泛函分析课件第2章有界线性算子

2章有界线性 Hahn-BanachHahn-Banach定理是泛函分析中的一个基本定理.它与共鸣定理,开映射定理一起称为泛函分析的三大基本定理.Hahn-Banach定理断言,定义在赋范空间的子空间上的有界线性泛函,可以保持范数不变地延拓为全空间上的有界线性泛函.从这个结果可以得到许多重要的推论.义 设X是一线性空间.若p是X上的实值函数,满p(x)=p(x)(xÎX,³p(x+y)£p(x)+p(y)(x,yÎX则称p是X上的次可加正齐性泛函定义 设X为线性空间.若p是X上的实值函数,满p(x)³0(xÎXp(x)= p(x)(xÎX,ÎK);p(x+y)£p(x)+p(y)(x,yÎX则称p为X上的半范数注 若p是半范数,则由半范数的性质(2)得p(0)=p(0⋅0)=0⋅p(0)=但反过来,px0时不必有xp是半范数并且px0蕴涵x0.p就成为范数此外,类似于范数的性质,由半范数的定义还可以推出p(x)-p(y)£p(x-y)(x,yÎX此外,半范数也是次可加正齐性泛函下面在证明Hahn–Banach定理时,要用到了半序集与Zorn引理.先介绍这方面的知识(详见附录)定义设X是一非空集合.在X上规定了元 关系“”.若这种关系满足如下条件:自反性:对任意xÎX,x称性 若xy,yx,则x=传递性:若xy,yz,则x则称是X上的一个半序此时称X按半序关系成为一个半序集.若关系进一步还满足对任意x,yÎX xy或者yx必有一个成立,则2实数集按小于或等于关系£是一个全序集3设X是一非空集,PX)是由X的全体子集所成的集类则包含关系Ì是PX上的一个半序.PX按包含关系Ì成为一个半序集.定义设X是一个半序集.AÌX.若存在aÎX,使得对每个xÎA,成立xa,则称a是A的一个上界.定义设X是一个半序集,AÌX.若存在aÎA,具有如下的性质:对任意xÎA,若ax,则必有xa,则称a为集A类似地可以定义A的下界和极小元一般情况下,给定半序集X的一个子集A,A的上界和极大元不一定存在,在存在的时候,也不一定唯一.Zorn引理设X是一个半序集若X的每个全序子集都有上界,则X必有极大元.Hahn-Banach定理包括几个相关的定理定理2.4.1(Hahn-Banach)设X是实线性空间,M是X的线性子空间,p是X上的次可加正齐性泛函f0是M上的线性泛函f0x£px)xÎM),则存在X上的线性泛f使得f(x)=f0(x)(xÎMf(x)£p(x)(xÎX证明分两个步骤.(i).不妨设M¹X.任取x0ÎXM,M1=span(x0,M)是由M和 的线性子空间.M1={x¢=x+tx0:xÎM,tÎ对任意x¢ÎM1,的分解式x¢xtx0是唯一的事实上若还可以分解为x¢x1t1x0则xx1(t1t)x0x-1若t¹t1,则x0=t1tt1从而x对于任意常数c,

1ÎMt

这与x0ÎX\ .因此必f1(x¢)=f0(x)+tc,x¢=x+tx0Î

不难看出f1M1上的线性泛函.并且当xÎMf1(x)=f0(下面证明,可以适当选择(1)式中的常数c,使f1x¢)£px¢x¢ÎM1对任意xyÎM,由于f0(x)+f0(y)=f0(x+y)£p(x+y)£p(x-x0)+p(x0+f0x)pxx0£px0y)f0y因而存在常数csup[f0(x)-p(x-x0)]£c£inf[p(x0+y)-f0( xÎ yÎ现在取定c满足(2)式设x¢xtx0ÎM1.若t0,在(2)式的第二个不等式中用t-1x代替y,得到- -p(x0+ x)-f0( x)³c两边乘以t,px的正齐性得到ptx0x)-f0x³f1(x¢)=f0(x)+tc£p(x+tx0)=p(若t0在(2)式的第一个不等式中用t-1x代替xf0(-t-1x)-p(-t-1x-x0)£c两边乘以t得到-f0xpxtx0³tcf1(x¢)=f0(x)+tc£p(x+tx0)=p(当t0时,x¢xÎM.f1(x¢)=f0(x)£p(x)=p(因此f1f0MM1上的延拓,并且满足f1(xp(x)(xÎM1(ii).设G是所有满足如下条件的线性泛函g的全体①g的定义域D(gÉM②gf0在D(g)上的延拓,并且当xÎDg时gx)£p在G上定义半序当D(g1ÌD(g2),并且g2是g1的延拓时,规定g1g2.容易验证这样定义的关系“”是G上的半序.设G0是G的全序子集.令D D(g),gÎG则D是线性子空间.在D上定义泛函h如下若xÎD,则存在gÎG0使得xÎD(g),此时令hxg由于G0是G的全序子集,容易验证h的定义是确定的,h是f0在D上的线性延拓,并且满足hx£pxxÎD),因此hÎG.显然对任意gÎG0有gh,即h是G0的上界.这表明GZorn引理G存在极大元f我们证明D(f=X.若不然,任取x0ÎX\D(f).由步骤(i)所证, f可以延拓成为M1=span(x0,D(f))上的线性泛函,记为f1,满足f1(x)£p(x)(xÎM1这样,f1ÎG并且 f1,但f1¹f.这与f是极大 .DfX.f就是满足定理中要求的线性泛函现在考虑复空间的情形f是复线性空间X上的线性泛函.f可以表示为f(x)=f1(x)+if2(x)(xÎXf1f2f的实部和虚部f是线性的容易验f1f2都是实线性的.由于一方面if(x)=if1(x)-f2(x)=-f2(x)+if1(另一方面f是线性的if(x)=f(ix)=f1(ix)+if2(ix).比较以上两式的实部f2x=-f1ix).f的虚部可以用其实部表示出来,f可以表示为f(x)=f1(x)-if1((注意,f1不是复线性的f1ix¹if1当X是复空间时,X上的线性泛函是复值的.由于复数不能比较大小,因此相应的延拓定理要作一些修改.下面的2.4.2(Hahn-Banach)设X是(实或复)线性空间,M是X的线性子空间,p是X上的半范数.f0是M上的线性泛f0x£px)xÎM则存在Xf,使f(x)=f0(x)(xÎMf(x)£p(x)(xÎX证明先设X是实空间.f0(x)£f0(x)£p(x)(xÎM根据定理2.4.1,存在Xf,fx)=f0xÎM),fx£px)xÎX).-f(x)=f(-x)£p(-x)=p(x)(xÎXfx)£px)xÎX).因此当X是实空间时,定理成立.再设X是复空间.f0x=f1xif1(ixxÎM).将X和都视为实空间f1(x)£f1(x)£f0(x)£p(x)(xÎM根据定理2.4.1X上的实线性泛函F1,使得F1x)f1x)xÎM),并且F1x£px)xÎXf(x)=F1(x)-iF1(ix)(xÎXf是线性的事实上对任意x,yÎXf(x+y)=F1(x+y)-iF1(ix+i=F1(x)+F1(y)-iF1(ix)-iF1(i=f(x)+f(

若为实数f(x)=F1(x)-iF1(ix)=F1(x)-iF1(ix)=f( 又我f(ix)=F1(ix)-iF1(i⋅ix)=F1(ix)-iF1(-=i[1(x)-iF1(ix)]=if(f(x)=f((+i)x)=f(x)+f(i=f(x)+if(x)=f(

f是线性的当xÎM时f(x)=F1(x)-iF1(ix)=f1(x)-if1(ix)=f0(ff0的延拓.对任意xÎX,fxrei,f(e-ix)=e-if(x)=是实数1f(x)=r=f(e-ix)=F(e-ix)£p(e-ix)=p(1f即为满足定理要求的线性泛函2.4.1在§2.5中讨论凸集的分离性质时有重要应用.在赋范空间中经常用到的是下面的定理2.4.3及其推论.2.4.3(Hahn-Banach)设X是赋范空间,M是X的线性子空间.f0是M上的有界线性泛函.则存在X上的有界f,使得

f(x)=f0(x)(xÎM =f0M其中

f作为M上的有界线性泛函的范数 证明令px

则px)是XMf0(x)M

x=p(x)(xÎM0M0由定理2.4.2,X上的线性泛函f,fx=f0xÎM),f(

£p(x)= 0M0

(xÎX因此f有界,并且

f0M0 0 xÎM,x

f0(

xÎM,x

f(

£x

f(x)=f因此

=

M.由Hahn–Banach定理可以得到 推论*推论 设X是赋范空间,x0ÎX,x0¹0.则存在fÎ *使得 =1并且f(x0)=x0证明令M={x0ÎK},则M是线性子空间f0(x0)=x0,x=x0ÎMf0是M上的线性泛函由于对任意xx0ÎMf0(x)=x0=xf0在M上有界并且

f0=1.f0x0

x0.根据定理2.4.3,fÎX*

=0

=1, xÎMfx=f0 特别地,fx0=f0x0=x0.推论2.4.4表明若赋范空间X¹{0},则X*¹{0},即在X上2.4.5设X是赋范空间,xxÎX,x¹xfÎX fx1¹fx2证明由于x1-

¹02.4.4,fÎX*f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)fx1¹fx2

x1-

¹推论2.4.5表明赋范空间X上有足够多的有界线性泛函,使得X上的有界线性泛函可以区分X上的不同的元. 设X为赋范空间,xÎX.x f(x)fÎX* f

证明只需考虑x¹0的情形.fÎXf(x) x£ (xÎX

£1, f(x)£xfÎX* f另一方面,由推论2.4.4,fÎX*使得

f=1,f(x)=x因此(6)式成立

fÎX* f

f(x) x

设X是赋范空间,E是X的线性子空间,x0ÎXd(x0,E)= x0-y>yÎfÎX*f(x0)=d(x0,

=1,xÎE时fx0,证明记ddx0,E).令Mspan(x0,E).M={x¢=x+x0:xÎE,Î在M

f0(x+x0)=d,xÎE,Îf0是M上的线性泛函,f0x0xÎE)f0x0d.对任意xÎE,当¹0时1xÎE,故d= x-y£x-(--1x)=x+-1xyÎ f0(x¢)=d£

x0+-1

=x+x=x¢0f0有界得x0-y<d+

£1.另一方面,对任意0取yÎEd=f0(x0)=f0(x0-y) 由于>0是任意的,

x0-y ³

(d+f01.Hahn- 定理 存在fÎX*使

f=0

并f(x)=f0(x)(xÎM).特别地，当xÎE时f(x)=f0(x)=0.又f(x0)=f0(x0)=d.因此f即为满足定理要求的线性泛函.■在推论2.4.7中取E={0},就得到推论2.4.4 的结论.因此推2.4.4是推2.4.7的特殊情形§2.5凸集的分离Hahn-Banach定理推导出凸集的分离定理.凸集的分离定理具有明显的几何意义,在涉及凸性的问题中凸集与超定义 设X是线性空间,AÌX.若对任意x,yÎA,0£t£1时总有tx(1tyÎA,则称A是凸集换言之若当0£t£1时总有tA(1-tAÌA,则称A是凸集例如若E是X的线性子空间,则E和x0E都是凸集.若X是赋范空间则X中的开球和闭球都是凸集定理 设X是赋范空间.关于X中的凸集有如下性质任意个凸集的交是凸集若A是凸集则x0A和aA(aÎK)都是凸集若A和B是凸集则AB是凸集若A是凸集则A和A若A是凸集, ¹Æ,则AÌAX是实空间,A是非空开凸集,fÎX*f¹0),fA)是直线上的开区间证明(1)~(3)的证明是明显的我们只证明设A是凸集.若x,yÎA,则存在A中的序列{xn}和{yn使得xnx,yny.对任意tÎ[0zn=txn+(1-t)ynÎ并且zntx(1ty.这说明tx(1tyÎA.因此A是凸集.xyÎA,则存在r0UxrÌAUyrÌA设z=tx+(1-ty(0£t£1),我们证明U(z,r)ÌA.对任意uÎUz,r),x1=x+(u-z),y1=y+(u-x1-x=u-zr.因此x1ÎUxr),从而x1ÎA.类似地y1ÎAu=z+(u-z)=tx+(1-t)y+(u-z)=tx1+(1-t)y1Î因此U(z,r)ÌA,从而zÎ .这就证明了A是凸

x0Î ,xÎ

则对任意0£ty(1-tx0txÎ 选取r0使得Ux0rÌA.我们证明Uy1-trÌA任取zÎUy(1-t)r),令x¢=x0+(1-t)1z0 0

=(1-t)- z-y<因而x¢ÎUx0rÌA而A是凸集z=y+(1-t)(x¢-x0)=(1-t)x¢+txÎ这表明U(y,(1-t)r)ÌA,从而yÎ 现在证明结论(5).设xÎA.任取x0Î .设0£tn<1, 1.xn=(1-tn)x0+tnx(n=1,2,由上面所证,xnÎA (n=1,2,).由于xn x,因此xÎA.这就证明了AÌA.由于A是凸集,fA)是凸集.而直线上的凸集必定是区间.设a和b分别是fA的左、右端点.若bÎfA),则存在xÎAfxb.f¹0,故存在x0ÎXfx00.A是开集,存在00使得x+x0ÎA.于是f(x+0x0)=f(x)+0f(x0)=b+0f(x0)>这与bfA)的右端点因此bÏfA).类似可以证明aÏfAfA(ab)是开区间若A和B是平面上的两个凸集,并且AÇBÆ,则存在平面上的直线分离A和B.下面这个结果推广到一般的赋范空间上.为此必须先明确在赋范空间中所谓直线和平定义 设X是线性空间,EÌX称E是X的极大间,若E是X的真线性子空间,并且对于X的任一线性子空间M,当EÌM,E¹M时，必有M=X.称E为X中的超平面Ex0M,其中x0ÎX,MX的极 间例如在三维欧氏空间R3中过原点的平面是极大间任何平面都是超平面在平面R2中超平面就是直线设X是线性空间将X上的线性泛函的全体记为X称X为X的代数共轭定理 设X是线性空间,EÌX.E是X的极 间的充要条件是存在fÎXf¹0使得E={x:fx)EX中的超平面的充要条件是存在fÎXf¹0使得E={x:fx)c},其中c是常数证明(1).必要性.设E是极 间.任取x0ÎX\E,EÌspanx0E并且E¹spanx0E).由于E是极大间故spanx0EX.于是对任意xÎX,x可以唯一地分解为xx1ax0其中x1ÎEaÎK在X上定义泛函f(x)=a,x=x1+ax0ÎXf是X上的线性泛函,并且E={x:fx)0}.由于E¹Xf¹充分性fÎX¢f¹0),使得E={x:fx)0}.则E是X的线性子空间.f¹0,故E¹X.设M是线性子空间并且EÌM,任取x0ÎME,fx0¹0.对任意xÎX,令yx-fx)x.f(x0

0f(y)=f(x)-f(x)f(x)=0f(x00因此yÎE.从而x=y+fx)xÎM.这表明MX.因此0f(x0是极 间结论结论EX中的超平面的充要条件是存在fÎXf¹0使得E={x:fx)c其中c(2必要性设E是超平面Ex0M其中M是极大真子空间由结论(1fÎX¢f¹0),使得M={x:fx)0}.fx0c.若xÎE,则存在x¢ÎM使得xx0x¢于是f(x)=f(x0)+f(x¢)=反过来fxc.令x¢x-x0,f(x¢)=f(x)-f(x0)=故x¢ÎM,从而xx0xÎx0ME因此E={x:fx)结论结论EX中的超平面的充要条件是存在fÎXf¹0使得E={x:fx)c},其中c充分性.设存在fÎX(f¹0) 使得E={x:f(x)=c}.M={x:f(x)=0},由结论(1),M是极 间.任x0ÎEfx0c.xÎ f(x-x0)=f(x)-f(x0)=x-x0Î 存在x¢ÎM,使得xx0因此Ex0M.这就证明了E是超平面例如f是R3上的线性泛函ff(x)=ax+ax+ax,x=(x,x,x)Î 所以R3中的超平面也就是平面可以表示{x:f(x)=c}={x:a1x1+a2x2+a3x3=其中c是任意实数.当c0时,得到过原点的平面也就是R3的极 间例 在lp(1£p£¥)上定义泛 f(x)=x x=(x)Îl f是线性的因此对任意实数{xÎlp:f(x)=c}={xÎlp:x=(c,x,x, {xÎlp:f(x)=0}={xÎlp:x=(0,x,x, 分别是lp中的超平面和极 间设Xx0ÎXx0¹0fÎX*, =1并且f(x)= 00现在我们可以给出推论2.4.4在Rn中的几何解释S(0,r={x:x£rRn中的闭球,x0是球的边界x:xr上的任意一点.根据推论2.4.4,存在Rn上的线f使得f=1fx0=x0.考虑超平面L={x:f(x)=对任意xÎS(0,r),fx£fx=x£r,因此球S(0,r)全部位于超平面L的一侧fx0=x0r,因此x0在超平面L上.称这样的超平面为x0的支撑超平面.因此推论2.4.4表明,对球S(0,r)的边界上的任意一点x0,存在其支撑超平面,如图2-5-1所示.yyOrxLX是实线性空间,E={x:fx)=c}X中的超平面.{x:fx£c}和{x:fx³c}为X中