新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第24讲蒙日圆及其证明和应用(教师版)

第24讲蒙日圆及其证明和应用高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）若动点为椭圆SKIPIF1<0外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．答案：(1)SKIPIF1<0；(2)．这道高考题的背景就是蒙日圆．普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G．Monge，1745-1818)作了介绍．以上高考题第(2)问的一般情形是定理1曲线SKIPIF1<0的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆SKIPIF1<0．定理1的结论中的圆就是蒙日圆．先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0．当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以可设曲线的过点P的切线方程是SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0由其判别式的值为0，得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是这个关于SKIPIF1<0的一元二次方程的两个根，所以SKIPIF1<0由此，得SKIPIF1<0进而可得欲证成立．定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0．当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以可设两个切点分别是SKIPIF1<0．得直线SKIPIF1<0，切线SKIPIF1<0．所以：SKIPIF1<0因为点SKIPIF1<0既在曲线SKIPIF1<0上又在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以由此，可得进而可得欲证成立．再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理．引理1(椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示)．证明如图2所示，设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0(其左、右焦点分别是SKIPIF1<0)上任意给定的点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的外角平分线所在的直线SKIPIF1<0．先证明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，只要证明SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0都在椭圆SKIPIF1<0的外部，即证SKIPIF1<0：图2在直线SKIPIF1<0上选取点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，还得SKIPIF1<0再过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立．引理2过椭圆SKIPIF1<0(其中心是点O，长半轴长是SKIPIF1<0)的任一焦点F作椭圆SKIPIF1<0的任意切线SKIPIF1<0的垂线，设垂足是H，则SKIPIF1<0．证明如图3所示，设点SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0上的切点，又设直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．图3由引理1，得SKIPIF1<0(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以点H是FB的中点，得OH是SKIPIF1<0的中位线．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和．证明由余弦定理可证(这里略去过程)．引理4设点是矩形所在平面上一点，则．证明如图4所示，设矩形SKIPIF1<0的中心是点SKIPIF1<0．图4由引理3，可得SKIPIF1<0即欲证成立．注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3可不妨设SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，易证成立．下面只证明SKIPIF1<0的情形．如图5所示．设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是SKIPIF1<0，焦距是SKIPIF1<0，过动点P的两条切线分别是SKIPIF1<0．图5连结SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足分别是SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，由引理2得SKIPIF1<0．再作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由RtSKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又作SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0．在RtSKIPIF1<0中，同理可得SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，得矩形SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)若，得由，得，所以．同理，有，所以四边形是平行四边形，进而得四边形是矩形，所以．由(1),(2)得点P的轨迹方程是．定理1的证法4可不妨设．当时，易证成立．下面只证明的情形．如图6所示．设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是，两切点分别为．分别作右焦点SKIPIF1<0关于切线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，由椭圆的光学性质可得三点SKIPIF1<0共线(用反射角与入射角的余角相等)．同理，可得三点共线．图6由椭圆的定义，得，所以．由SKIPIF1<0是的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得(1)若，得，即三点SKIPIF1<0共线．又，所以，进而得(2)若，得所以．同理，可得．所以三点共线．得SKIPIF1<0，即．由(1),(2)得点P的轨迹方程是．定理1的证法5(该证法只能证得纯粹性)可不妨设SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，易证成立．下面只证明SKIPIF1<0的情形．如图7所示，设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是SKIPIF1<0，焦距是SKIPIF1<0，过动点P的两条切线分别是SKIPIF1<0，切点分别是SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点分别为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与切线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与切线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．图7得SKIPIF1<0，再由椭圆的定义，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为四边形SKIPIF1<0为矩形，所以由引理4得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得点P的轨迹方程是SKIPIF1<0．读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理2(1)双曲线SKIPIF1<0的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆SKIPIF1<0；(2)抛物线SKIPIF1<0的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线．定理3(1)椭圆SKIPIF1<0的两条斜率之积是SKIPIF1<0的切线交点的轨迹方程是SKIPIF1<0；(2)双曲线SKIPIF1<0的两条斜率之积是SKIPIF1<0的切线交点的轨迹方程是SKIPIF1<0．定理4过椭圆SKIPIF1<0上任一点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，则(1)当SKIPIF1<0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当SKIPIF1<0时，所作的两条切线斜率之积是SKIPIF1<0．定理5(1)椭圆SKIPIF1<0的两条斜率之积是SKIPIF1<0的切线交点的轨迹SKIPIF1<0是：①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即圆SKIPIF1<0(但要去掉四个点SKIPIF1<0)；②当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即椭圆SKIPIF1<0(但要去掉四个点SKIPIF1<0)；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即两条直线SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外的部分(但要去掉四个点SKIPIF1<0)；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即双曲线SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外的部分(但要去掉四个点SKIPIF1<0)；⑤当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即双曲线SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外的部分(但要去掉四个点SKIPIF1<0)．(2)双曲线SKIPIF1<0的两条斜率之积是SKIPIF1<0的切线交点的轨迹SKIPIF1<0是：①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即圆SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即双曲线SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即椭圆SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不存在．(3)抛物线SKIPIF1<0的两条斜率之积是SKIPIF1<0的切线交点的轨迹SKIPIF1<0是：①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即直线SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．例(北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0上总存在点SKIPIF1<0，使得过点SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的两条切线互相垂直，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_________．解SKIPIF1<0．在图8中，若小圆(其圆心为点SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0)的过点SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0互相垂直(切点分别为SKIPIF1<0)，得正方形SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹是以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆．图8由此结论可得：在本题中，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上．所以本题的题意即直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有公共点，进而可得答案．注本题的一般情形就是蒙日圆．2．给定椭圆SKIPIF1<0，称圆心在原点SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0的圆是椭圆SKIPIF1<0的“准圆”．若椭圆SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其短轴上的一个端点到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程和其“准圆”方程；（2）点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的“准圆”上的动点，过点SKIPIF1<0作椭圆的切线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交“准圆”于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（ⅰ）当点SKIPIF1<0为“准圆”与SKIPIF1<0轴正半轴的交点时，求直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程并证明SKIPIF1<0；（ⅱ）求证：线段SKIPIF1<0的长为定值并求该定值．解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0，准圆方程为SKIPIF1<0；（2）（ⅰ）因为准圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴正半轴的交点为SKIPIF1<0，设过点SKIPIF1<0且与椭圆相切的直线为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．因为直线SKIPIF1<0与椭圆相切，所以△SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（ⅱ）①当直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中有一条斜率不存在时，不妨设直线SKIPIF1<0斜率不存在，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与准圆交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0，显然直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直；同理可证当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直；②当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0斜率存在时，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；设经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与椭圆相切的直线为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由△SKIPIF1<0化简整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与椭圆相切，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足上述方程SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直；综合①②知：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又分别交其准圆于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直；所以线段SKIPIF1<0为准圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0的长为定值．3．已知椭圆SKIPIF1<0，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形SKIPIF1<0的四条边都与该椭圆相切，求矩形SKIPIF1<0面积的最大值．解：（1）由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0椭圆的方程为SKIPIF1<0．（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0斜率为0或不存在时，可得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0斜率存在且不为0时，设SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0．代入椭圆方程可得：SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与椭圆相切，可得△SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，①同理可得SKIPIF1<0与椭圆相切，可得SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0．②①SKIPIF1<0②可得：SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0点在以原点为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上．SKIPIF1<0为以原点为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆的内接矩形，只有当SKIPIF1<0为正方形时面积最大．可得SKIPIF1<0．4．(2019届永康5月模拟第17题)已知椭圆SKIPIF1<0，若存在过点SKIPIF1<0且互相垂直的直线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是．解：依据蒙日圆，椭圆SKIPIF1<0相对应的蒙日圆为SKIPIF1<0，只需点SKIPIF1<0在圆外即可，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故椭圆的离心率范围是SKIPIF1<0．5．已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的一