这两棵树在坡面上的距离4?为（）

B.qmD.2m

A.8cosamC.8sinam

cosasina

2、在股△力比中，ZC=90°,AC=5fBC=3,则si4的值是（）

A.叵B.?C.3D.叵

34543

3、已知锐角。满足tan（a+10。）=1,则锐角用。的度数为（）

A.20°B.35°C.45°D.50°

4、如图，在正方形中、E是的中点，尸是8上的一点，AEA.EF,则下列结论：（1）

sinZBAE=1；（2）BErABCF；（3）CD=3CF；（4）^ABE~^AEF.其中结论正确的个数有

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5、如图，飞机于空中4处测得目标5处的俯角为「，此时飞机的高度4C为4则46的距离为

()

A.atanaB.，一C.D.cosa

tanasina

6、在心“IBC中,Z6？=90°,N/、ZB、NC的对边分别为。、b、c,则下列式子一定成立的是

()

A.a=cs\nBB.a=ccosBC.c=-^—D.c=as\nA

tanB

CPI

7、如图，在AABC中，ZA8C=135。，点、P为AC上一点,且/P8A=90。，—贝hanNAPB的值

rAL

为()

A.3B.2D.石

8、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan。的值是（）

9、如图，某建筑物46在一个坡度为？=1：0.75的山坡比上，建筑物底部点6到山脚点C的距离

a-20米，在距山脚点C右侧同一水平面上的点。处测得建筑物顶部点力的仰角是42°,在另一坡

度为/=1：2.4的山坡座上的点9处测得建筑物顶部点4的仰角是24°,点£到山脚点〃的距离庞

=26米，若建筑物4?和山坡6G小的剖面在同一平面内，则建筑物4?的高度约为（）（参考

数据：sirflA0^0.41,cos24°^0.91,tan24020.45,sirA20^0.67.cos420-0.74,

tan42°七0.90）

A.36.7米B.26.3米C.15.4米D.25.6米

10、在“8，中，（2cosA-&『+|]-tanB|=0,则“宛一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在矩形48切中，BC=3AB,点尸在直线回上，且PC=AB,则N4阳的正切值为

2、在放/%C中，ZABC=9O°,AB=4,AC=4小,点。是AC边的中点，点E是3c边上一点，

连接DE,AE,将△曲）沿着。E翻折得到AG£D,连接CG,若NDGE=45°,则点G到边BC的距离

3、如图，在/"/"a'中，ZC^90°,6C=2有，力£2,点。是6C的中点，点£是边四上一动

点，沿龙所在直线把△皿,翻折到aS'龙'的位置，B'D交AB于点、F.若△46,产为直角三角形,

则46的长为一或__

3

4、如图，矩形如中，DEUC干点、E,NADE=a,Cosa=~,48=4,4?长为—

5、计算：78+2sin45°-^°=

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

,1

,.,2sin'6O——cot45

1、计算：2.

tan260+4sin45

2、解方程.

(1)2*+3X=3.

(2)计算：4sin30°+2cos45°-tan60°-2.

3、计算：-23x2-2+>/i8+tan45-(4sin60+1)°-|2-3^|.

4、如图，某风景区内有一瀑布，表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点〃处测得

瀑布顶端/的仰角4为45°,斜坡切的坡度/=3：4,切=100米，在观景台。处测得瀑布顶端/

的仰角a为37°,若点5、D、6在同一水平线上，求瀑布的落差力及（参考数据：SJ/737O七0.6,

cosil°g0.8,tanil°20.75）

5、计算：(1)卜夜卜2sin450+tan45°.

(2)4sin30°cos60。-tai?30°.

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB.

【详解】

解：•••坡角为a,相邻两树之间的水平距离为8米，

Q

•••两树在坡面上的距离AB=一一（米）.

cosa

故选：B.

【点睛】

此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力.

2、A

【分析】

先根据银河股定理求出AB,根据正弦函数是对边比斜边，可得答案.

【详解】

解：如图，

：NC=90°,4C=5,BC=3,

•*-AB=4AC2+BC2=734

8c_3_3后

sinA=

AB-734-34

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键.

3、B

【分析】

根据特殊角的三角函数值计算即可；

【详解】

'/tan(a+10°)=1,且tan45°=l,

a+10°=45°,

：.a=35°；

故选B

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键.

4、B

【分析】

首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：XBAEs丛CEF,则可证得②正确，①③错误，利用有

两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△力如2\力斯，即可求得答案.

【详解】

解：•.•四边形4609是正方形，

：.NB=4C=90°,AB=BC=CD,

,：AEVEF,

:.NAEF=NB=9Q°,

:.NBAE+ZAEB=9Q°,NAEB+FEC=9Q°,

:"BAE=4CEF,

:.XBAEsXCEF,

.ABCE

^~BE~~CF"

■:BE=CE,

:・BE=AB/CF.

♦：AB=2CE,

：.CF=；CE=-CD,

24

，CF4CF,

故②正确，③错误，

tanZ.BAE=BE-.AB=—,

2

胡肝30°,

sinNBAEwg故①错误；

设华=a,则应'=a?=2a,AB=CD=AD=4a,DF=3a,

:.AE=2逐a,EF=也a,AF=5a,

.AE_2&_2的BE=2a=2石

"~AF~5a~~T'~EF~7/5a~~T'

.AEBE

•：NABE=NAEF=9Q°,

:.AABEs4AEF,故④正确.

故选：B.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质.熟练掌握相似三角形的

判定与性质是解题的关键.

5、C

【分析】

AC

根据题意可知=根据sinZA5C=牛，即可求得A3

【详解】

解：•・・飞机于空中/处测得目标8处的俯角为。，AC为a,

ZABC=a

Ar

・・•sinZABC=—

AB

,nACa

sinZ.ABCsina

故选c

【点晴】

本题考查了正弦的应用，俯角的意义，掌握正弦的概念是解题的关键.

6、B

【分析】

根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可.

【详解】

解：由题意可得，如下图:

sinA=-,则a=0sinA,A选项错误，不符合题意；

c

cosB=-,贝lja=c.cos8,B选项正确，符合题意；

C

tan8=2,贝C选项错误，不符合题意；

atanB

sinA=@,则二，D选项错误，不符合题意；

csinA

故选B,

【点睛】

此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解.

7、A

【分析】

过点、P作PD〃AB交BC千点、D,因为/ABC=135。，且/P8A=90。，则tanN阳庐tan45°=1,得出

CP1

PB=PD,再有弁=不，进而得出tanN力阳的值.

【详解】

解：如图，过点P作PO〃A8交BC于点。，

，△CPD^/XCAB,

.ACAB

"~PC~'PD'

c

D

VZABC=135°,且ZPB4=90。，

：・ZPBD=45。,

/.tanZ.PBD=tan45°=1,

/.PB=PD,

又♦匹-

.AC_.

••一3,

PC

.*/.DRABABAC2

..tanNAPB=-----=-----=-----=3.

PBPDPC

故选A.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行

求解.

8、A

【分析】

根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可.

【详解】

解：如图所示，在直角三角形46c中//⑪90°,A(=2,肝4,

21

tan；=7

故选A.

r

【点睛】

本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义.

9、I)

【分析】

如图所示，过£点做切平行线交4?线段为点从标46线段和切线段相交点为G和〃由坡度为，=

1：0.75,6c=20可得除16,G6M2,由坡度为/=1：2.4,比'=26可得上24,上10,分别在在

4GAH

△AGB中满足一=tan42°,在中满足——=tan24°化简联立得力庐25.6.

GDHE

【详解】

如图所示，过瓦点做切平行线交4?线段为点〃，标46线段和切线段相交点为。和〃

•.,在ABGC中a'=20,坡度为i=l：0.75,

，BG2+GC2=BC2,

3

...BG2+(-BG)2=BC2,

4

222

：.BG+—BG=BCf

16

A—BG2=202,

16

25

A—BG2=400,

16

,16

・・・BG2=400x—,

25

・・・8G2=256,

/.BG=16,

3

・・・CG=」BG=12.

4

在△BGC中〃£=26,坡度为7=1：2.4,

/.DF2+EF2=DE\

[2

/.(—EF)2+EF2=DE2,

：.—EF2+EF2=DE2,

25

.当…,

£F2=676x—,

169

/.EF2=100.

...EF=10,

DF*EF=24,

AGAH

**.在AAGB中满足---=tan42°,在△AEH中满足---=tan24°,

GDHE

即猊符。，及"二。格

其中静16、BG=12、BH=BG-E六6、旌24,

AB+16=0.9(12+CO)①

代入化简得

"+6=0.45(36+CO)②

令2②-①有

2AB-AB+2x6-16=2x0.45x36-0.9xl2+20.45CZ)-0.9Cr>

・•・48—4=21.6,

A/15=25.6.

故选：D.

本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长

度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键.

10、D

【分析】

结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得（2cosA-&f=0,|l-tanB|=O,从而得改八孝，

tan3=1,根据特殊角度三角函数的性质，得ZA=45。，"=45。；根据等腰三角形和三角形内角和

性质计算，即可得到答案.

【详解】

解：：(2cosA-司+|l-tan8|=0

.,.QCOSA-A/^)=0,|l-tanB|=0

**•2cosA-V2=0,l-tanB=0

2

AZA=45°,Zfi=45°

?.ZC=180°-ZA-zJ?=90°,BC=AC

：.△力阿一定是等腰直角三角形

故选：D.

【点睛】

本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、

三角函数的性质，从而完成求解.

二、填空题

1、g或

【分析】

由题意可知当。在上时，。是的中点，即/斤秋；当P在4?延长线上时，BP-3AB,在直角三角

形中由正切公式求出即可.

【详解】

解：(1)如图1所示，

■:BO3AB,P(=AB,

：.BP=2PC,

又•••四边形4?切是矩形,

/.tanZ.APB=z-^-=—

BP2

(2)如图2所示,

D

■:BO3AB.POAB,

：.BP=4AB,

A31

.*•tan/APB^—=——.

BP4

综上所述N4处的正切值为;或9.

24

故答案为：；或!.

24

【点睛】

本题主要考查矩形性质和三角函数的定义，注意分类讨论思想的运用，解题的关键是分两种情况求出

46与跖的关系.

【分析】

如图所示，过点£作敬L4C于。，由翻折的性质可得，AE=EG,AD=DG,/EAD=/DGE=45°,

ZADE=ZGDE,贝ij/伊掰设则CH=AC-A"=4石-x,利用勾股定理先求出

BC=ylAC2-AB2根据tan/ACB=《|=黑，即可得到求出、=迪，从而求出

£>CnCo4vj-x3

EG=勺但LBE=~,CE=—,证明/〃G七/&X求出£>，=冬叵，得至I」E£)=JE42+»=旦

33333

AQ

过点〃作〃壮回于机过点G作或L8C于M则DM=CD.sinNOCM=C»］；=2,证明

AC

4GDE=NDGC,得到应〃GC,则N以拦NGM再由sinNGCN=sinNOEM="=』=丝，推出

DE5CG

CN=<CG?-GN2=卜小,设GN=y,则CN=gy,EN=EC-CN吟,由

由此求解即可.

【详解】

解：如图所示，过点£作股L4C于〃,

由翻折的性质可得，A行EG,AD=DG,N£4大N加层45°,NA限NGDE,

:.NAE+45°,

:.A即EH,

TSCAH=EH=x,贝lJC〃=AC-AH=4右一x,

在直角△四。中，由勾股定理得BC=屈了与F=8,

・・,/448EH

・tanNAC8==,

BCHC

・4_x

A8=4^T，

解得x=生叵，

3

，EG=AE=y]EH2+AH2=,

3

/.BE=yjAE2-AB2=-,

3

CE=BC-BE=—,

3

・"是4C的中点，

AD=DC=DG=2y/5,

：.ZDGOZDCG,DH=AD-AH=2y/5--=—,

33

ED=4EH'+HD2=—,

3

过点〃作DALLBC于时,过点G作GN1BC于N,

AR

：.DM=CD-sinZDCM=CD——=2,

AC

*：NDGC+ZDCM/CDg8G,NADE+/GDE+NCD,8G,

:./GD方/DGC,

C.DE//GQ

C.ADEOAGCE,

・

・・•sin/ZGC/V=.sin/n/DGE/fM=D-M--=-3=GN,

DE5CG

：.CG=-GN,

3

:.CN=yjCG2-GN2=-GN

39

4204

设GN=y,贝ijCN=§y,EN=EC-CN=---y,

*/EG2=EN2+GN2,

12

解得y=4或y=二，

520

・・•当y=4时，CG=^GN=-CE,不符合题意,

1?1?

・・・>二(,即点G到回的距离为?，

12

故答案为：—.

A

H

可

G

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与

判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解.

3、3；当

【分析】

分两种情况讨论：①当"时，△力外尸为直角三角形；②当阳时，△46'尸为直角

三角形.

【详解】

解：①当8'£时，ZUS'尸为直角三角形，如下图：

根据题意，B4B'E,BD=B'*BO6,N庐/如'F,

♦.•在北△/!比'中，Z^90°,於26,AO2,

，仍4BC2+AC'=42阿+2?=4,

sinZB=-=-,

42

：.NB=/EB'夕=30°,

:在应△破中，N於30。，

:.D*BD=&,

22

：.B'氏B‘D-D!^43--=—,

22

■:在.Rt丛B'跖中，4EB，/=30°,

:.E吟E,

■:后JB'E?_E尸2=—EV?=百EF,

即B=6EF,

2

:.E吟,贝IJ除1,

二心册止4-1=3.

②当如'LAB1时，△力夕夕为直角三角形，如下图:

连接血，过力作力ML"',交旗’的延长线于M

根据题意，BE=B'E,BAC庐B'介g小道，NDBE^NEB'F,

\•在欣△46C中，/年90°,肝2百，AC=2,

:，AB=JBC、AC。=#厨+2。=4，

sinZDBE=-=~,

42

:./DB即4EB'F=30°,

VAAB'490°,

:.NAB'E=ZAB'F+NEB'片120°,

：.Rt^AB'"中，/46'/60°,NB'^30°,

：.B'N=^AB',

在Rt/\AB'〃和履修中

[AD=AD

[B'D^CD'

:.RtAAB'D^Rt/XACD(HL),

:.AB'=4>2,

：.B1沪1,肝石，

设AE=x,则法B'京4-x,

在Rt丛AEN中，AN2+EN2=AE-,

：.(6)2+(4-x+l)-

.14

•.尸—

5

综上，小的长为3或*

14

故答案为：3或

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位

置变化，对应边和对应角相等.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理.

“16

4、T

【分析】

将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到N4密NO®a,求出AC的值，再由勾股定

理计算即可.

【详解】

•：,NDAE+NAD芹/ADE+NCDB=qG

"DAE=/CDE

又,：NDCE+NCDE=90°

：.AADE=^DCE=a

.3CD

..COSO—

又矩形ABCD中AB=CD=4

・•/IC--

3

在AADC中满足勾股定理有

3荷市=图二号

故答案为：y.

【点睛】

本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键.

5、3&T3夜

【分析】

先算化简二次根式，三角函数值和0次幕，再利合并同类二次根式即可得出答案.

【详解】

解：原式=2&+2x遮-1,

2

=2夜+夜-1，

=3&-1.

故答案为：30T.

【点晴】

本题考查的是实数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数累，比较简单，需要熟练掌握实

数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数幕是解题关键.

三、解答题

1、3-2日

【分析】

把30°、45°、60°角的各种三角函数值代入进行二次根式乘除混合计算，再分母有理化即可.

【详解】

2sin26O--cot45

：_________2

tan260+4sin45

、2x(不y、2——1xi,

22