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期中综合检测试卷(第十六章~第十八章)(满分:120分)一、选择题(每题3分,共30分)1.若eq\r(\f(3,x-1))是二次根式,那么x的取值范围是(C)A.x≥1 B.x≤1C.x>1 D.x<12.下列各式运算正确的是(D)A.eq\r(16)÷2=2eq\r(2) B.3eq\r(5)-eq\r(5)=3C.eq\r(18)=2eq\r(3) D.eq\r(7)×eq\r(3)=eq\r(21)3.△ABC的三边分别为a、b、c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②a2=(b+c)(b-c);③a∶b∶c=3∶4∶5.其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有(D)A.0 B.1C.2 D.34.若a=eq\f(1,2)(eq\r(5)+eq\r(3)),b=eq\f(1,2)(eq\r(5)-eq\r(3)),那么a2-ab+b2的值为(A)A.eq\f(7,2) B.eq\f(9,2)C.eq\f(11,2) D.eq\f(\r(15),2)-15.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,若AC+BD=10,BC=4,则△BOC的周长为(B)A.8 B.9C.10 D.146.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G,则图形中与∠AED相等的角有(B)A.4个 B.3个C.2个 D.1个7.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,已知下列条件:①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD,则不能使四边形ABCD成为矩形的是(C)A.①②③ B.②③④C.①②⑤⑥ D.④⑤⑥8.如图,小明准备测量一段水渠的深度,他把一根竹竿AB竖直插到水底,此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=米,竹竿高出水面的部分AD长米.如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处,竿顶和岸边的水面刚好相齐,那么水渠的深度BD为(A)A.2米 B.米C.米 D.3米9.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是AD、CD边上的中点,连接EF.若EF=eq\r(2),BD=2,则菱形ABCD的面积为(A)A.2eq\r(2) B.eq\r(2)C.6eq\r(2) D.8eq\r(2)10.如图,四边形ABCD与四边形OEFG都是正方形,O是正方形ABCD的中心,OE交BC于点M,OG交CD于点N,下列结论:①△ODG≌△OCE;②GD=CE;③OG⊥CE;④若正方形ABCD的边长为2,则四边形OMCN的面积等于1.其中正确的结论有(C)A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析:∵O是正方形ABCD的中心,∴OD=OC,AC⊥BD,∠ODN=∠OCM=45°,∴∠DOC=90°.∵四边形OEFG是正方形,∴OG=OE,∠EOG=90°,∴∠DOG=∠COE.在△DOG和△COE中,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OD=OC,,∠DOG=∠COE,,OG=OE,))∴△DOG≌△COE,∴DG=CE,∴①②正确;∵∠EOG=90°,∴OE⊥OG,过点E有且只有一条直线和OG垂直,∴OG不垂直CE,∴③错误;在△DON和△COM中,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠ODN=∠OCM,,OD=OC,,∠DON=∠COM,))∴△DON≌△COM,∴S△DON=S△COM,∴S四边形OMCN=S△COD.∵正方形ABCD的边长为2,∴S△COD=eq\f(1,4)S正方形ABCD=1,∴S四边形OMCN=S△COD=1,∴④正确,即正确的有①②④.故选C.二、填空题(每题3分,共18分)11.已知△ABC的三边长为a、b、c,化简|a+b-c|-|c-a+b|+eq\r(b-a-c2)=__3a-b-c__.12.如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为__30°__.13.一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为cm,高为12cm,吸管放进杯里(如图),杯口外面至少要露出cm,为节省材料,管长a的取值范围是cm≤a≤cm__.14.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为__8__.15.已知正方形ABCD、正方形CEFG、正方形PQFH如图放置,且正方形CEFG的边长为4,A、G、P三点在同一条直线上,连接AE、EP,那么△AEP的面积是__16__.解析:连接AC、GE、PF,则AC∥GE∥PF,∴S△EGA=S△EGC,S△EGP=S△EGF,∴S△AEP=S正方形CEFG=4×4=16.16.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为A1、B1、C1、D1,顺次连接得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2、B2、C2、D2,顺次连接得到四边形A2B2C2D2,…,以此类推,这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为__eq\f(8,2n-1)(或24-n)__.三、解答题(共72分)17.(6分)计算:(1)2×(1-eq\r(2))+eq\r(8);解:(1)原式=2-2eq\r(2)+2eq\r(2)=2.(2)(1+eq\r(2))2+3×(1+eq\r(2))(1-eq\r(2)).解:原式=1+2+2eq\r(2)+3×(1-2)=2eq\r(2).18.(6分)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=5,D为AC上一点,且BD=4,CD=3.(1)求证:BD⊥AC;(2)求AB的长.(1)证明:∵CD=3,BC=5,BD=4,∴CD2+BD2=9+16=25=BC2,∴△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°,∴BD⊥AC.(2)解:设AD=x,则AC=x+3.∵AB=AC,∴AB=x+3.∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,∴AB2=AD2+BD2,即(x+3)2=x2+42,解得x=eq\f(7,6),∴AB=eq\f(7,6)+3=eq\f(25,6).19.(6分)已知x、y、a满足eq\r(x+y-8)+eq\r(8-x-y)=eq\r(3x-y-a)+eq\r(x-2y+a+3),求长度分别为x、y、a的三条线段组成的三角形的面积.解:根据二次根式的意义,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y-8≥0,,8-x-y≥0.))解得x+y=8,∴eq\r(3x-y-a)+eq\r(x-2y+a+3)=0.根据二次根式的非负性,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x-y-a=0,,x-2y+a+3=0,,x+y=8,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=5,,a=4.))又∵32+42=52,∴以长度分别为x、y、a的三条线段可以组成直角三角形,面积为eq\f(1,2)×3×4=6.20.(8分)如图,在离水面高8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,此人以1米每秒的速度收绳,7秒后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的,结果保留根号)解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,BC=17米,AC=8米,∴AB=eq\r(BC2-AC2)=15(米).∵此人以1米每秒的速度收绳,7秒后船移动到点D的位置,∴CD=17-1×7=10(米),∴AD=eq\r(CD2-AC2)=eq\r(100-64)=6(米),∴BD=AB-AD=15-6=9(米).即船向岸边移动了9米.21.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°.∵DE⊥BD,∴∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,∴DE∥AC,∴四边形ACDE是平行四边形.(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,AC⊥BD,∴AD=eq\r(AO2+DO2)=eq\r(42+32)=5.∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=AD=5,DE=AC=8,∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.22.(8分)计算并观察下列式子,探索它们的规律,并解决问题.(eq\r(3)+eq\r(1))(eq\r(3)-eq\r(1))=__2__;(eq\r(5)+eq\r(3))(eq\r(5)-eq\r(3))=__2__;(eq\r(7)+eq\r(5))(eq\r(7)-eq\r(5))=__2__;……(1)试用正整数n表示这个规律,并加以证明;(2)求eq\f(1,\r(3)+1)+eq\f(1,\r(5)+\r(3))+eq\f(1,\r(7)+\r(5))+…+eq\f(1,\r(121)+\r(119))的值.(1)解:(eq\r(2n+1)+eq\r(2n-1))·(eq\r(2n+1)-eq\r(2n-1))=2.证明:(eq\r(2n+1)+eq\r(2n-1))·(eq\r(2n+1)-eq\r(2n-1))=(eq\r(2n+1))2-(eq\r(2n-1))2=2n+1-(2n-1)=2.(2)原式=eq\f(\r(3)-1,2)+eq\f(\r(5)-\r(3),2)+eq\f(\r(7)-\r(5),2)+…+eq\f(\r(121)-\r(119),2)=eq\f(1,2)(eq\r(3)-1+eq\r(5)-eq\r(3)+eq\r(7)-eq\r(5)+…+eq\r(121)-eq\r(119))=eq\f(1,2)(eq\r(121)-1)=5.23.(8分)如图,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上,AH=2.(1)已知DG=6,求AE的长;(2)已知DG=2,求证:四边形EFGH为正方形.(1)解:∵AD=6,AH=2,∴DH=AD-AH=4.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,∴HG2=DH2+DG2,HE2=AH2+AE2.∵四边形EFGH是菱形,∴HG=HE,∴DH2+DG2=AH2+AE2,即42+62=22+AE2,∴AE=4eq\r(3).(2)证明:∵AH=2,DG=2,∴AH=DG.∵四边形EFGH是菱形,∴HG=HE.在Rt△DHG和Rt△AEH中,∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(HG=EH,,DG=AH,))∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL),∴∠DHG=∠AEH.∵∠AEH+∠AHE=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°,∴∠GHE=90°.∵四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH是正方形.24.(10分)在▱ABCD中,连接对角线BD,AB=BD,E为线段AD上一点,AE=BE,F为射线BE上一点,DE=BF,连接AF.(1)如图1,若∠BED=60°,CD=2eq\r(3),求EF的长;(2)如图2,连接DF并延长交AB于点G,若AF=2DE,求证:DF=2GF.(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=2eq\r(3).∵AB=BD,∴BD=2eq\r(3).∵EA=EB,∴∠EAB=∠EBA.∵∠DEB=60°,∠DEB=∠EAB+∠EBA,∴∠BAD=∠EBA=∠ADB=30°,∴∠EBD=90°,∴BE=2,DE=2BE=4.∵BF=DE,∴BF=4,∴EF=BF-BE=4-2=2.(2)证明:延长CB交DG的延长线于点H.∵EA=EB,BA=BD,∴∠EAB=∠EBA=∠ADB.∵BF=DE,∴△ABF≌△BDE(SAS),∴BE=AF.∵AF=2DE,∴BE=2DE=2BF,∴EF=FB.∵HC∥AD,∴∠HBF=∠FED,∠BFH=∠EFD,∴△HBF≌△DEF(ASA),∴HB=DE,HF=DF.∵BF=DE,∴HB=BF,∴△BFH是等腰三角形.∵BH∥AD,∴∠HBA=∠BAD.∵∠DAB=∠EBA,∴∠HBA=∠EBA,∴HG=GF.又∵HF=DF,∴DF=2FG.25.(12分)如图,以△ABC的各边为边长,在边BC的同侧分别作正方形ABDI,正方形BCFE,正方形ACHG,连接AD、DE、EG.(1)求证:△BDE≌△BAC;(2)①设∠BAC=α,请用含α的代数式表示∠EDA、∠DAG;②求证:四边形ADEG是平行四边形;(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是正方形?请说明理由.(1)证明:∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形,∴AC=AG,AB=BD,BC=BE,∠GAC=∠EBC=∠DBA=

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