人教版2022必修二立体几何简单几何体的表面积与体积（含解析）

人教版2022必修二立体几何简单几何体的表面积与体积一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（

）A.

92

B.

9

C.

2722.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（

）A.

3π

B.

8π

C.

12π

D.

14π3.下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（

）A.

12πa2

B.

6πa24.在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的正三角形，AB=3A.

21π

B.

6π

C.

24π

D.

15π5.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（

）A.

42π

B.

4π

C.

26.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（

）A.

23π

B.

43π

C.

7.玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平､周边圆形､中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高2.5cm，孔径8cm.外径A.

158.5πcm3

B.

160.8.底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是（

）A.

22π3

B.

3π3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ=30°，侧棱长为21米，则（

）A.

正四棱锥的底面边长为6米

B.

正四棱锥的底面边长为3米

C.

正四棱锥的侧面积为243平方米

D.

正四棱锥的侧面积为1210.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AA1，CC1的中点，过A.

正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的体积为43π

B.

正方体ABCD−A11.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A−BCD的外接球，BC=3，AB=23，点E在线段BD上，且BD=6BE，过点E作球OA.

π

B.

2π

C.

3π

D.

4π12.已知正三棱锥P−ABC的底面边长为1，点P到底面ABC的距离为2，则（

）A.

该三棱锥的内切球半径为26

B.

该三棱锥外接球半径为7212

C.

该三棱锥体积为212

D.

AB三、填空题（共4题；共25分）13.已知球O是三棱锥P−ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=2，CP=22，点D是PB的中点，且CD=7，则球14.15.已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为________.16.某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该几何体的体积为________，其外接球的半径为________.四、解答题（共6题；共65分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆锥的底面半径为1，高为3，求圆锥的表面积.18.将圆心角为4π3，半径为1cm的扇形，卷成圆锥形容器，求：（1）这个容器的侧面积；（2）这个容器的容积.19.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；（2）已知CF=a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V20.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，（1）求这个长方体的对角线长。（2）求这个长方体的的体积21.如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为4cm，（1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）；（2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少；（3）求出这个几何体的表面积。22.

（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为120°，面积为3π的扇形，求该圆锥的表面积和体积.（2）已知直三棱柱ABC−A1B1C

答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】由三视图可知，该四棱锥的底面为边长为3的正方形，高为3，如图：

所以该四棱锥的体积为13故答案为：B

【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．2.【答案】B【解析】【解答】由三视图可知几何体原图是一个底面半径为1高为3的圆柱，所以几何体的表面积为π×1故答案为：B

【分析】由三视图可知，该几何体为圆柱，从而求表面积．3.【答案】C【解析】【解答】根据三视图可知，该几何体为如图正方体中的三棱锥A−BCD，正方体的棱长等于a，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，所以外接球的直径2R=3因此外接球的表面积为S=4πR故答案为：C．

【分析】画出几何体的直观图，求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．4.【答案】D【解析】【解答】设△BCD的外接圆圆心为O1，半径为r，该三棱锥的外接球的球心为O，半径为R∵3sin60°=2r，∴r=3∴S故答案为：D【分析】结合已知条件由正弦定理代入数值计算出外接圆的半径，再由勾股定理计算出球的半径再由球的表面积公式计算出结果即可。5.【答案】C【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l=2由题可知12∴r=2侧面积为πrl=22故答案为：C.

【分析】根据题意由圆心角公式即可得出l与r的关系，结合已知条件即可求出半径与母线的值，再把数值代入到侧面积公式计算出结果即可。6.【答案】B【解析】【解答】正方体的体积为a3=8，则正方体棱长即R=a2+故答案为：B.

【分析】利用正方体的体积公式求出正方体的棱长，再利用正方体的体对角线等于正方体外接球的直径，进而利用勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式，从而求出这个正方体的外接球的体积。7.【答案】C【解析】【解答】由题意知，该玉璧的体积为底面半径为9cm，高为2.5cm的圆柱的体积减去底面半径为4cm，高为2.故答案为：C.

【分析】由题意知，该玉璧的体积为底面半径为9cm，高为2.5cm的圆柱的体积减去底面半径为4cm，高为8.【答案】A【解析】【解答】因为圆锥的底面半径为1，母线长为3，所以圆锥的高h=3所以圆锥的体积为V=1故答案为：A.【分析】由圆锥的底面半径为1，母线长为3，可知圆锥的高h=32−二、多选题9.【答案】A,C【解析】【解答】如图，在正四棱锥S−ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a．因为∠SHO=30°，所以OH=AH=a,OS=3在Rt△SAH中，a2所以a=3，底面边长为6米，S=1故答案为：AC.

【分析】根据题意作出直观图，结合已知条件求解棱锥的底面边长，侧面积，判断选项的正误即可．10.【答案】A,C【解析】【解答】因为正方体ABCD−A所以正方体ABCD−A1B内切球的半径为1，所以正方体ABCD−A1B内切球的表面积为4π×1如图，M,N,S,T分别是棱AB,BC,C因为EMNFST在同一个平面内，并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，所以平面α被此正方体所截得的截面图形为正六边形EMNFST，边长为2，因为正六边形EMNFST的面积S=1B1到平面α的距离为4+4+4所以棱锥Ω的体积为13×33×故答案为：AC.

【分析】利用正方体与内切球与外接球的位置关系，从而结合勾股定理求正方体体对角线或正方体棱长求出外接球和内切球的半径，进而利用球的表面积公式或体积公式求出方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的体积和正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积，再利用M,N,S,T分别是棱AB,BC,C11.【答案】B,C,D【解析】【解答】解：如下图所示，其中O是球心，O′是等边三角形BCD的中心，可得O′B=O′D=33BC=3，AO′在三角形BEO′中，BE=由余弦定理得O在三角形OO′E中，OE=OO′2+故最小的截面面积为π所以过点E作球O的截面，所以截面圆面积的取值范围是[故答案为：BCD．

【分析】根据题意首先求出外接圆的半径从而即可求出截面圆的面积最大值，设过点E且垂直于OE的截面圆的半径为r，由此可求出截面圆的面积最小值，由此得出其取值范围即可。12.【答案】A,B,D【解析】【解答】如图，PM是棱锥的高，则M是△ABC的中心，D是AB中点，S△ABC=3DM=13×32S△PBC=1所以S=3S设内切球半径为r，则13Sr=V易知外接球球心在高PM上，球心为O，设外接球半径为R，则(2−R)2由PM⊥平面ABC，AB⊂平面ABC得PM⊥AB，又CD⊥AB，CD∩PM=M，所以AB⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC，所以AB与PC所成的角为π2故答案为：ABD．

【分析】设内切球半径为r，则13Sr=VP−ABC，r=3×61233三、填空题13.【答案】28π3【解析】【解答】由PA=AC=2，CP=22，可得CP2由点D是PB的中点，且PA=AB=PB=2，可求得AD=3又由CD=7,AC=2，可得CD又AD∩AP=A且AD,AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，以△PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，则三棱锥P−ABC的外接球即为该三棱柱的外接球，球心O到底面△PAB的距离为d=1由正弦定理，可得△PAB的外接圆的半径为r=1所以球O的半径为R=d所以球O的表面积为S=4πR故答案为：28π3

【分析】根据题意由线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面PAB，结合勾股定理求出三角形PAB外接圆的半径，再由点到面的距离公式求出球的半径，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。14.【答案】【解析】【解答】，又因为，，，，，即，，。故答案为：。

【分析】利用已知条件结合圆的面积公式和勾股定理，从而求出的值。15.【答案】8【解析】【解答】设球的半径为R，因为球的表面积为12π，所以4πR2=12π因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为2R=23设正方体的棱长为a，则a2+a所以正方体的体积为a3故答案为：8。

【分析】利用已知条件结合球的表面积公式，进而求出球的半径，因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为球的直径，进而求出正方体的体对角线，再利用勾股定理求出正方体的棱长，再利用正方体的体积公式，进而求出正方体的体积。16.【答案】20；52【解析】【解答】根据三视图可得如图直观图，

由PD⊥底面ABCD，且底面为长方形，所以四棱锥P−ABCD的体积V=1由图可补全为长方体ABCD−EFGP，所以体对角线PB为外接球直径，PB=4

故四棱锥P−ABCD的外接球半径为52故答案为：20；52

【分析】先把三视图转化为几何体的直观图，然后求出几何体的体积和球的半径。四、解答题17.【答案】解：设圆锥的母线长为l，则l=3+1=2，所以圆锥的表面积为【解析】【分析】先求圆锥的侧面积，再求底面积，即可得答案；18.【答案】（1）解：由题意可知，这个圆锥形容器的侧面积为S=12×4π3×1=2π3(c所以，圆锥形容器的高为h=1因此，这个容器的容积为V=1【解析】【分析】(1)根据题意由扇形的面积代入数值计算出结果即可。

(2)首先由圆锥底面圆的半径即可计算出圆锥的高，再由圆锥体积公式代入数值计算出答案即可。19.【答案】（1）解：在正方形CDD1C1中，过F作FG//连接AG，在正方形ADD1A1内过D1作D连接EB，ED1，则四边形BED理由：由题意，平面α∩平面ADα∩平面BC1=BF，平面A应有D1同理，BE//FD由作图过程，FG//DC，FG=DC，又AB//所以AB//FG，AB=FG，所以四边形所以AG//BF，由作图过程，D1E//所以四边形EAGD1是平行四边形，所以D1又AG//BF，AG=BF，所以D1所以BED1F

（2）解：由题意，CF=a(0<a<1)，