全国各地中考数学分类-圆综合题

22222017年中分（）参答与题析一解题共30小题1恩州）如图，、是⊙的直径BE是O的弦，且BE∥，点C的线与的长线交于点，连接BC求证：平分∠；求证：=PB•PE若BE﹣，⊙的径．【考点线性质全等三角形的判定与性似三角形的判定与性质优网版权所有【分析由BE∥知1=∠，据2=∠即可得1=∠；连接AC，由PC是⊙的线且BEDC，1+，A∠且A=∠知∠5+2=90°，据∠1=2得4=∠，从而证eq\o\ac(△,得)∽PCE即可；由PC=PB•PE、﹣求BP=2、，作⊥可、，再eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)BCP得，据此得出CD的即可．【解答】解）∥CD，∴∠∠，又∵，∴∠∠，∴∠∠，即平∠；（）图，连、，∵是⊙O的切线，∴∠PCD=90°，又∵BEDC，∴∠P=90°，∴∠+∠，∵为⊙直径，22222222∴∠+∠2=90°，又∠∠，∴∠+∠，∵∠∠，∴∠∠，∵∠P=∠，∴△PBC∽△PCE，∴

=

，即PC=PB；（）∵BE，∴BP∵=PB•PE=PB（+∴=PB（++PB+﹣8=0，解得：，则+PB=6，∴BE=8，作EF⊥于点F，∵∠P=∠，∴四边形PCFE为形∴PC=FE=4，，EFD=∠，∵∥CD，∴

=

，∴，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)BCP中∵，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)（∴则CD=DF+CF=10，∴⊙的径为．【点评】本题主要考查切线的性、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质切的质圆角定理相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．2常）如图，已知AB是⊙的直径CD与⊙相于C∥．求证：是∠ABE的分线；若DC=8，⊙的半径OA=6，求CE的．【考点】：线的性质．优网版权所【分析由BE∥，出OCB=∠，，出OCB=∠，得CBE=∠；（）eq\o\ac(△,Rt)中，求出OD由BE，得【解答证：∵DE是线，∴⊥，∵∥，∴∠OCB=∠，∵，∴∠OCB=∠，∴∠∠，∴平∠．（）eq\o\ac(△,Rt)中，∵，，∴=10，∵∥，

=

，由此即可解决问题；∴∴

==

，，∴EC=4.8．【点评本考查切线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3遵）如图，、是O的切线AB为点，APB=60°，连接PO并长与⊙交C点连接，．求证：四边形是菱形；若⊙半为1，求菱形ACBP的积．【考点】：线的性质；：菱形的判定与性质菁网权所有【分析连AO，，据、是⊙的线，得到∠OAP=∠，，∠∠BPO=∠，三角形的内角和得到，根据三角形外的性质得到∠，得到，理，于是得到结论；（）接AB交PC于，根据菱形的性质得到PC解直角三角形即可得到结论．【解答】解）连接，BO∵、PB是⊙的线，∴∠OBP=90°，，APO=∠∠，∴∠AOP=60°，∵∴∠OAC=∠∴∠∠∠，∴∠，∴∠ACO=∠，∴，同理BC=PB，∴，∴四边形是形；（）接AB交PC于，∴⊥，∴，AOP=60°，∴OA=∴，∴

，，∴菱形的积ABPC=

．【点评】本题考查了切线的性质菱形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．4大）如图是直径，点C在O上平分∠，BD是的切线，与相于点E．求证：；若DE=2，，CE的长．【考点】：线的性质；：股定理；：直角三角形菁优网版权所有【分析平分∠∠CAD=∠求∠∠BED=90°﹣，而可知BD=BE；（）CE=x，于AB是⊙的直径，，又因为BD=BE，，，于BD=

，所以tanα=，而可求出AB==2

，利用勾股定理列出方程即可求出的值．【解答】解）设，∵平∠∴∠CAD=∠，∵是⊙的直径，∴ACB=90°∴∠ABC=90°﹣α，∵是的线，∴⊥，∴∠DBE=2，∠∠+ABC=90°﹣，∴∠﹣∠﹣∠BED=90°﹣，∴∠D=∠，∴（）AD交于，CE=x，接BF∵是⊙的直径，∴∠AFB=90°，∵，，∴FE=FD=1，∵，∴，∴AC=2x2222∴=2在eq\o\ac(△,Rt)中，由勾股定理可知）

+（+

）

=（

）

，∴解得：﹣；∴

或x=

，【点评题考查圆的综合问题及切线的性质圆周角定理勾股定理解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．5金）如图，已知：是⊙的直径，点C在⊙O上，是⊙O的线AD⊥CD于D，是AB延长线上一点，CE交⊙于，接、．求证：平分∠．若∠，∠求∠的数；若⊙的径为2，线段EF的．【考点】：线的性质．优网版权所【分析性质知合⊥CD得AD∥可知DAC=∠OCA=∠，从而得证；（）由∥知∠∠DAO=105°结合E=30°可得答案；②作⊥CE，据垂径理及等腰直角三角形性质知，OC=2得，eq\o\ac(△,Rt)中，由∠可得答案．【解答】解）CD是⊙的切线，∴⊥，∵⊥，∴∥，∴∠∠，∵∴∠OCA=∠222222∴∠OAC=∠，∴平；（）∵∥OC，∴∠∠，∵∠E=30°，∴∠；②作OG⊥于G，则，∵，，∴，∴，在eq\o\ac(△,Rt)中∠E=30°，∴，∴．【点评本题主要考查圆的切线性质行线的判定与性质垂定理及等腰直角三角形性质熟掌握切线的性质平线的判定与性质垂径定理及等腰直角三角形性质是解题的关键．6东）如图，在ABC中AB=AC，以AB为径的⊙交于点，点D作⊙的线，AC于点，的向延长线交O于点F．求证：⊥AC；若DE，⊙的半径为10，AF的度．【考点MC切线的性质：腰三角形的性质：勾股定理LD：形的判定与性质．菁优网版权所有【分析欲明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即；（）图，过作OHAF于，建矩形，设．由矩形的性质推知：AE=10﹣，﹣10﹣﹣．eq\o\ac(△,Rt)AOH中由勾股定理知x（﹣2，通过解方程得到的度，结合OH⊥，得到AF=2AH=2×．【解答证：∵OB=OD∴∠ABC=∠，∵，∴∠ABC=∠，∴∠ODB=∠，∴∥AC∵是的线，半径，222222222222∴⊥，∴⊥；（）图，过O作⊥AF于，则ODE=∠∠OHE=90°，∴四边形矩形，∴OD=EH，．设．∵AE=8，OD=10，∴，﹣（﹣）﹣．在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理知AH

+=OA，x+x2）

=10，解得，=﹣（不合题意，舍去12∴．∵⊥，∴AH=FH=AF∴×．【点评题考查了切线的性质股定理形的判定与性质解题时利用了方程思想，属于中档题．7湖）如图，为eq\o\ac(△,Rt)的角边AC上一点，以OC为径的⊙与边AB相切于点D，于．知BC=，．求AD的；求图中阴影部分的面积．【考点】：线的性质；：形面积的计算菁优网版权所有【分析）首利用勾股定理求出AB的，再证明，而由AD=AB﹣可出；（）用特殊的锐角三角函数可求出A的数，则圆心角DOA的数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的，最后利用形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【解答】解：（）eq\o\ac(△,Rt)中∵，AC=3．阴影阴影∴=2

，∵⊥，∴是的切线，∵⊙O与边AB相切于点D，∴，∴﹣﹣=；（）eq\o\ac(△,Rt)中∵=，∴∠，∵⊙与边AB相切于点D，∴⊥，∴∠AOD=90°﹣∠A=60°，∵

∴

=

，∴OD=1，∴==

．【点评本题考查了切线的性质理线长定理以及勾股定理的运用记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．8邵）如图所示，直线DP和O相于点，直径AE的延长线于点P过点C作AE的垂线，交于F，交圆O点B．平行四边形ABCD连接，，．（）证DA=DC；（）∠及AEB的小．【考点】：线的性质；：行四边形的性质菁网版权所有【分析欲明，要证明eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)△即；（）办法证即解决问题；【解答证：在平行四边形ABCD中ADBC∵⊥，∴⊥，∴∠，∵与⊙O相切于点C∴⊥，∴∠DCO=90°，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)中，∴eq\o\ac(△,Rt)≌△eq\o\ac(△,Rt)∴．（）⊥，是直径，∴CF=FB=BC，∵四边形是行四边形，∴，∴，∵∥，∴△∽△，∴

==，∴，DC=，∵，∴，在eq\o\ac(△,Rt)中∠P=30°，∵∥，∴∠∠∵是⊙O的径，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=60°．【点评本题考查切线的性质平四边形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形中30度的判定、全等三角形判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．9温）如图，在ABC中，AC=BC，∠，⊙（心O在△内）经过B、两点，交AB于点E，点作⊙的线交AC于F．延长CO交AB于，∥交CG于D求证：四边形是行四边形；若BC=3，∠，BG的．【考点】MC：线的性质；：行四边形的判定与性质；：解直角三角形菁网版权所有【分析）接，根据等腰直角三角形的性质得到∠，据切线的性质得到∠，到EFOD，于是得到结论；（）作⊥于，到GMB是腰角三角形，得到MB=GM，据平行四边形的性质得到∠∠，据余角的性质得到∠∠，量代换得到∠CGM=∠DEF根据三角函数的定义得到，是得到结论．【解答】解）连接CE∵在△中，AC=BC，ACB=90°，∴∠，∴∠∠，∵是⊙的切线∴∠FEO=90°，∴∥OC，∵CF∴四边形CDEF平行四边形；（）G作⊥BC于N∴△是等腰直角三角形，∴，∵四边形CDEF平行四边形，∴∠∠，∵∠ACD+∠∠，∴∠∠，∴∠∠，∵∠，∴∠∴

=2，∴+BM=2GM+GM=3，∴GM=1，∴GM=．【点评题考查了切线的性质行四边形的判定和性质直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10随）如图在eq\o\ac(△,Rt)中∠C=90°，，在AB上，经过点的⊙与BC相于点，交AB于点．求证：平∠；若CD=1求图中阴影部分的面积（结果保留π【考点】MC：切线的性质；KF角平分线的性质；KW：等腰直角三角形；：扇形面积的计算．菁优网版权所有【分析连，．用弦切角定理，直径所对圆周角是直角，等角的余角相等证明∠∠，而得出结论（）据等腰角形的性质得到B=∠由相⊙于点，得到∠，求得BD=x则x据勾股定理得到BD=OD=，于是得到结论．【解答证：连接DEOD．∵相⊙于点D，∴∠∠，∵为直径，∴∠，∵⊥，∴∠，∴∠DAO=∠，∴平∠BAC；2222222222（）在eq\o\ac(△,Rt)中，∠C=90°，，∴∠∠∵相⊙于点D，∴∠ODB=90°，∴OD=BD∴，设BD=x则，x，∴BC=AC=x+，∵+=AB，∴（+）（x+x），∴，∴，∴图中阴影部分的面=﹣=eq\o\ac(△,S)DOE

﹣

=1﹣．【点评本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义形积的计算和勾股定理熟练掌握切线的性质是解题的关键．11河）如图，O为AB中点，点C在段OB上不与点，重将OC绕逆时针旋转后得到扇形COD，，分切优弧Q在AB异，连接OP．（）证：；

于点，，且点P，（）

时，求

的长（结果保留π（）△的心在扇形COD的部求OC的值围．【考点】：线的性质；：长的计算；：转的性质菁优网版权所有【分析连．只要证明eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)BQO即可解决问题；求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；由△的外心是OA的点，，推出△的外心在扇形COD的部时，的取值范围为4＜＜；【解答证：连接．∵、是O的切线，∴⊥，⊥，∴∠BQO=90°，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)BQO中，，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)，∴．（）eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)BQO，∴∠AOP=∠，∴、、三共线，∵在eq\o\ac(△,Rt)BOQ中，cosB=∴∠，∠BOQ=60°，∴OB=4，∵∠COD=90°，∴∠QOD=90°+，

==

，∴优弧

的长=（）△的心是OA的点OA=8∴△的外心在扇形COD的部时OC的取值范围为4＜＜．【点评题查切线的性质长式等三角形的判定和性质角的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12天）已知AB是O的径，是O的线，∠BT交于点，E是AB上点，延长CE交O于D．如图①，求∠和∠CDB的大小；如图②，当时求CDO的小．【考点】：线的性质．优网版权所【分析）根切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB=90°，据角形内角和得T的数由径对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得CDB的度数；（）图②，接AD根据等边对等角得：BCE=∠BEC=65°利用同圆的半径相等知：OA=OD同理∠∠，由此可得结论．【解答】解）如图①，连接，∵是O切，是O的直径，∴AB即∠，∵∠ABT=50°，∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，由AB是O的直径，得ACB=90°∴∠CAB=90°﹣∠，∴∠CDB=∠CAB=40°；（）图②，接，在△BCE中，，∴∠∠，∴∠∠BCD=65°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠，∵∠ADC=∠ABC=50°，∴∠∠﹣∠ADC=65°．【点评本考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．13山如eq\o\ac(△,，)内于⊙且AB为⊙的径OD⊥与AC交于点E，与过点C的的线交于点．若，BC=2，OE的长．试判断A与∠的量关系，并说明理由．【考点】：切线性质：勾股定理：似三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析）由周角定理得出ACB=90°，由勾股定理求出AB=

=2

，得出AB=

，证明△∽△，出对应成比例即可得出答案连，等腰三角形的性质得出∠，切线的性质得出OC⊥，出2+，出3=∠，由三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解）为的直径，∴∠ACB=90°，，在eq\o\ac(△,Rt)中，由勾股定理得：AB=∴∵⊥，∴∠∠，又∵∠∠，∴△AOE∽△，

==2

，∴解得：

，即；

，（）∠，理由如下：连接，图所示：∵∴∠∠，∵是O的线，∴⊥，∴∠OCD=90°，∴∠+∠，∵⊥，2+∠，3=∠，3=∠+∠∠，∴∠CDE=2∠．【点评本考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质直三角形的性三角形的外角性质熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解决问题的关键．14郴）图AB是的BC⊙于，⊥，足为D，是⊙O的半径，且OA=3．（）证：平分∠；（）点是弧

上一点，且AEB=60°求扇形OAB的面积算果保留）【考点】：线的性质；：形面积的计算菁优网版权所有【分析连OB，切线的性质得出⊥，出AD∥，平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠∠，可得出结论；（）圆周角理得出AOB=120°由扇形面积公式即可得出答案．【解答证：连接OB，图所示：∵切于点，∴⊥，∵⊥，∴∥，∴∠∠OBA，∵，∴∠OAB=∠，∴∠∠OAB，∴平分OAD；（）：∵点E是弧

上一点，且AEB=60°∴∠AOB=2，∴扇形OAB的积=3π．【点评本考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．15宜）已知，四形中，E是角线AC上一点，DE=EC，AE为直径的⊙与CD相切于DB点在⊙O上，连接OB．求证：；若CD∥，证：四边形ABCD是形．【考点】：线的性质；：形的判定菁优网版权所有【分析先断出+∠3=90°，再判断出∠∠即得出结论；（先断出≌△CDE得AB=CD即可判断出四边形ABCD是行四边形最判断出即可．【解答】解）如图，连接OD，∵是O的线，∴⊥，2+∠∠+∠COD=90°，∵DE=EC，∴∠∠，∴∠∠，∴；（）OD=OE∴OD=DE=OE，∴∠∠∠2=∠，∵，OE=DE=EC，∴OA=OB=DE=EC，∵∥，∴∠∠，∴∠∠∠∠，222222∴△△CDE∴，∴四边形是行四边形，∴∠DAE=∠DOE=30°，∴∠∠∴CD=AD∴ABCD是菱形．【点评此题是切线的性质，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出≌△是本题的关键．16鄂）如图已知是的径A为O上（异于B、）点，⊙的切线与的长线交于点；为AM上一点PB的延长线交O于点为BC上点且，的长线交⊙O于E．（）证：

=

；（）ED、EA的长是一元二次方程﹣+5=0的根，求BE的长；（）

，∠AMF=，AB的长．【考点】：线的性质；：与数的关系：解直角三角形菁网版权所有【分析连OA、交于T．办法证明OE⊥即；（由EDEA的是一元二次方程x﹣+5=0的两根可得ED•EA=5由△∽△，可得

=

，推出BE=DE，可决问题；（）AH⊥于．求出AH、即解决问题；【解答证：连接OE交BC于T．∵是线，∴∠，22222222∴∠+∠∵，∴∠∠∠，∵OA=OE，∴∠OAE=∠，∴∠+∠，∴∠，∴BC，∴

=

．（）ED、EA的长是一元二次方程﹣5=0的根，∴•EA=5，∵

=

，∴∠BAE=，∠BED=∠，∴△∽△，∴

=

，∴=DE•EA=5，∴．（）AH⊥于．在eq\o\ac(△,Rt)中∵AM=6∴﹣m，∴，∴，OM=9易知∠∠，∴∠=，∴，．，

，∠=

，设OA=mOM=3m，∴

==2

．【点评本考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识解题的关键是会添加常用辅助线活运用所学知识解决问题属于中考压轴题．17贺如⊙是的接圆AB为直径∠的分线交于D，过点D的线分别交，AC的长线于E，，连接．求证：EF；若，，求O的半径．【考点】：线的性质；：圆周角定理菁优网版权所有【分析连OD，由切线的性质和已知条可证得OD∥则可证得结论；（）作⊥于点，接CD，则可证eq\o\ac(△,得)ADF≌△、CDF≌△BDG，可求得AB的长，可求得圆的半径．【解答证：如图，接，∵是⊙的切线且点D在⊙上∴⊥，∵OA=OD，∴∠∠ADO，∵平∠BAC，∴∠∠DAC，∴∠ADO=∠，∴∥，∴⊥；（）：如图，作DG⊥于G，接CD，∵∠∠，EF，⊥∴BD=CD，DG=DF，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)中∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)ADG（同理可得eq\o\ac(△,Rt)≌△，∴，AG=AF=AC+CF=6+，∴AB=AGBG=82=10∴⊙O的径OA=．【点评题要考查切线的性及圆周角定理握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，注意全等三角形的应用．18威）已知AB为的径AB=2弦，直线AD与BE相交于点，弦DE在上运动且保持长度不变，O的切线DF交BC于F．如图1，若DE∥，求证：CF=EF；如图，点运至与点B重时，试判断CF与BF是相等，并说明理由．【考点】：线的性质；：边三角的判定与性质菁优网版权所有【分析如1连接OD、，得OAD、ODE、OEB、△CDE是边三角形，进一步证得⊥即证得结论；（）据切线性质以及等腰三角形的性质即可证得结论．【解答】证明：如图1连接、，∵，∴，∵，∴OD=OE=DE，∴△是等边三角形，∴∠ODE=∠，∵AB，∴∠AOD=∠，EOB=∠，∴△和△BOE是边三角形，∴∠OAD=∠，∴∠CDE=∠，∠∠OBE=60°，∴△是边三角形，∵是O的切线，∴⊥，∴∠EDF=90°﹣，∴∠DFE=90°，∴⊥，∴；（）等；如图，E运至与点重时，是的切线，∵⊙的线DF交BC于点F，∴BF=DF，∴∠BDF=∠，∵是直径，∴∠ADB=BDC=90°，∴∠∠，∴，∴BF=CF．【点评本题考查了切线的性质、平行线的性质边三角形的判定等三角形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．19南通）如图，eq\o\ac(△,Rt)中，C=90°BC=3，在AB上OB=2，OB为径的⊙与AC相于点D，BC于点，弦BE的．【考点】：线的性质；：股定理．菁优网版权所有【分析连，先证明四边形OFCD是形，从而得到的长，然后利用垂径定理求得BE的即可．【解答】解：连接OD，OF⊥于点F．∴BE，∵是的切线，∴⊥AC∴∠ODC=∠∠，∴四边形是矩形，∵，，∴﹣﹣﹣，∴BE=2BF=2．【点评本题考查了切线的性质股定理及垂径定理的知识解题的关键是能够利用切线的性质构造矩形形，难度不大．20河）如图在中AB=AC，AB为直径的O交AC边点，点C作∥，与过点的切线交于点F，接BD．求证：BD=BF；若AB=10，CD=4，BC的．【考点】：线的性质；：等腰三角形的性质．菁优网版权所有【分析根圆周角定理求出⊥，∠BDC=90°，据切线的性质得ABBF，出∠∠，据角平分线性质得出即可；（）出AC=10，，据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出即．【解答证：∵AB是⊙的直径，∴∠，∴⊥，BDC=90°，∵切⊙O于，∴⊥，∵∥，∴⊥，∠∠ABC∵，∴∠∠，∴∠∠，∵⊥，⊥，∴（）：∵，AB=AC，∴AC=10，∵，∴﹣，在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理得

，在eq\o\ac(△,Rt)中，由勾股定理得BC=

=4

．【点评】本题考查了切线的性质勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．21北）如图是⊙O的条弦，是AB的中点，过点E作⊥于C，过点作O的切线交CE的长线于点．（）证：DB=DE；（）AB=12，BD=5，求⊙的径．【考点】：线的性质；：股定理；M2：垂径定理菁优网版权所有【分析欲明，只要证明DEB=∠；（）DF于F，接OE．只要证明AOE=DEF可得∠∠由此求出AE即解决问题．【解答证：∵∴∠OAB=OBA，∵是线，∴⊥，∴∠OBD=90°∴∠+∠，∵⊥，∴∠CAE∠，∵∠CEA=∠DEB∴∠∠，∴．（）DF于F，接OE．∵，AE=EB=6，∴BE=3⊥，在eq\o\ac(△,Rt)EDF中，，∴=4，∵∠AOE+∠A=90°，∠+∠A=90°∴∠AOE=∠DEF，

=，∴∠DEF=sinAOE=∵，

=，∴

．∴⊙的径为

．【点评本考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识题的关键是学会添加常用辅助线运用所学知识解决问题于中考常考题型．22乌木齐）如图是⊙的径与⊙相切于点，AB的长线交于．求证：∽△CDB；若，AB=，O半径．【考点】：线的性质．优网版权所【分析首连接CO，据CD与O相于点，得：∠；后根据AB是圆的径，可得：ACB=90°，此判断出CAD=∠BCD，即可推得∽△．（）先设CD为x，，OC=OB=，用x表出、；后根据△∽△CDB，可得：

=

，据此求出CB的值是多少，即可求出半径是多少．【解答证：如图，连接，，∵与O相于点C，∴∠OCD=90°，∵是圆O的径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO=∠∵∠ACO=∠，∴∠CAD=∠，在△和CDB中∴△∽△．（）：设CD为，则AB=，OC=OB=x∵∠OCD=90°，∴==x∴BD=OD﹣x=x，由（），∽△CDB，∴即

=

，，解得，∴∴⊙O半是

=．

，【点评】此题主要考查了切线的质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．23白）如图，是M的径∥轴交M于C．若点A（，（，，求点的标；若为段的点，求证：直线CD是M的切线【考点】：切线的判定D5坐标与图形性质菁优网版权所有【分析在eq\o\ac(△,Rt)中求出AN即解决问题；（）接MC，．要证明∠MCD=90°即；【解答】解）的标为0602∴，∵∠ABN=30°，ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：=

，∴（，（）接MC，∵是⊙的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在eq\o\ac(△,Rt)中D为的点，∴，∴∠∠，∵，∴∠MCN=∠，∵∠MNC∠CND=90°，∴∠MCN∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙的切线．【点评本题考查圆的切线的判定标与图形的性质勾股定理等知识解的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24天）如图，△是⊙的内接三角形E是BD的中点，点C是⊙外一点且∠∠，接OE延长圆相交于点，相于点C．求证：是⊙的线若⊙的径为，，弦的．【考点】：切线的判定菁优网版权所有【分析连，垂径定理的推论得出BE=DE，⊥BD，

=

，由圆周角定理得出∠∠，出∠+∠DBC=90°，出即可；（）勾股定求出，△的面积求出，即可得出弦BD的．【解答证：连接OB，图所示：∵是弦BD的点，∴，⊥，

=

，∴∠BOE=∠，∠+∠，∵∠DBC=∠，∴∠BOE=∠，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠，即⊥，∴是的切线；（）：∵BC=8，⊥，∴=10∵△的积OC•BE=OB•BC，∴==4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的为9.6．【点评本考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．25福）如图四边形ABCD内接于，是O的径，点P在CA的延长线上，∠．（Ⅰ）若，求

的长；（Ⅱ）若

=

，求证是⊙的线．【考点】MD切线的判定；：内接四边形的性质；：长计算．菁优网版权所有【分析）接，，圆周角定理得到COD=2CAD，CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到BOC=AOD，圆周角定理得到AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠，求得∠ADP=得到结论．【解答】解）接OD，∵∠COD=2∠，，∴∠COD=90°，∵，∴，

CAD=22.5°，得到∠∠+∠ADP=90°，是∴

的长

××；（Ⅱ）∵

=

，∴∠BOC=∠，∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠，∵∠AOD+∠∠，∴∠ODA=67.5°，∵，∴∠∠，∵∠CAD=∠ADP∠，∠CAD=45°，∴∠CAD=22.5°，∴∠∠ODA+∠ADP=90°，∴是⊙O的切线．【点评本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质长的计算正的作出辅助线是解题的关键．26黄二模）已知：如图，在中AB=AC，AB为直径的⊙交于D，过点D作⊥于．请说明DE是O的切线；若∠，AB=8，DE的．【考点】：切线的判定T7：解直角三角形．菁优网版权所有【分析要证DE是⊙的切线，只要连接OD，求证即可．（）用直角角形和等边三角形的特点来求DE的．【解答】解）连接OD，OD=OB∴∠∠分∵，∴∠∠分∴∠ODB=∠．∴∥AC分）∴∠ODE=∠分∴是的线分（）接，∵是⊙的直径，∴∠分）∴分）又∵AB=AC，∴，∠C=∠分∴分【点评本题考查的是切线的判定证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点接圆心和这点（即为半径证垂直可．营）如图，点在AB为直径的⊙上，点C是直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点．

的中点，过点C作CD垂求证：是的切线；若CAD=，，AC的．【考点】ME：线的判定与性质T7解直角三角形．菁优网版权所有【分析连，点是

的中点利用垂径定理可得出⊥，AB是⊙的径可得出BE进可得出∥再根据ADCD可出⊥由即可证出CD是⊙的线．（）点作OMAC于，由点是

的中点利用圆周角定理可得出∠，根据角平分线的定理结合∠可求出AB的长度eq\o\ac(△,Rt)中通过解直三角形可求出AM的度，再根据垂径定理可得出AC的长度．【解答证：连接，图1所．∵点C是∴=

，

的中点，∴⊥．∵是⊙的直径，∴⊥，∴∥．∵⊥，∴⊥，∴是O的线．（）：过点作OM⊥于M，图2所．∵点C是

的中点，∴∴

==

，∠∠CAE，．∵∠CAD=，∴

=，∴BF=20．在eq\o\ac(△,Rt)中∠，AB=10，∠∠CAD=，∴•cos∠，∴AC=2AM=16．【点评本考查了切线的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的性质，解题的关键是根据平