2013年上海高考数学理科试卷带详解

2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）上海数学试卷（理工农医类）一、填空题1.计算：:可3n不【测量目标】数列极限的运算.【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法则算出极限.【难易程度】容易1【参考答案】320一.n+20一.1十二【试题解析】根据极限运算法则，hm^--=lim-1n3nf8n十 ntbaI十 n2.设meR,m2+m-2+（m2-1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】给出复数，由纯虚数的基本概念算出m的值.【难易程度】容易【参考答案】m=-2m2+m-2=0 八【试题解析】《nm=-2【试题解析】《m2-1丰03.若x3.若x2y2-11，则x+y=【测量目标】行列式的初步运算.【考查方式】给出行列式，由行列式的运算法则计算出x+y的大小.【难易程度】容易【参考答案】0【试题解析】X2+J2=-2xynX+J=04.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、孰若3a2+2ab+3b2-3c2=0，则角C的大小是C的大小是.（结果用反三角函数值表示）【测量目标】余弦定理，反三角函数.【考查方式】利用余弦定理解出角c，再用反三角函数值表示.【难易程度】中等【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】【参考答案】【试题解析】1C=n-arccos—323a2+2ab+3b2-3c2=0nc2=a2+b2+—ab3故cosC=-3,C=n-arccos3一r" a¥ —.“5.设常数aeR，若x2+-的二项展开式中x7项的系数为—10,则a=.I x)【测量目标】二项式定理.【考查方式】根据某一项的系数，利用二项式展开式的通项公式求出未知量的值.【难易程度】容易【参考答案】—2【试题解析】T=Cr(X2)5-r(a)r,2(5—r)—r=7nr=1,故Cia=—10na=-2r+15 x 56•方程3+1=3x-1的实数解为 .3x—13【测量目标】指数方程.【考查方式】给出了指数方程,化简求值.【难易程度】容易【参考答案】x=log43【试题解析】原方程整理后变为32x—23x—8=0n3x=4nx=log437.在极坐标系中，曲线P=cos0+1与pcos0=1的公共点到极点的距离为【测量目标】坐标系与参数方程,两点间的距离公式.【考查方式】给出参数方程,联立方程组得到两点的距离.【难易程度】容易乙、1+J5【参考答案】—.八. 1±J5【试题解析】联立方程组得P(P—1)=1np=—^-(步骤1),又p0，故所求为匕n.(步骤2)8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示).【测量目标】古典概型,随机事件的的概率【考查方式】所求事件为一个随机事件,利用随机事件概率的求法求出答案【难易程度】容易13【参考答案】—18C2 13【试题解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1--5=—C2189

.设AB是椭圆r的长轴，点C在r上，且ZCBA=n，若AB=4,BC=<2，则T的两4个焦点之间的距离为 .【测量目标】椭圆的标准方程，椭圆的性质.【考查方式】写出椭圆标准方程，根据其性质求出焦点间的距离.【难易程度】容易乙、c4&【参考答案】2c=三一x2 y2【试题解析】不妨设椭圆r的标准方程为T+2=1,于是可算得C(1,1)(步骤1)，得b2=b2=4,2c=强

3 3(步骤2).设非零常d是等差数列不，%,x,,x的公差，随机变量自等可能地取值x,x,x,,x1 2 3 19 1 2 3 19则方差Dg=【测量目标】随机变量的期望和方差.【考查方式】给出等差数列，求出随机变量的方差.【难易程度】中等【参考答案】3001dI【试题解析】1C19义18,TOC\o"1-5"\h\z19x+ dx+x+…+x 1 2Eg=-4——2 19= =x+9d=x (步骤1)19 19 1 10d2Dg=19(92+82++12+O2+12++92)=30d2,(步骤2)12.若cosxcosy+sinxsrny=—,sin2x+sm2y=—,则Usm(x+y)=2 ・・・ 3【测量目标】两角和与差的正余弦，二倍角公式.【考查方式】给出三角函数的值，利用两角和与差的余弦公式和等量代换求出值.【难易程度】中等2【参考答案】-12【试题解析】cos(x-y)=—,sm2x+sin2y=2sin(x+y)cos(x-y)=—，故【试题解析】2sm(x+y)=-.设a为实常数，y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=9x+—+7，若x. ，、—.，一，n、、~一.，一n~TOC\o"1-5"\h\z(2)f(x)=2sin(2x),g(x)=2sin(2(x+—))+1=2sin(2x+—)+16 3/、八 .小兀、 1 7n 757Tg(x)=0nsin(2x+—)=—-nx=kn一或x=kn+一n,keZ3 2 4 12,、 n 2n即g(x)的零点相离间隔依次为-和-,(步骤2)故若y=g（x）在3,b］上至少含有30个零点，, …2n-1n43n则b一a的最小值14义-3-+15义3——3—.(步骤3)22.（3分+5分+8分）如图,已知曲线匕一y2-1,曲C2:1y1Tx1+1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C,C都有公共点，则称P为“C—C型点”.TOC\o"1-5"\h\z12 12⑴在正确证明C的左焦点是“C—C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这1 12样的直线的方程（不要求验证）；⑵设直线y―kx与C有公共点，求证Ik1>1,进而证明原点不是“C—C型点”；2 12【测量目标】圆锥曲线的探索性问题.【考查方式】给出了“<一1型点”的概念，证明3个命题的正确性.【难易程度】较难2【试题解析】：（1）C1的左焦点为F（一73,0），过