第三节 等比数列及其前n项和 教案

#第三节等比数列及其前n项和核心素养立意下的命题导向1•与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养.结合具体问题的计算，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养.与实际应用问题相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养.——在微点清障中全面落实［理清主干知识］等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同二个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：許=q(n^2,q为非零常数).M—1⑵如果三个数a，G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±^・等比数列的通项公式及前n项和公式⑴若等比数列｛an｝的首项为叫，公比是q,则其通项公式为a=aq—1；通项公式的推广：an=amqn-m.n(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当qH1时，Sn=葺—严=*—^・等比数列的性质已知他｝是等比数列，Sn是数列｛an｝的前n项和.⑴相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，。辭如，…仍是等比数列，公比为qm・仍是等比数列.r1〕仍是等比数列.(2)若｛an｝，｛巧｝是等比数列，则｛枫｝(2工0),忙卜傅｝，他bn｝，-InJ⑶若k+l=m+n（k,1，m，nWN*），则有a^a;=am^an.(4)当qH—1或q=—1且n为奇数时，Sn，S2r—Sn，S3n—S2n，…仍成等比数列，其公比为［澄清盲点误点］―、关键点练明11.俅公比)已知｛an｝是等比数列，a2=2,a5=4,则公比q等于()

A.A.B.-2C.2n-g1解析：选D由题意知q3=a5=1，即q=122.(项的性质的应用)已知Sn是各项均为正数的等比数列｛an｝的前n项和，若a2・a4=16,S3=7,则a8=()A.32B.64C.128DC.128解析：选CTa^a4=a2=16，Aa3=4(负值舍去)，①2=q或2一3又S3=ai+a2+a3=q2+,+a3=7,②联立①②，得3q2-4q-2=q或2一3Ta>0,Aq=2,Aa8=a3^q5=27=128・3.(前n项和性质的应用)设等比数列｛an｝的前n项和为Sn•若S2=3,S4=15，则S6=()A．31B．32C.63D.64解析：选C由等比数列的性质，得(S4-S2)2=S2^(S6-S4)，即122=3X(S6-15)，解得S6=63.二、易错点练清(忽视判断项的符号)在等比数列｛an｝中，若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根，则a5的值是()A.-2B.—迈C.士迈Da2解析：选B根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4，a3a7=2，由a3+a7=-4<0，a3a7>0，得a3<0，a7<0，即a5<0，由a^7=a，得a5=_-』a3a7=_(忽视等比数列的项不为0)已知x,2r+2,3x+3是等比数列的前三项，则x的值为.解析：由题意，得(2x+2)2=x(3x+3)，即x2+5x+4=0，解得x=-1或x=-4.当x=-1时，x,2x+2,3x+3分别为一1,0,0,不构成一个等比数列，故xH-1;当x=-4时，x,2x+2,3x+3分别为一4，-6，-9，能构成一个等比数列，所以x的值为一4.答案：-4

3.（3.（多个结果不注意验证）已知｛an｝&等比数列，前n项和为SngN*),且寺-£弋,S6=63,则｛a/的通项公式为an=・11212解析：设等比数列｛a；｝的公比为鼻由已知，有a—需=乔，即1一匚=宗，解得q=2或qna】a^qa】q2qq2=-1•若q=-1，则S6=0,与S6=63矛盾，不符合题意,・・・q=2,・・・S6=ai1一一紛=63,得ai=1，・an=2n-1«答案：2n-i4.(忽视对公比的讨论)设a^R,n^N*，贝U1+a+a2+a3+…+an=.解析：当a=1时，1+a+a2+a3+…+an=n+1;当aH0且aH1时，1+a+a2+a3+…+1—an+1、an=；当a=0时，1+a+a2+a3+…+an=1满足上式.所以1+a+a2+a3+…+an1—an+1，a=1，=v=v1—an+1

、1—a，aH1・n+1,a=1,答案：*答案：*1—an+1、1—a,aH1在题点全析中补齐短板考点一等比数列的基本运算［典例】（1）（2020・全国卷U）记Sn为等比数列｛an｝的前n项和.若a5—a3=12,a6—a4=24,s则卩=（）nA.2n—1B.2—21—nC.2—2n—1DC.2—2n—1⑵(2020•全国卷U)数列｛an｝中，a1=2,am+n=aman•若a&+1+a&+2+"・+%+10=215—25，则k=()A.2B.3C.4DC.4懈析］⑴法一：设等比数列｛a“｝的公比为q.解得9=2,"a5—a3=a1q4—a1q2=12,则由53解得9=2,^a6—a4=a1q5—a1q3=24所以Sn=a111—n)=2”-1,an=a1qn—1=2n—1,

“S2n—1所以T==2—21-n，故选B.TOC\o"1-5"\h\zan2n—1法二：设等比数列｛an｝的公比为q,因为所以q=2,a5—a3a3(1—q2)a312ajl—qn)〜S1—q2n—1,所以F===2—21—n，故选B・ana1qn—12n—1(2)令m=1,则由am+n=aman，得叫+1="1叫，艮牛1=a1=2所以数列｛a“｝是首项为2公n比为2的等比数列，所以an=2n，所以aJfc+1+aJt+2+w+ajk+10=Ot(a1+a2+^+a10)=NX^X——^=21+1X(210—1)=215—25=25X(210—1),解得k=4,故选C・［答案］(1)B(2)C［方法技巧］等比数列中有五个量a1，n,q,an，Sn，一般可以''知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q=1时,｛a”｝的前n项和Sn=na1；当q知时，｛an｝的前n项和Sj^^1竽=旨.［针对训练］1.(2021•湖北八校联考)已知数列｛an｝为等比数列，且a2a10=4a6,Sn为等差数列｛bn｝的前n项和，且S6=S10,a6=b7，则b9=()8-3-8-3-4一-3AC4一34--B.D.解析：选B^｛a^^等比数列，且a2a10=4a6,Aa6=4a6，解得a6=4.设等差数列｛b^｝的公差为d,・・・S6=S10,.\b7+b8+b9+b10=0,则b7+b10=O・8・。6="7=4,・％10=—4,・°・3d=b］o—〃7=—4—4=—8,・°・d=—3,.\b9=b7+2d=4+2X(-8)=-4.故选B.2.(多选)已知正项等比数列｛an｝^足叫=2,a4=2a2+a3，若设其公比为2,前n项和为Sn，则()A.q=2C.A.q=2C.S10=2047nD.a+a1<a2nn+1n+2解析：选ABD由题意勿3=切+勾2，得q2-q-2=0,解得q=2(负值舍去)，选项A正确；a=2X2n-i=2n，选项B正确；nTOC\o"1-5"\h\z2X(2n—1),Sn=2-1=2n+i—2,所以S10=2046,选项C错误；an+an+1=3an，而fln+2=4an>3«n，选项D正确•3.等比数列｛an｝的前n项和为S”•若4a1?2a2,a3成等差数列，a1=1,则S7=.解析：设等比数列｛an｝的公比为q，因为4a12a2，a3成等差数列，a1=1，所以4a2=4a1+a3,a(1-q7)1-27即4q=4+q2，解得q=2.因此，S7=)=乔2=価・答案：127考点二等比数列的判定与证明［典例］(2021年1月新高考八省联考卷)已知各项都为正数的数列｛a”｝满足2=込+1+3an.证明：数列｛a”+an+］｝为等比数列；13⑵若at=2，a2=3，求数列｛an｝的通项公式.懈】(1)证明：由a2=2a［+3a，得a2+a.=3(a.+a)，+2+1+2+1+1所以数列｛an+an+1｝是公比为3的等比数列.13因为。1=2,。2=2,所以a2+aj=2.又由(1)知数列｛an+an+1｝是公比为3的等比数列,所以an+1+an=(a2+a1)・3nT=2・3nT・113于是an+1—1X3n=—an+1X3«-1，又。2一3=0，3n-13n-11所以an—2=0，即an=2，而a】=2也符合.于是an=|x3n—1为所求.［方法技巧］等比数列的4种常用判定方法方法解读适用题型定义法若"STi_q(q为非零常数，nEN*)或-q(q为非零常数且anan-1nM2,nEN*)，则｛an｝是等比数列大题证明中项公式法若数列｛an｝中，anH0且a2+1-an-an+2(n£N*),则｛an｝是等比数列

通项公式法若数列｛an｝的通项公式可写成an=c•qn-1（c,q均是不为0的常数,n^N*）,则｛an｝是等比数列选择填空前n项和公式法若数列｛an｝的前n项和Sn=k・qn-k（k为常数且kH0,qH0,1）,则｛an｝是等比数列［提醒］⑴若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.（2）利用递推关系时，要注意对n=1时的情况进行验证.［针对训练］已知数列傀｝的前n项和Sn=1+2a“，其中2H0.（1）证明：｛a/是等比数列，并求其通项公式；⑵若S5=31,求2.解：（1）证明：由题意得a1=S1=1+2a1,1故2H1,a1=j^2，a1^0.由S=1＋2a，S1=1＋2a1得a1=2a1－2a，nnn＋1n＋1n＋1n＋1n即an＋1（2－1）=2an.A由a］H0,2H0得a“H0,所以an因此他｝是首项为七，公比为右的等比数列，于是an=七㈡…(2)由(2)由(1)得Sn=1-由s5=32得1-G—)5=芸，即G—)5=32・解得2=-1.考点三等比数列的性质及应用［典例】⑴（2020•全国卷I）设｛a”｝是等比数列，且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=（）D．32A．12BD．32C．3017（2）已知正项等比数列｛a”｝的前n项和为Sn，S=9,S3=27,则a1a2-an的最小值为（c・(27)4b・(27)3c・(27)4d・0&懈析］⑴法一：设等比数列｛a”｝的公比为q.

所以朋由a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1(1+2+22)=1,解得ax=7，所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)=117X(25+26+27)=7X25X(1+2+22)=32，故选D.法二：令bn=an+an+1+an+2(nEN*),则bn+1=an+1+an+2+an+3.设数列｛an｝的公比为q,b-a-+a~+a〜(a+a-+a、q则n+1=n+1n+2n+3=n'"n11n+2兀=q则bna+a+a2a+a+a2q，+1+2+1+2所以数列｛b｝为等比数列，由题意知b.=1,b2=2,12所以等比数列｛bn｝的公比q=2,所以bn=2n-1,所以b6a6+a7+a82532,故选D.⑵设等比数列｛an｝的公比为q,则q>0,4由题意得a3=s3-s2=27,则有4a14a1q2=27,a1+a1q=9’lq>0,解得”埸lq=2,2n-1所以an="27°当1WnW5时，a<1;当nM6时，a>1,nn则a1a2^an的最小值为a1a2a3a4a5=(a3)5［答案］(1)D(2)D［方法技巧］1．等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2．应用等比数列性质解题时的2个注意点在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n=p+q(m,n,p,q^N*)，则am*an=ap'a^f，可以减少运算量，提高解题速度.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.

［针对训练］1.（2021•湖南名校联盟检测）已知正数组成的等比数列他｝的前8项的积是81,那么a1+a8的最小值是（）A.2爲B.2远C.8D.6解析：选A•・•正数组成的等比数列｛an｝的前8项的积是81,・・・a1a2・・・a8=（a1a8）4=81,解得a1a8=3•那么a1+a8^2,0^=^,3，当且仅当a1=a8=，3时取等号.故选A・1一«2+■1一«1则9一8J2•在等比数列｛a“｝中，若a1+a2+a3+1一«2+■1一«1则9一8JD.A.|D.C.解析:选D解析:选D£+£+£+1

a4a1+a4+a2+a3咛aaa3•.•在等比数列｛an｝中,a^a4=a2・a,:.原式=a1+a:.原式=a1+a2+a3+a415乂。沁8=_5•故选D.8一93•已知正项等比数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sg—2S4=5,则ag+aio+aii+a^的最小值为（）B.20AB.20C.15DC.15解析：选B在正项等比数列｛an｝中，Sn>0・因为S8_2S4=5,所以S8_S4=5+S4,易知S4,S8_S4,S12_S8成等比数列，所以(S8_S4)2=S4・(S12_S8),所以S12所以S12_S8=(S4+5)2=25S4=S4+S4+1OM2"J25・S4+10=20(当且仅当S4=5时取等号).因为S12_S8=a9+a10+a11+a12,所以a9+a10+a11+a12的最小值为20・在科学思维中参悟提丹创新考查方式领悟高考新动向1•中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟•羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半•”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半•”

打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升,1斗为10升，则下列判断正确的是（）A.a,b,c依次成公比为2的等比数列，且«=507A.a,b,c依次成公比为2的等比数列，且«=507B.a,b,c依次成公比为2的等比数列，且c=507C.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a=507D.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c=507解析：选D由题意可知b=!a,c=*b,.b1c1

••a=2'b=2・・・・a,b,c成等比数列且公比为1•••1斗=10升'・・・5斗=50升,・・a+b+c=50,又易知a=4c,b=2c,A4c+2c+c=50,.\7c=50'Ac=50，故选D・CdLeLnbL2.（2021•湖北省部分重点期中联考）我国明代著名乐律学家朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个C1键到下一个C2键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，C2的频率正好是C1的2倍.已知标准音a1的频率为440Hz,那么频率为220"Hz的音名是（）B.f1AB.f1C.e1D・^d1解析：选D一个八度音程从一个c1键到下一个C2键的8个白键与5个黑键的音频恰好构成一个等比数列，记为数列｛m」,1W"W13，设其公比为q.又C2的频率正好是C1的2倍，所以2m1=m1q12,丄解得q=212・

3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托尔三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0,1］均分为三段，去掉中间的区间段3),记为第一次操作；再将剩下的两个区就°，剤，［3*分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托尔三分集”．若使去掉的各9区间长度之和不小于10,则需要操作的次数n的最小值为(参考数据：lg2=0.3010,lg3=TOC\o"1-5"\h\z0.4771)()A．4B．5C．6D．7解析：选C第一次操作去掉的区间长度为1；第二次操作去掉两个长度为1的区间，长度214和为9；第三次操作去掉四个长度为27的区间，长度和为27；第n次操作去掉2«-1个长度为3n的区间，长度和为字,于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为Sn=1+2+・・・+¥=1-(2)n，10,即nlg2^lg10=-1，即n(lg3-lg2)^1，解得：nM^3-lg2〜5・679〜5・679,又n为整数，所以n的最小值为6•故选C・4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处浮雕共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个浮雕，这些浮雕构成一幅优美的图案，若从最下层往上，浮雕的数量构成一个数列｛叫｝，则log2(a3a5)的值为()A．8B．10C．12D．16解析：选C依题意得，数列｛a/是以2为公比的等比数列，因为最下层的浮雕的数量为av所以S7=［—2=1016，解得a=8,所以an=8X2n-1=2n+2(1WnW7,nEN*)，所以a3=25，a5=27，从而a3Xa5=25X27=212，所以log2(a3a5)=log2212=12，故选C・

5.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边上再连接正方形，…，如此继续下去，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为J2,则最小正方形的边长为.解析：由题意知，正方形的边长构成以詔2为首项，以¥为公比的等比答案:116数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+・・・+2”-1=1023,・・・n=10,答案:1166.是否存在一个等比数列｛an｝同时满足下列三个条件：①《］+°6=11且a1a6=32；②24an+1>an(nGN*):③至少存在一个m(meN*且m>4),使得3am_j，a2，am+1+g依次构成等差数列？解：假设存在满足条件的等比数列｛a“｝.a1+a6=11，由①可知321咛a6=歹启，32a6―由②可知数列｛a“｝是递增的，所以启，32a6―1今q=2.此时an=3X2n-1.3由③可知2am=|am-1+(am+1+9j^2(|x2m-1j2=3x|x2m-2+(|x2m+9j，解得m=3，与已知m>4矛盾，故这样的数列｛a“｝不存在.［课时跟踪检测］一、基础练一一练手感熟练度1•已知各项均为正数的等比数列｛aj满足a1a5=16，a=2,则公比q=()A.4B.51C.2D・2解析：选C么•解析：选C么•a&4=16，1叮解得叫=：或叩=2,q=2I由题意,q=_2(舍去)，故选C・2•公比不为1的等比数列｛a/满足a5a6+a4«7=18，若a1am=9，则m的值为()B.9AB.9D．11CD．11解析：选C由题意得，勿夕6=18,・・0屮6=9,丁么1么加=0申6=9,・皿=10.3•已知公比qH1的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1,S3=3a3，则S5=()A.1B.5,11D.16c31,11D.16C48解析：选D由题意得a1~qi=3aqp，，解得q=-1或q=1(舍)，所以$5=°£可)=1-(~2)5=111-(-尸4.已知他｝是公差为3的等差数列，若a1，a2,a4成等比数列，则｛an｝的前10项和S10=()A.165B.138TOC\o"1-5"\h\zC.60D.30解析：选A由a1,a2,a4成等比数列得a2=a1a4，即(a1+3)2=at^(a1+9)，解得a1=3,则10X9iS10=10a1+厂4=10X3+45X3=165•故选A.775•已知等比数列｛an｝的各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足：a1+3a3=2,S3=2,贝9a4=()BlA1BlC.4D.8解析：选A设等比数列｛a｝的公比为q,则q>0・7一7一2--3.•・a1+3a1q2=2，a1(1+q+q2)=2,联立解得a1=2,q=2.则a4=2X^2)3=1•故选A.二、综合练——练思维敏锐度1.(2021•福州模拟)已知等比数列他｝各项均为正数，满足a1+a3=3,a3+a5=6，贝0a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7=()A.62B.62\2C.61D.6K2解析：选A设正项等比数列｛an｝的公比为q(q>0),Va1+a3=3,a3+a5=6,

.\a1(1+q2)=3,Q](q2+q4)=6,联立解得a1=1,q2=2・・,a+a+3=q2=2,a1a3=1X(1X2)=2,A｛anan2｝是以2为首项，2为公比的等比数列，anan＋2126(2710-1).故选D.426(2710-1).故选D.4.(2021•邵阳模拟)设Sn是等比数列｛an｝的前n项和，若g=3,则瓷=()A.2B・fD.1或2解析：选B设S2=k(kH0),S4=3k,T数列｛a/为等比数列，・・・S2,S4—S2,S6—S4也为S7k7等比数列，又S2=k,S4—S2=2k,・・・S6—S4=4k,・・・S6=7k,・・・F=3k=3,故选B.5.(多选)在公比为q的等比数列｛a“｝中，Sn是数列他｝的前n项和，若a1=1,a5=27a2，则下列说法正确的是()A.q=3B.数列｛Sn+2｝是等比数列:、a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+aga7=\_2)=62•故选A・2.已知各项均为正数的等比数列｛an｝中，2与a8的等比中项为迄，则a4+a6的最小值是()A．1B．2C.4D.8解析：选C•・•等比数列｛an｝中,a2与a8的等比中项为\2,Aa4a6=a2a8=2.则a|+a6^2a4a6=4,当且仅当a4=a6=j2时取等号.故选C・b3•已知数列｛an｝,｛%｝满足a1=b1=1,an+1—an="^=3，n^N*，则数列｛ba｝的前10项nnTOC\o"1-5"\h\z和为()B.j(910—1)A・1(3B.j(910—1)C.26(279—1)D.26(2710—1)解析：选D由a-a=3,知数列｛a｝为公差为3的等差数列，则a=1+(n-1)X3=3nn+1nnn-2;由bb+1=3,知数列｛bn｝为公比为3的等比数列，则bn=3n-1•所以ba=33“-3=27«bnnnanC・101-2710-1,则数列｛ba｝为首项为1,公比为27的等比数列，则数列｛ba｝的前10项和为1-27=C・10正确；t1—3n111s+22（3n+1+3）_1=1+2（3n+3）因为1s+22（3n+1+3）_1=1+2（3n+3）21+3工常数,所以数列｛S+2｝不是等比数列，故选项B不1+31—nn正确；1因为S5=2（35—1）=121,所以选项C正确;an=a：^n—1=3n—1>0,因为当时，lg叫—2+】g叫+2=愆（叫—2・叫+2）=lga2=2lgan，所以选项D正确.A-46•已知正项等比数列｛an｝满足：°2。8=16«5，a3+a5=20，若存在两项am，an使得aman=32,则m+n的最小值为（）A-4B.10D.9解析：选A设公比为q，q>0.•・•数列｛an｝是正项等比数列，・・・a2a8=a2=16a5，.*.a5=16，又a3+a5=20,Aa3=4,・°・？=2,・・・。1=1,・：。”=。1?"—1=2n—1.•\/0云=32,・：2«-12"-1=210,即m+n=12,・m+n=2m+n）&+f）=H5+m+警）妞5+2遵钊弘,心*）,当且仅当n=2m，即m=4,n=8时“=”成立，TOC\o"1-5"\h\z143・m+n的最小值为4，故选a.7.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若Sn=2“+1+2,则2=（）A.—2B.—1C.1D.2解析：选A法一：依题意,a1=S1=4+2,a2=S2—S1=4,a3=S3—S2=8,因为｛。“｝是等比数列，所以a2=afa3,所以8（4+2）=42，解得2=—2•故选A.法二：Sn=2n+1+2=2X2n+2,易知qH1,因为｛a/是等比数列，所以Sn=1—q—芒qqn,据此可得2=—2.故选A.

17D五8.设数列｛(“2+叭｝是等比数列，且a=-6,a=-54,贝0数列｛3%｝的前1517D五C16解析：选B等比数列｛(“2+叽｝的首项为2a1=3，第二项为6a2=1，故公比为事所以@21<1\111111+n)an=3・l3Jn_I=3n，所以an=3n(n2+n)，则3叫=击+厂厂帀，其前"项和为帀，115当n=15时，前15项和为1一16=16・9.各项均为正数的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若Sn=2,S3n=14，则S4n等于()A.80B.30C.26D.16解析：选B由题意知公比大于0由等比数列性质知Sn,S2n—Sn,S3n—S2n,S4n—S3n，…仍为等比数列．设S2n=x，则2,x—2,14—x成等比数列.由(x—2)2=2X(14—x),解得x=6或x=—4(舍去).・・・Sn，S2n—Sn，S3n—S2n，S4n—S3n，…是首项为2,公比为2的等比数列.又•・遇“=14，・・・％=14+血23=30・8TOC\o"1-5"\h\z10.已知等比数列｛an｝的前n项积为Tn，若珀=一24,a4=—9,则当Tn取得最大值时，n的值为()A.2B.3C.4D.6811解析：选C设等比数列｛an｝的公比为g,则a4=—24^3=—9,所以q3=27，q=3，易知此等比数列各项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B;而T2=(—24)2Xg)=24X8=192,T4=(—24)4Xg)6=8以9="9>192,卩6=(—24)6X^3)15=86X^3)9=39="9X37V9，所以T4最大•故选C・11.设数列｛a/为等差数列，数列｛b“｝为等比数列.若at+a5+a9=n，则cos(a2+a8)=；若打>0，且b5b6+b4b7=4，贝0bjb2—b10=・解析：因为数列｛an｝为等差数列，a1+a5+a9=n,所以3a§=n。5=3，

12.12.所以cos(a2+a8)=cos(2a5)=C0S3=又因为数列｛bn｝为等比数列，bn>0,且b5b6+b4b7=4,所以2b5b6=4b5b6=2,所以bp2…耳0=@』6)5=25=32・1答案：一13212•已知等比数列｛叮的公比为正数，且a3a9=2a5，a2=1，则a=.解析：•.•a3a9=a6，・°・。2=加5，设等比数列｛an｝的公比为q,Aq2=2,由于q>0,解得q=2,・=卷=迄•-ai=q=2・答案:¥13.等比数列｛an｝中，已知各项都是正数，且a1，2a3,2a2成等差数列，・1415解析：设｛an｝的公比为q・由题意得a1+2a2=a3,则a1(1+2q)=a1q2,q2－2q－1=0,所以q=2=1+迈(舍负)，则?3+^4=1='/2—1・2a14+a15q答案：运一114•在数列｛%｝中，啤+1+坷+1=即“+2+叫+叫+2,且a1=2,勺=5・证明：数列｛an+1｝是等比数列；⑵求数列｛an｝的前n项和sn・解：⑴证明:•・・啤+1+加”+1=叫叫+2+叫+叫+2,・(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1),即a+±i=a+±!an+1an+1+1・a+1・・・幻=2,a2=5,・・・a1+1=3,a2+1=6,・a1+1=2,・•・数列｛an+1｝是以3为首项，2为公比的等比数列.由(1)知，an+1=3・2n—1,15.15.(2020•新高考全国卷I)已知公比大于1的等比数列