高等工科数学试卷等素材（主编金桂堂）第7章参考解答

PAGEPAGE8习题7．1(A)组1．写出下列微分方程的阶数：（１）；（２）；（３）；（４）；（５）；（６）．解1.(1)一阶；（2）二阶；（3）二阶；（4）一阶；（5）三阶；（6）一阶.2．验证下列各函数是其对应微分方程的解：（１），；（２），；（３），．解（１）∵，∴.将、分别代入方程（1），得，∴是方程的解.（２）∵，∴，.将、分别代入方程（2），得，∴是方程的解.（３）∵，∴，．将、分别代入方程（3），得∴是方程的解.3.求下列微分方程的通解:；；；；；.解（1）原方程化为，分离变量，得，两边积分，得，，，故所求通解为（其中）.（2）分离变量，得，两边积分，得，故所求通解为.（3）分离变量，得，两边积分，得，，,,故所求通解为(其中).（4）分离变量，得两边积分，得，，，故所求通解为(其中).（5）分离变量，得，，两边积分，得，，，故所求通解为(其中).原方程化为分离变量，得，两边积分，得，，故所求通解为(其中).4.求下列微分方程的特解:；.解（1）分离变量，得，，由初始条件，得.故所求微分方程的特解.（2）分离变量，得，两边积分，得，由初始条件，得，.故所求微分方程的特解.5.解下列微分方程:；；；.解（1）原方程化为，分离变量，得，两边积分，得，故所求通解为.（2）原方程化为，分离变量，得，两边积分，得，.故所求通解为.（3）分离变量，得，两边积分，得，，故所求通解为.（4）分离变量，得，两边积分，得由初始条件，得.故所求微分方程的特解为.6.下列微分方程的通解:；；；.解（1）所给方程是一阶线性非齐次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（2）所给方程是一阶线性非齐次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（3）所给方程是一阶线性非齐次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（4）所给方程是一阶线性非齐次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为.7.求下列微分方程满足初始条件的特解:；.解（1）所给方程是一阶线性非齐次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为，（﹡）其中，移项，解方程得.将初始条件代入通解（﹡），得.故所求微分方程的特解为.（2）所给方程是一阶线性非齐次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为（﹡），将初始条件代入通解（﹡），得，故所求微分方程的特解为.(B)组.求下列微分方程的通解:；；；.解（1）分离变量，得，两边积分，得原方程的通解为；（其中）.（2）分离变量，得，两边积分，得原方程的通解为；（3）分离变量，得，两边积分，得，，，，原方程的通解为；（4）分离变量，得，两边积分，得，，原方程的通解为..求下列微分的特解:；；.解(1)分离变量，得，两边积分，得，，由初始条件得.故原方程的特解为.(2)分离变量，得，两边积分，得，，由初始条件得.故原方程的特解为.(3)分离变量，得，两边积分，得，.由初始条件得.原方程的特解为..求下列微分方程的通解:；；；；.解（1）所给方程是一阶线性非齐次方程，原方程化为，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（2）所给方程是一阶线性非齐次方程，）原方程化为，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（3）所给方程是一阶线性非齐次方程，）原方程化为（将看作的函数）其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（4）所给方程是一阶线性非齐次方程，）原方程化为其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（5）所给方程是一阶线性非齐次方程，原方程化为（将看作的函数）其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为.4.求下列微分方程满足初始条件的特解:；.解（1）所给方程是一阶线性非齐次方程，）原方程化为，即，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（2）所给方程是一阶线性非齐次方程，）原方程化为，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为.由初始条件得，故原方程的特解为.5.列车在直线轨道上以米/秒的速度行驶,制动时列车获得加速度米/秒2.求开始制动后列车的速度与时间的函数关系.解设列车开始制动后秒钟内行驶了米.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数应满足方程.（1）此外，未知函数还应满足下列条件：时，，.（2）把方程（1）两端积分，得；（3）这里是任意常数.把条件时，代入（3）式，得，.令，（秒）.故开始制动后列车的速度与时间的函数关系为.6.设曲线上任意一点的切线介于两坐标轴间的部分恰为切点所平分,已知此曲线通过点求它的方程.解设曲线上任一点为，过该点之切线与两坐标轴的交点分别为和.因此，，其中为切线的倾角，即得或，，两端积分，得，即.因为，所以.故所求曲线方程为.习题7.2（A）组1.下列各组函数中,哪些是线性相关的?哪些是线性无关的?与；与；与；与；与；与.解（1）∵（为常数）∴与线性无关；（2）∵，∴与线性相关；（3）∵，∴与线性相关；（4）∵，（为常数）∴与线性无关；（5）∵，（为常数）∴与线性无关；（6）∵，（为常数）∴与线性无关.2.求下列微分方程的通解:；；；；；.解（1）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（2）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（3）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（4）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（5）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（6）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为.3.求下列微分方程满足初始条件的特解:；；.解（1）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为，于是，将初始条件代入上面两式，得，解之，得因此，所求特解为；（2）特征方程的两个根为重根，所以，原方程的通解为，于是，将初始条件代入上面两式，得，解之，得因此，所求特解为；（3）特征方程的一对共轭复根为，所以，原方程的通解为，于是，将初始条件代入上面两式，得，解之，得.因此，所求特解为.4.求简谐运动方程满足时,的解,并求振幅、周期.解特征方程一对共轭复根为，所以，原方程的通解为，于是，将初始条件时,代入上面两式，得，解之，得.因此，所求特解为，其中，振幅为，周期为.5.写出下列方程特解的形式._______________________；_______________________； _______________________；_______________________；_______________________；_______________________.解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）..求方程的通解.解原方程对应的齐次方程的特征方程的两个根为，.所以，齐次方程的通解为.原方程中，其中是一个一次多项式，是特征方程的单根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，代入原方程，化简得，，比较等式两边同类项的系数，有，解得.所以，原方程的通解为.7.求方程的通解.解原方程对应的齐次方程的特征方程的两个重根为，所以，齐次方程的通解为.原方程中，其中是一个一次多项式，不是特征方程的单根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，代入原方程，得，化简得，，比较等式两边同类项的系数，有，解得.所以，原方程的通解为.（B）组1.下列各组函数中,哪些是线性相关的?哪些是线性无关的?与与与与与解（1）∵，（为常数）∴与线性无关；（2）∵，∴与线性相关；（3）∵，（为常数）∴与线性无关；（4）∵，（为常数）∴与线性无关；（5）∵，（为常数）∴与线性无关.2.求下列微分方程的通解:解（1）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（2）特征方程的两个重根为，所以，原方程的通解为；（3）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（4）特征方程的两个根为，，所以，原方程的通解为.求下列微分方程满足初值条件的特解:解（1）原方程对应的齐次方程的特征方程特征方程的一对共轭复根为，，所以，齐次方程的通解为.原方程中，不是特征方程的根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，代入原方程，化简得，，比较等式两边同类项的系数，有，解得.所以，原方程的通解为.求导数，将初始条件时，代入，得，解之，得.因此，所求方程特解为.（2）原方程对应的齐次方程的特征方程的两个根为，所以，齐次方程的通解为.原方程中，其中是一个一次多项式，不是特征方程的根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，代入原方程，化简得，比较等式两边同类项的系数，有，解得.所以，原方程的通解为.求导数，，将初始条件分别代入和，得，，，从而微分方程满足初值条件的特解为.（3）原方程对应的齐次方程的特征方程一对共轭复根为，所以，齐次方程的通解为，原方程中，其中是一个0次多项式，是特征方程的根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，将和分别代入原方程，化简得，比较等式两边同类项的系数，有，解得.所以，原方程的特解为，原方程的通解为，求导数.，将初始条件分别代入及，得，从而微分方程满足初值条件的特解为.（4）原方程对应的齐次方程的特征方程特征方程的一对共轭复根为，，所以，齐次方程的通解为.原方程中，不是特征方程的根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，.将、、分别代入原方程，化简得，，比较等式两边同类项的系数，有，解得.所以，原方程的一个特解为.原方程的通解为.求导数，.将初始条件分别代入原方程，得，得.从而微分方程满足初值条件的特解为.4.一弹簧下端悬挂千克物体时,弹簧伸长了厘米,在平衡位置弹簧由静止受到一外力牛作用,物体有向上厘米/秒的初速度,并产生振动,如果阻力忽略不计,求物体的运动规律.解刚性系数（牛/米）选坐标0—0静止位置，运动方程为，，其中弹簧拉力，表示质量，于是，初始条件为，.，.原方程对应的齐次方程的特征方程一对共轭复根为，所以，齐次方程的通解为，原方程中，其中，不是特征方程的根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，,将和分别代入原方程，得化简，得比较等式两边同类项的系数，有，解得.所以，原方程的特解为，原方程的通解为，求导数.，将初始条件，分别代入及，得，从而微分方程满足初值条件的特解为.5.在电感、电容及电源的串联电路中,已知亨,法,伏,设在时，将开关闭合,并设电容器初始电压为零,试求开关闭合后回路电流.解由题意，可列出电流方程为，其中法，伏，亨，即，两边求导，得，初始条件为，，.原方程对应的齐次方程的特征方程一对共轭复根为，所以，齐次微分方程的通解为，原方程中，其中，不是特征方程的根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，,将和分别代入原方程，化简得，比较等式两边同类项的系数，有，解得.所以，原方程的特解为原方程的通解为，（因为为任意常数，故积分后不另考虑积分常数）.将初始条件为，分别代入上面两式，得，，从而微分方程满足初值条件的特解为.复习题7(A)组.选择题:下列方程中是可分离变量的微分方程是（）方程的通解是（）方程的通解是（）方程满足初始条件的特解是（）解（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）.求下列微分方程的通解:解（1）分离变量，得，即两边积分，得，，，原方程的通解为.（2）分离变量，得，两边积分，，得，原方程的通解为(其中).（3）分离变量，得，两边积分，得，，原方程的通解为.（3）分离变量，得，两边积分，得，，原方程的通解为.（4）分离变量，得，两边积分，得，即，原方程的通解为..求下列微分方程满足初始条件的特解:；；.解(1)分离变量，得，两边积分，得，即，由初始条件得.故原方程的特解为.(2)分离变量，得，两边积分，得，即，由初始条件，得.故原方程的特解为.(3)分离变量，得，两边积分，得，，即.由初始条件得.原方程的特解为..求下列微分方程的通解:；；.解（1）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（2）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为；（3）特征方程的两个根为，所以，原方程的通解为.(B)组1.求下列微分方程的通解:（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）所给方程是一阶线性非齐次微分方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（2）所给方程是一阶线性非齐次微分方程，其中,代入公式（7-4），得到原方程的通解为.（其中）（3）所给方程是一阶线性非齐次微分方程，）原方程化为，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；（4）所给方程是一阶线性非齐次微分方程，原方程化为其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为.2.求下列微分方程满足初始条件的特解:（1）；（2）.解（1）所给方程是一阶线性非齐次微分方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为；将初始条件代入上面通解，得.故所求微分方程的特解为.（2）所给方程是一阶线性非齐次微分方程，原方程可化为其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解为将初始条件代入上面通解，得.故所求微分方程的特解为.3.求下列微分方程的通解:（1）；（2）；（3）.解（1）原方程对应的齐次方程的特征方程的特征根为，，所以，齐次方程的通解为.原方程中，是特征方程的根.因此，所以设原方程的特解为，求的导数，得，.将、分别代入原方程，化简得，，有，.