名师高中数学解题思想和解题办法

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐名师高中数学解题思想和解题办法前言(2)

第一章高中数学解题基本办法(3)

一、配办法(3)

二、换元法(7)

三、待定系数法(14)

四、定义法(19)

五、数学归纳法(23)

六、参数法(28)

七、反证法(32)

八、消去法………

九、分析与综合法………………

十、特别与普通法………………

十一、类比与归纳法…………

十二、观看与实验法…………

第二章高中数学常用的数学思想(35)

一、数形结合思想(35)

二、分类讨论思想(41)

三、函数与方程思想(47)

四、转化（化归）思想(54)

第三章高考热点咨询题和解题策略(59)

一、应用咨询题(59)

二、探究性咨询题(65)

三、挑选题解答策略(71)

四、填空题解答策略(77)

附录………

一、高考数学试卷分析…………

二、两套高考模拟试卷…………

三、参考答案……

美国闻名数学教育家波利亚讲过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一具新咨询题，

总想用熟悉的题型去“套”，这不过满脚于解出来，惟独对数学思想、数学办法明白透彻及融会贯穿时，才干提出新看法、巧解法。高考试题十分重视关于数学思想办法的考查，特殊是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想办法。我们要故意识地应用数学思想办法去分析咨询题解决咨询题，形成能力，提高数学素养，使自个儿具有数学头脑和眼光。

高考试题要紧从以下几个方面对数学思想办法举行考查：

①常用数学办法：配办法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；

②数学逻辑办法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

③数学思维办法：观看与分析、概括与抽象、分析与综合、特别与普通、类比、归

纳和演绎等；

④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）

思想等。

数学思想办法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，能够用文字和

符号来记录和描述，随着时刻的推移，经历力的减退，未来也许不记得。而数学思想办法则是一种数学意识，只可以领略和运用，属于思维的范畴，用以对数学咨询题的认识、处理和解决，掌握数学思想办法，别是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识不记得了，数学思想办法也依然对你起作用。

数学思想办法中，数学基本办法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，能够选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本办法常常在学习、掌握数学知识的并且获得。

能够讲，“知识”是基础，“办法”是手段，“思想”是深化，提高数学素养的核心算是提高学生对

数学思想办法的认识和运用，数学素养的综合体现算是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想办法，本书先是介绍高考中常用的数学基本办法：配办法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特别与普通法、类比与归纳法、观看与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最终谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点咨询题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。

在每节的内容中，先是对办法或者咨询题举行综合性的叙述，再以三种题组的形式浮现。再现性题组是一组简单的挑选填空题举行办法的再现，示范性题组举行详细的解答

和分析，对办法和咨询题举行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽可能综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

第一章高中数学解题基本办法

一、配办法

配办法是对数学式子举行一种定向变形（配成“彻底平方”）的技巧，经过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，同时合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是举行恒等变形，使数学式子浮现彻底平方。它要紧适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次别等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等咨询题。

配办法使用的最基本的配方依据是二项彻底平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将那个公式灵便运用，可得到各种基本配方形式，如：

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；

a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b

2

)2＋（

3

2

b）2；

a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1

2

[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]

a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；

x2＋1

2

x

＝(x＋

1

x

)2－2＝(x－

1

x

)2＋2；……等等。

Ⅰ、再现性题组：

1.在正项等比数列{a

n}中，a

1

a

5

+2a

3

a

5

+a

3

a

7

=25，则a

3

＋a

5

＝

_______。

2.方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A.141

C.k∈R

D.k＝14或k＝1

3.已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A.1

B.－1

C.1或－1

D.0

4.函数y＝log12

(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A.（－∞,54]

B.[54,+∞)

C.(－12,54]

D.[54,3)

5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。

【简解】1小题：利用等比数列性质amp-amp+＝am2，将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。

2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，选B。3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。

4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3－11。

Ⅱ、示范性题组：

例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则那个长方体的一条对角线长为_____。A.23B.14C.5D.6

【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分不为x,y,z，则211424()()xyyzxzxyz++=++=???,而欲求对角线长xyz222++，

将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分不为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xyyzxzxyz++=++=???

。长方体所求对角线长为：xyz222++＝()()xyzxyyzxz++-++22＝6112-＝5

因此选B。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一具未知转换为三个数学表示式，观看和分析三个数学式，容易发觉使用配办法将三个数学式举行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配办法的一种解题模式。

例2.设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(p

q

)2+(

q

p

)2≤7成立，求实数k

的取值范围。

【解】方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,

(p

q

)2+(

q

p

)2＝

pq

pq

44

2

+

()

＝

()

()

pqpq

pq

22222

2

2

+-

＝

[()]

()

pqpqpq

pq

+--

2222

2

22

＝()

k22

48

4

--

≤7，解得k≤－10或k≥10。

又∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k2－8≥0即k≥22或k≤－

22

综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10。

【注】对于实系数一元二次方程咨询题，总是先思考根的判不式“Δ”；已知方程有两根时，能够恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观看已知别等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。如果本题别对“△”讨论，结果将出错，即使有点题目也许结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是别严密、别完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

例3.设非零复数a、b满脚a2＋ab＋b2=0，求(

a

ab

+

)1998＋(

b

ab

+

)1998。

【分析】对已知式能够联想：变形为(a

b

)2＋(

a

b

)＋1＝0，则

a

b

＝ω（ω为1的

立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab。则代入所求式即得。

【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：(a

b

)2＋(

a

b

)＋1＝0，

设ω＝a

b

，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，因此：

1

ω＝

b

a

，ω3＝ω3

＝1。

又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab，

因此(aab+)1998＋(bab

+)1998＝(aab2)999＋(bab2)999＝(ab)999＋(ba)999＝ω999＋ω999＝2。

【注】本题经过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵便性，要求我们善于联想和展开。

【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0，解出ba＝-±132i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(

ab)999＋(ba)999后，完成后面的运算。此办法用于不过未-±132

i联想到ω时举行解题。如果本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2

＝0解出：a＝-±132

ib，直截了当代入所求表达式，举行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最终的计算。

Ⅲ、巩固性题组：

1.函数y＝(x－a)2＋(x－b)2

（a、b为常数）的最小值为_____。A.8B.()ab-22C.ab222+D.最小值别存在2.α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)2+(β-1)2

的最小值是_____。

A.－494

B.8

C.18

D.别存在

3.已知x、y∈R+，且满脚x＋3y－1＝0，则函数t＝2x＋8y有_____。

A.最大值22

B.最大值22

C.最小值22B.最小值224.椭圆x2－2ax＋3y2＋a2

－6＝0的一具焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。

A.2

B.－6

C.－2或－6

D.2或6

5.化简：218

-sin＋228

+cos的结果是_____。

A.2sin4

B.2sin4－4cos4

C.－2sin4

D.4cos4－2sin4

6.设F

1和F

2

为双曲线x2

4

－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满脚∠F

1

PF

2

＝

90°，则△F

1PF

2

的面积是_________。

7.若x>－1，则f(x)＝x2＋2x＋1

1

x+

的最小值为___________。

8.已知π

2〈β0；

②是否存在一具实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)1，t>1，m∈R，x＝log

st＋log

t

s，y＝log

s

4t＋log

t

4s＋m(log

s

2t＋

log

t

2s),

①将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；

②若对于x的方程f(x)＝0有且仅有一具实根，求m的取值范围。

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一具整体，用一具变量去代替它，从而使咨询题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将咨询题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型咨询题标准化、复杂咨询题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。经过引进新的变量，能够把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它能够化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、别等式、函数、数列、三角等咨询题中有广泛的应用。

换元的办法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次浮现，而用一具字母来代替它从而简化咨询题，固然有时候要经过变形才干发觉。例如解别等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），

而变为熟悉的一元二次别等式求解和指数方程的咨询题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，要紧利用已知代数式中与三角知识中有某点联系举行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发觉x∈[0,1]，

设x＝sin2α，α∈[0,π

2

]，咨询题变成了熟悉的求三角函数值域。为啥会想到这样设，

其中要紧应该是发觉值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角咨询题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S

2

＋t，y＝

S

2

－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，别能缩小也别能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π

2

]。

Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2＋1)＝log

a

(4－x4)（a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a

n}中，a

1

＝－1，a

n+1

·a

n

＝a

n+1

－a

n

，则数列通项a

n

＝___________。

4.设实数x、y满脚x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程13

13

+

+

-x

x

＝3的解是_______________。

6.别等式log

2(2x－1)·log

2

(2x+1－2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝t2

2

＋t－

1

2

，对称轴t＝

－1，当t＝2，y

max＝

1

2

＋2；

2小题：设x2＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝log

a

[-(t-1)2＋4]，因此值域为(－

∞,log

a

4]；

3小题：已知变形为1

1an+－1an＝－1,设bn＝1an

，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，因此an＝－1n

；4小题：设x＋y＝k，则x2－2kx＋1＝0,△＝4k2－4≥0,因此k≥1或k≤－1；5小题：设3x＝y，则3y2＋2y－1＝0,解得y＝13

，因此x＝－1；6小题：设log2(2x－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈(log254

,log23)。Ⅱ、示范性题组：例1.实数x、y满脚4x2－5xy＋4y2＝5（①式），设S＝x2＋y2，求1

Smax＋

1

Smin的值。（全国高中数学联赛题）

【分析】由S＝x2＋y2联想到cos2α＋sin2

α＝1,于是举行三角换元，设xSyS==?????cossinαα

代入①式求Smax和Smin的值。【解】设xSyS==????

?cossinαα代入①式得：4S－5S·sinαcosα＝5解得S＝10852-sinα

；∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴1013≤1085-sinα≤103

∴1

Smax＋1Smin＝310＋1310＝1610＝85

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝

810SS-的有界性而求，即解别等式：|810SS

-|≤1。这种办法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】由S＝x2＋y2，设x2＝S

2

＋t，y2＝

S

2

－t，t∈[－

S

2

，

S

2

]，

则xy＝±S

t

2

2

4

－代入①式得：4S±5