《高中数学解题思维策略》

一、《高中数学解题的思维策略》导读数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养优秀思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的有关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反省性提出独特看法，检查思维过程，不盲从、不轻信。三、数学思维的严实性考察问题严格、正确，运算和推理精准无误。四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度察看、对一个题目运用多种不同的解法。什么”转变，进而培养他们的思维能力。《策略》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面考证。第一讲数学思维的变通性一、观点数学识题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的有关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于察看心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而察看则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较长久的知觉。察看是认识事物最基本的途径，它是认识问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特点，对题目进行深入的、仔细的、透彻的察看，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。比如，求和1111122334.n(n1)这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111，因此，原式等于11111111问题很快就解决n(n1)nn1223nn1n1了。（2）善于联想联想是问题转变的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度怎样，取决于可否由察看到的特点，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题翻开缺口，不断深入。比如，解方程组xy2.xy3这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3。由此联想到韦达定理，x、y是一元二次方程t22t30的两个根，x1x3所以或y.可见，联想可使问题变得简单。y31（3）善于将问题进行转变数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转变才能达成的。转变是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转变呢？归纳地讲，就是把复杂问题转变成简单问题，把抽象问题转变成详细问题，把未知问题转变成已知问题。在解题时，察看详细特点，联想有关问题之后，就要寻求转变关系。比如，已知1111,(abc0,abc0),abcabc求证a、b、c三数中必有两个互为相反数。适合的转变使问题变得熟悉、简单。要证的结论，能够转变为：(ab)(bc)(ca)0思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记种类、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以战胜。综上所述，善于察看、善于联想、善于进行问题转变，是数学思维变通性的详细体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。二、思维训练实例1）察看能力的训练虽然察看看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视察看能力的训练，使学生不只能用常规方法解题，而且能根据题目的详细特点，采用特殊方法来解题。例1已知a,b,c,d都是实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2.思路剖析从题目的外表形式察看到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相像，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，yO图1－x可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明不妨设A(a,b),B(c,d)如图1－2－1所示，则AB(ac)2(bd)2.在OAB中，由三角形三边之间的关系知：OAOBAB当且仅当O在AB上时，等号建立。因此，a2b2c2d2(ac)2(bd)2.思维障碍好多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用剖析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上察看到它与平面上两点间距离公式相像的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。例2已知3x22y26x，试求x2y2的最大值。解由3x22y26x得又x2y2x23x23x1(x3)29,2221(29当x2时，x2y2有最大值，最大值为3)24.22思路剖析要求x2y2的最大值，由已知条件很快将x2y2变为一元二次函数f(x)1(x3)29,然后求极值点的x值，联系到y20，这一条件，既快又准地求出22最大值。上述解法察看到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。思维障碍大多数学生的作法如下：由3x22y26x得y23x23x,2当x3时，x2y2取最大值，最大值为92这种解法由于忽略了y20这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不单能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。有些问题的察看要从相应的图像着手。例3已知二次函数f(x)ax2bxc0(a0),知足关系f(2x)f(2x)，试比较f(0.5)与f( )的大小。思路剖析由已知条件f(2x)f(2x)可知，在与x2左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像对于直线x2对称，又由y已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大概图像简捷地解出本题。解（如图1－2－2）由f(2x)f(2x)，O2x知f(x)是以直线x2为对称轴，开口向上的抛物线图1－2它与x2距离越近的点，函数值越小。思维障碍有些同学对照较f(0.5)与f( )的大小，只想到求出它们的值。而本题函数(x)的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻挡，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要认真推敲，找出它的真实含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。（2）联想能力的训练例4在ABC中，若C为钝角，则tgAtgB的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能确定思路剖析本题是在ABC中确定三角函数tgAtgB的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tg(AB)tgAtgB可得下面解法。1tgAtgB解C为钝角，tgC0.在ABC中ABCC(AB)且A、B均为锐角，故应选择（B）思维障碍有的学生可能觉得本题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能正确把握公式的特点，因而不能很快联想到运用基本公式。例5若(zx)24(xy)(yz)0,证明：2yxz.思路剖析本题一般是通过因式分解来证。可是，如果注意察看已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的鉴别式相像。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明当xy0时，等式(zx)24(xy)(y)0z可看作是对于t的一元二次方程(x)2(z)t(y)0有等根的条件，在进一步ytxz察看这个方程，它的两个相等实根是1，根据韦达定理就有：yz1即2yxzxy若xy0，由已知条件易得zx0,即xyz,显然也有2yxz.例6已知a、b、c均为正实数,知足关系式a2b2c2,又n为不小于3的自然数，求证:anbncn.思路剖析由条件a2b2c2联想到勾股定理,a、b、c可组成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明设a、b、c所对的角分别为A、B、C.则C是直角，A为锐角，于是sinAa,cosAb,且0sinA1,0cosA1,cc当n3时，有sinnAsin2A,cosnAcos2A于是有sinnAcosnAsin2Acos2A1即(a)n(b)n1,cc进而就有anbncn.思维阻挡由于这是一个对于自然数n的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，纯真学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特点与直观图形联想起来。3）问题转变的训练我们所遇见的数学题多数是生分的、复杂的。在解题时，不单要先察看详细特点，联想有关知识，而且要将其转变成我们比较熟悉的，简单的问题来解。适合的转变，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转变的训练是很必要的。1○转变成容易解决的明显题目例11已知abc111求证a、b、c中起码有一个等于1。ab1,c思路剖析结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转变成我们熟悉的形式。a、b、c中起码有一个为1，也就是说a1、b1、c1中起码有一个为零，这样，问题就容易解决了。证明111bcacababc.ab1,c于是(a1)(b1)(c1)abc(abacbc1)(abc)0.1、b1、c1中起码有一个为零，即a、b、c中起码有一个为1。思维障碍好多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，仍是不知怎样证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转变能力的一种有效手段。例12直线L的方程为xp，其中p0；椭圆E的中心为O(2p,0)，焦点在X22轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个极点为A(p，问p在什么范围内取值时，椭,0)2圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离。思路剖析从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线y22px（1）是，又从已知条件可得椭圆E的方程为[x(2p)]242y21（2）因此，问题转变为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p的取值范围。将（2）代入（1）得：x2(7p4)xp22p0.（3）4确定p的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：在p0的条件下，得0p13.本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。逆向思维的训练○逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻挡时，应考虑问题的反面，从反面下手，使问题得到解决。例13已知函数f(x)2x2mxn，求证f(1)、f(2)、f(3)中起码有一个不小于1.思路剖析反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“起码”等字样，或以否认形式给出时，一般可考虑采用反证法。证明（反证法）假定原命题不建立，即f(1)、f(2)、f(3)都小于1。f(1)112mn13mn1①则f(2)1182mn192mn7②f(3)11183mn1193mn17③①＋③得112mn9，与②矛盾，所以假定不建立，即f(1)、f(2)、f(3)中起码有一个不小于1。一题多解训练○由于每个学生在察看时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真察看、多方联想、适合转变，提高数学思维的变通性。例14已知复数z的模为2，求zi的最大值。解法一（代数法）设zxyi(x、yR)，解法二（三角法）设z2(cosisin),则zi4cos2＋（2sin1)254sin.解法三（几何法）y如