温州中学提前招生数学模拟

2015年温州中学提前招生模拟一一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=2,c>0，则下列正确的是（ ）A、ab<0 b、IaI+1bl>2c、IaI+1bl>4 d、0<1aI+1bl<12、一枚普通骰子被掷3次，若前两次所掷点数之和等于第3次的点数，则掷得点数至少有一次是2的概率是（）A、B、815A、B、815c、D、7123、已知m是质数，x、y均为整数，则方程Ix+yI+，JX^=m的解的个数是（A、2 B、4 C、5 D、无数个4、已知一次函数y=kx+b的图像为直线l，直线l过点P（2,1）且与x,y轴的正半轴分别交TOC\o"1-5"\h\z于A,B两点，若直线l与x、y轴围成的三角形的面积为5,则这样的直线l共有（ ）_名

姓A、1条B、2条C、3条D、_名

姓5、若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）A、64 B、66 C、68 D、70. - a2+b2—-一6、已知实数a,b，若a>b， -=2<2，则ab的最大值是（ ）a一b_级

班A、1 B、£2C、2 D、_级

班二、填空题：（每小题6分,共36分）A贝sin—二7、已知、；x+\.’7=v'2009，且0<x<y，则满足上式的整数对（x，yA贝sin—二8、在Rt△ABC中，NC=90O,NA>ZB,9、若抛物线y=x2+ax+2b-2（其中a、b为实数）与x轴交于相异的两点，其中一点b一4的横坐标在0与1之间，另一点的横坐标在1与2之间，则a一］的取值范围是。10、如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC,CD,DA相切，若BC=3,DA=5,则AB的长为。11、若关于x的方程ax+2=0与Ix一1|一|x一2I+2=0有三个相异的实数根，则常数a的

取值范围是。12、如图，延长梯形ABCD两腰DA和CB交于点P,两对角线AC和BD交于点Q,^PAB和4QBC的面积分别是20和6,则4PCD的面积是。三、解答题：（本题共有5个小题,共78分）13、（本题满分15分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）。设a（i、j£N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左ij往右数的第j个数（如a42=8）。⑴若2『2010,求i、j的值.J1, "1（2）记三角形数表从上往下数第n行各数的和为b，令。=《n、°。nn ,n>2b—nnTOC\o"1-5"\h\z若数列｛c｝的前n项和为T，求T。 1n n n2 34 5 67 8 9 10⑴求a2010的值；14、（本题满分15分）如果对于正整数n,7n的个位数用a⑴求a2010的值；(2)当n为什么数时，-n2+2na取得最大值，并求出这个最大值。n15、(本题满分15分)如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB,A、B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于点C、D，过点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于点E、F。求证：BE=BF。16、(本题满分15分)已知函数J=x2+(2m+1)x+m2—1，其中m为实数。(1)当m是什么数值时，y有最小值为0?(2)求证：不论m是什么数值时，抛物线的顶点都在同一直线l上；(3)求证：任何一条平行于l而与抛物线相交的直线被各抛物线截出的线段都相等。17、(本题满分18分)将编号为1，2，„，18的18名乒乓球运动员分配在9张球台上进行单打比赛，规定每张球台上两选手编号之和均为大于4的平方数。请问这一规定能否实现?若规定不能实现，请给出证明；若规定能够实现，请说明实现方案是否唯一。参考答案一、选择题：(每小题6分，共36分)1、Ba+b+c=0，a+b=-c*/abc=2,c>0/.a<0,b<0考虑特殊值法，当a=b=-1,c=2时，有IaI+Ibl>la+b\=2，故选B。2、B采用列表法或画树状图，前两次所掷点数之和等于第3次的点数共有15种可能，掷得点数至少有一次是2的有8种，概率为185，故选B。3、C•・•％+y与x-y的奇偶性相同，而、X-y也只能是整数，，m=2(x+y=0Jx+y=1Jx+y=2Jx+y=-1Jx+y=-21x-y=4，［x-y=1，［x-y=0，［x-y=1，［x-y=0以上个方程组均有整数解，故选。4、B由题意知，k<0，又直线l过点A(2,1),代入y=kx+b得：,.、，b… … 1„ „ 1.bb2 -2k+考=1,又=4ab工B(一k,°)'所以S—20AO=2b(-1)=口=5...b2-5b+5=0,b有两个不等实根，，直线l共有2条，选B.5、B由2,3,5的最小公倍数为30,由2,3,5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2,3,5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数，选B。a2+b2 (a-b)2+2ab x2+21_TOC\o"1-5"\h\z6、A.I记a—b=x,ab=t, 2\2a-b a-b x・•・x2-2<2x+2t=0,A=b2-4ac=8-8t>0 ..t<1仅当a=6+'2,b=——上4时，a—b=2,ab=1成立，故选A.2 2二、填空题：(每小题6分，共36分)7、3:<2009=472*41=7<41 .6+,5=7<410<x<y且x、y均为整数故设%:x=a、41,、Jy=bj4r，所求的整数对为(41,1476),(164,1025),(369,656)共3组。

8、3+1- …由已知得a8、3+1- …由已知得a+b=--—c①，a2+b2=c2②，由①得b=<3+1c一a③，一一一、J3~2c,a代入②得2a2一(<3+1)ca+—c~2c,aTOC\o"1-5"\h\z3a<3 3A>B.•a>b..a c ..sinA 2c2 2•・•0O<A<90O ，A=60O ，sinA=sin30O=12 2b一439、-<一-<- 根据题意，设两个相异的实根为x,x，且0<x<1<x<2,a-1 2 12 12则1<x+x=-a<3，0<xx=2b-2<2。于是有-3<a<-1,1<b<2，1 2 1210、11、1也即有-11< <-a-1 4连结OC、OD,VS梯形ABCD12r(AB+10、11、1也即有-11< <-a-1 4连结OC、OD,VS梯形ABCD12r(AB+CD)=AB=AD+BC1<a<-不妨设y=211-3<b-4<-2。故有—<1 …1 ~1 .rxAD+—rxCD+—rxBCCO=S+S+SAAOD ACOD NBOCb-43 <<7T0a-12D•••BC=3,DA=5, ，AB=8ax+2,y=1x—11—Ix—21+22卜<1)•・,y2=<|2x-1(1<x<2).,.它的图像是右图中的折线2 13(x>2)•.•直线y1=ax+2过点a(0,2), __・•・分析得出满足题意的两种极端情况如下： 一当直线过图中点B(2,3)时，2a+2=3得a=；-y当直线平行于x轴时，由y=2可知a=00要使方程ax+2=0与|x-1|-1x-2|+2=0有三个相异的实数根。即使直线乂=0a+2与函数y2=|x-1|-1x一2|+2的图像交于三个不同的点，12、45VAB#CD,AQBC的面积为6,Z.AQAD的面积也为6设4ABQ的面积为x,ACDQ的面积为y..6=y=AQ.x-6~QqSAABPSAABCPBBCSNDBPSADBCPBB2020+x+6—20_x+6x(x+6) xx+6 6+y—(x+6) y—xx+..6=y=AQ.x-6~QqSAABPSAABCPBBCSNDBPSADBCPBB2020+x+6—20_x+6x(x+6) xx+6 6+y—(x+6) y—xx+6 6+y36—x2 6—x20 20+x+6•.x2+26x—120=0 ,x=4,1X2=一相(不合题意,舍去):.△PCD的面积为20+6+6+x+y=45。三、解答题：(本题共有5个小题，共78分)13、(本题满分15分)n(n+1) i(i+1)⑴三角形数表中前n行共有1+2+…+n=/万个，即第i行的最后一个数是七二因此，使a『2010的i是不等式-而—--二2016，所以i=63。于故j=(2010-1954)+1=57。i(i+1) 62x63—^—二2010的最小正整数解。因为-2一二1953,日是,62x63第63行的第一个数是「一+1=1954。1⑵前n行的所有自然数的和为Sn=n(n+1)[n(n+1)+1]=n(n+1)(n2+n+2)n(n2+1)，所以当n》2时，cnb—nn・T51••T=————n2nn+114(本题满分15分)=92并且a=an+4 n，a2010当n丰4k+2时，当n=4k+2时，—n当n丰4k+2时，当n=4k+2时，—n2+2na=81—(n—9)2<81—1=80，n仅当n=10时等号成立..•.当n=10时，—n2+2na取得最大值80。n1515、(本题满分#、(本题满分18分)解：因为编号最大的两数之和为18+17=35<36，所以，同一张球台上两选手编号之和只能取三个平方数：25，16，9。现设同一张球台上两选手编号和为25、16、9的分别有x个、y个、z个(x、y、z均为非负整数)，依题意有25x+16y+9z=1+2+...+18，x+y+z=9，xZ0,yZ0,zZ0,即16x+7y+9(x+y+z)=171,x+y+z=9,xN0,yN0,zN0,得16x+7y=90,xN0,yN0,zN0。又由0WxW90<6知，x只能取非负整数0,1,2,3,4,5。16逐一代入检验，可得方程唯一的非负整数解x=3,y=6,z=0。下面讨论9张球台上的选手对阵情况。(1)由x=3,知平方数为25只能有3个，而编号不小于16