人教B版高中数学选择性必修第二册4.2.4　第二课时　离散型随机变量的方差word含答案

第二课时离散型随机变量的方差课后篇巩固提升基础达标练1.某人从家乘车到单位,途中有3个路口.假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是,则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为() 解析因为途中遇红灯的次数X服从二项分布,即X~B(3,,所以D(X)=3××=.答案C2.已知随机变量X的分布列为X135P则X的标准差D(X)等于 B.3 D.3解析数学期望E(X)=1×+3×+5×=,由方差的定义,D(X)=2×+2×+2×=++=.所以标准差D(答案D3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()×2-2 ×2-10 解析因为X~B(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(1-p).所以np=6,所以P(X=1)=C121×1211答案C4.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次.设摸得白球的个数为X,已知E(X)=3,则D(X)等于()A.85 B.C.45 D.解析由题意知X~B5,则E(X)=5×3m+3=3,解得m=所以D(X)=5×35答案B5.(2022浙江高考)设0<a<1.随机变量X的分布列是X0a1P111则当a在(0,1)内增大时,()(X)增大 (X)减小(X)先增大后减小 (X)先减小后增大解析由分布列得E(X)=1+a3,则D(X)=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122答案D6.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=,则P(X=2)=.(结果用数字表示)

解析∵D(Y)=4D(X)=,∴D(X)=.又X~B(n,p),∴np解得p=,n=5.故P(X=2)=C52p2(1-p)3=答案327.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为;2D(X)-解析随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为X01P1-pp,从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.D(X)=p-p2=-p2-p+14+14=-p-122+14.因为02D(X)-1E(X)=2p-2p2-1p=2-故2D(X)-1E答案142-28.某花店每天以每枝5元的价格购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解(1)当日需求量n≥16时,利润y=80.当日需求量n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=10n-80,n<16,(2)①X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=,P(X=70)=,P(X=80)=.X的分布列为X607080PX的数学期望为E(X)=60×+70×+80×=76.X的方差为D(X)=(60-76)2×+(70-76)2×+(80-76)2×=44.②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585PY的数学期望为E(Y)=55×+65×+75×+85×=.Y的方差为D(Y)=2×+2×+2×+2×=.由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然E(X)<E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585PY的数学期望为E(Y)=55×+65×+75×+85×=.由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.能力提升练1.(2022山东高二月考)若离散型随机变量X的分布列如下,则X的方差D(X)=()X01Pm 解析由题意可得m+=1,所以m=,所以E(X)=0×+1×=,所以D(X)=2×+2×=.故选C.答案C2.(多选)(2022山东高二期末)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的是()=(X)=2,D(X)=(X)=2,D(X)=(Y)=5,D(Y)=解析因为q++++=1,所以q=,故A正确;又E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2,D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=,故D正确.故选ACD.答案ACD3.(2022福建高二期末)现有一条零件生产线,每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件,设其中优等品零件的个数为X.若D(X)=8,P(X=20)<P(X=30),则p=() 解析∵P(X=20)<P(X=30),∴C5020p20(1-p)30<C5030p30(1化简得1-p<p,即p>12又D(X)=8=50p(1-p),解得p=或p=,∴p=,故选C.答案C4.(2022山东济南高三月考)若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,又已知E(X)=43,D(X)=29,则|x1-x2|A.53 B. 解析∵23+∴随机变量X的值只能为x1,x2,∴2解得x∴|x1-x2|=1.故选D.答案D5.随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=,D(X)=,则E(X)=.

解析设P(X=2)=x,其中0≤x≤,可得出P(X=1)=,所以E(X)=0×+1×+2x=x+,D(X)=(x+2×+2×+2×x=,解得x=或x=(舍去),因此E(X)=+=1.答案16.(2022浙江高三专题练习)已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球,其中3个黑球和2个白球,从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则E(X)=,D(X)=.

解析由题意得X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3所以X的分布列为X123P331所以E(X)=310×1+35×2+110×3D(X)=310×1-952+35×2-952+110×3-答案97.(2022西藏拉萨那曲第二高级中学高二期末)已知随机变量X的分布列为X01xP11p若E(X)=23(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.解(1)由题意可得12+13+p=1,得p=16,又E(X)=0×12+1×13+x∴D(X)=0-232×12+1-232×13+2-2(2)∵Y=3X-2,∴D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=9×59=58.(2022天津滨海新区塘沽第一中学高考模拟)某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有N个人参加.现将所有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)七组.其频率分布直方图如图所示,已知[25,30)这组的参加者是6人.(1)根据此频率分布直方图求N;(2)组织者从[45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为X,求X的分布列、均值及方差;(3)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师.现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率.解(1)[25,30)这组频率为×5=,所以N=60.15(2)[45,55)这组的参加者人数为+×5×40=6,所以X可能的取值为1,2,3,P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4X123P131E(X)=1×15+2×35+3×1D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×(3)[35,40)这组的参加者人数为×5×40=8.[40,45)这组的参加者人数为×5×40=6.恰有1名数学老师的概率为C2素养培优练1.(2022河南高三月考)已知随机变量ξ的分布列如下表所示,则下列说法正确的是()ξxyPyxA.存在x,y∈(0,1),E(ξ)>1B.对任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤1C.对任意x,y∈(0,1),D(ξ)<12E(ξD.存在x,y∈(0,1),D(ξ)>1解析依题意可得E(ξ)=2xy,D(ξ)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yx.因为x+y=1,所以2xy≤(x当且仅当x=y时取等号.即E(ξ)≤12,故A,B错误∴D(ξ)=[(2x-1)2x+(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx.∵0<x<1,∴-1<2x-1<1,∴0<(2x-1)2<1,∴D(ξ)<yx,即D(ξ)<12E(ξ),故C成立∵D(ξ)=(1-2x)2yx<xy≤14,故D错误故选C.答案C2.(2022黑龙江牡丹江一中高二月考)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱50瓶,批发成本85元;小箱每箱30瓶,批发成本65元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶).(1)设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量Y,求X和Y的分布列;(2)从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?(必须作出一种合理的选择)解(1)若早餐店批发一大箱,批发成本为85元,依题意,销量有20,30,40,50四种情况.当销量为20瓶时,利润为5×20-85=15元,当销量为30瓶时,利润为5×30-85=65元,当销量为40瓶时,利润为5×40-85=115元,当销量为50瓶时,利润为5×50-85=165元.随机变量X的分布列为X1565115165P若早餐店批发一小箱,批发成本为65元,依题意,销量有20,30两种情况.当销