椭圆的标准方程柳应方

选修2-1<椭圆的标准方程>福州三中金山校区数学组柳应方时间：周五上午第二节一．教材及学情分析：本节课是选修2－1第二章《圆锥曲线与方程》中§《椭圆的标准方程》．用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线．圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．在选修2-1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。“椭圆的标准方程”是在学生已学过坐标平面上圆的方程、“曲线和方程”和“椭圆的定义”的基础上，解决具体的二次曲线方程的又一实例.从知识上讲，它是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。二、教学目标1．知识与技能目标：进一步理解椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程,在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力,掌握椭圆的标准方程2．过程与方法目标：通过引导学生依据椭圆定义和椭圆的图形,联想圆的建系方法建立合理的坐标系，通过方程的推导，提高学生的计算，学会用坐标化的方法求动点轨迹方程；对学生进行数学思想方法渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。3．情感态度价值观目标：充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心。三、重点、难点重点：进一步理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想．难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。关键：含有两个根式的等式化简四、教法与学法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用“情境创设——问题探究——归纳总结——应用巩固——反思提高”的课堂教学模式，并以学案引导和多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、推导、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．五．教学环境和准备：交互式多媒体教学环境：交互式电子白板及hiteach互动教学系统和ppt等现代教育技术，主要利用抢答器随机选择学生回答问题，并利用IRS反馈器（选择）-----数据统计分析，并针对学生错误率较高的题目和选项予以讲评和提问，从而发现错因，及时纠正；手机端拍照上传----及时反馈学生完成情况；白板批注功能------分析并及时解决学生存在问题。教学准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。(2)教师准备：用PPT及几何画板制作的课件。六、教学过程（一）创设情境，引入课题：师：同学们，之前我们学习了一类特殊重要的曲线----椭圆，我们知道我国先后发射成功的“神舟一号----九号”、“天宫一号”绕地飞行,“嫦娥一号----二号”绕月飞行及太阳系里的行星包括我们地球绕太阳飞行的轨道是椭圆，那么椭圆是如何定义呢？椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.两定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间距|F1F椭圆定义的集合语言特别地当常数=|F1F2|时------轨迹是线段；当常数<|F1F2|时------知道了椭圆的定义也就知道了椭圆的基本几何特征.但是,这只是一种“定性”的描述。为了”定量”地研究椭圆,就需要利用椭圆的方程，那么如何根据椭圆的定义求椭圆的方程呢？引入课题：椭圆的标准方程．（二）合理建系，推导方程．为了”定量”地研究椭圆,就需要利用椭圆的方程，那么如何根据椭圆的定义求椭圆的方程呢？xyoxyo方案2（1）建系;（2）设点；（3）列式；（4）化简；（5）说明2、思考:怎样建立直角坐标系才能使椭圆的方程最简呢?(形式简单、运算简单)利用抢答器随机选择学生回答问题，启发学生类比求圆的方程的建系方法，最后采用以下两种方案:方案一：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴；方案二：以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴。(原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单)(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)体现“对称美”“简洁美”的特点。利用抢答器随机选择学生回答问题，并针对学生回答情况------分析并及时解决问题。3、椭圆方程和推导:选定方案一解(1)建系:以两定点所在直线为轴，线段的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．xyOF1F2M(2)设点:设为椭圆上的任意一点，设定长(绳子长)为m,焦距|F1F2|xyOF1F2M(说明:两焦点的横坐标出现分式,不便计算,改设焦距|F1F2|=2c焦距|F1F2|=2c,则F1(-c,0)、F2(c,0)且m>2c（3）列式:由椭圆的定义,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=m}由两点的距离公式，所以有:由于化简含两个根式方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时通过精心设问来突破难点：问：两个根式之和的等式，如何化简？预想1：学生可能会想直接平方对策1：将错就错，直到学生感到困难，算不下去，出现困惑，老师在引导。预想2：学生直接提出将一个根式移到另一边.对策2：顺着学生思路走，但追问为什么这么做，点明思路.利用抢答器随机选择学生回答问题，并针对学生回答情况------分析并及时解决问题。（4）化简：移项得平方得整理得再平方得xyOxyOF1F2Pca所以即令m=2a,即|MF1|+|MF2|=2a,上面方程化简可得指出：这个方程还不够简洁对称，我们设，(说明:为了让学生明白设常数2a、2c的合理性。选择首先设常数m,n，然后以2a,2c替换，其目的是让学生体会到设2a,2c的合理性。)则椭圆方程变为（a＞b＞0）（5）说明:由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程；满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。所以，这个方程就是所求得椭圆的方程.我们把方程叫做椭圆的标准方程。4、类比推广，对比归纳[师总结]方案一：焦点在x轴上椭圆标准方程：，两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)，其中b2=a2-c2。结合图形，能找出方程中a、b、c对应的线段吗?．如图可知，|OF1|=|OF2|=c,|PF1|=|PF2|=a,|PO|=b。（学生观察分析，明确b的几何意义。）问：对方案二：如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为(0,-c),(0,c)(a,b的意义同上)，这时椭圆的方程是什么？利用抢答器随机选择学生回答。生：x、y互换，得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程：（a＞b＞0）。）[设计意图]通过对比总结，加深对椭圆标准方程的理解，使学生体会类比的思想方法，为后面学习双曲线、抛物线打基础。因此，焦点在y轴上的椭圆的方程为这个方程形式简单，因此我们把这个方程也叫椭圆的标准方程。活动：教师列表格，学生对比归纳两种标准方程的特点及相同点与不同点。5、知识疏理，提高认识定义满足|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2图形xxyMOxxMO标准方程+=1+=1a,b,c关系焦点坐标焦点位置在x轴上在y轴上焦点位置的判定分母哪一个大，焦点就在哪一个轴上说明:1、椭圆方程中的a、b、c与坐标系无关，而焦点坐标与坐标系有关．2、确定椭圆方程需要三个条件，两个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标．利用抢答器随机选择两学生，手机端拍照上传学生填写情况，并白板批注功能------分析并及时解决学生存在问题。（三）尝试应用，巩固新知．例、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是F1(-2,0)、F2(2,0)，并且经过点P．求椭圆的标准方程。课堂巩固练习:1、已知椭圆的标准方程为：，则a=_4____，b=_____，c=____2___，焦距是4，焦点坐标为：(0，±2)。2、已知点P是椭圆上的一点,且点P到椭圆一个焦点的距离为３，则点P到另一焦点距离为（D）A．２B．３C3、写出适合下列条件的椭圆标准方程:①a=4,b=1．焦点在x轴上：②a=4,c=3：4、已知椭圆C经过两点,求椭圆C的标准方程。依据学生完成例1和例3的情况，在电子白板上给出学生所得结果的若干选项；利用IRS反馈器（选择）-----数据统计分析，并针对学生错误率较高的题目和选项予以讲评和提问，从而发现错因，及时纠正；设计意图通过练习对学生的掌握情况及时反馈，加强巩固；对本节课的内容进行反思总结，纳入知识结构，使知识系统化。（四）知识总结形成体系本节内容可概括为“一、二、三”1、一个定义（椭圆的定义）2、二类方程（焦点分别在x轴、y轴的上的两个标准方程）3、三个意识（求美意识、求简意识、猜想意识）（五）课后作业，巩固提高(学有余力的学生全做)JS2022高二数学选修2-1椭圆及标准线方程校本作业班级姓名座号建议完成时间20-30分钟1.椭圆的焦距为()B.C.D.2、椭圆的左右焦点为，一直线过交椭圆于A、B两点，则的周长为（）.16C3、椭圆的焦距是2，则m的值为()A．5B．3C．5或3D．204、设为定点，||=6，动点M满足，则动点M的轨迹是（）A.椭圆B.直线