中考数学二轮培优专题精讲 第29讲 存在性问题之特殊四边形 (含详解)

第29讲存在性问题之特殊四边形菱形存在性问题,抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直；矩形存在性问题,抓住内角90°与对角线相等；正方形存在性问题,抓住等腰直角三角形的性质即可.【例题讲解】例题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点B出发,沿BA方向以SKIPIF1<0cm/s的速度向终点A运动;同时,动点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向终点B运动,将△BPQ沿BC翻折,点P的对应点为点P',设Q点运动的时间t秒,若四边形QPBP'为菱形,求t的值.解:若四边形QPBP为菱形,t=2秒理由如下:∵∠C=90°,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,∵点P的速度是每秒SKIPIF1<0cm,点Q的速度是每秒1cm,∴BP=SKIPIF1<0tcm,BQ=(6－t)cm,∵四边形QPBP'为菱形,∴SKIPIF1<0t×SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,解得:t=2;即若四边形QPBP'为菱形的值为2秒.例题2.如图，已知O(0,0),A(4,0),B(4,3).动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边OA、AB作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运动的时间为t秒,当直线l运动到O时,它们都停止运动.当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形？若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形.解:四边形CPBD不可能为菱形.如图所示,根据题意可得,AC＝t,AP=3t－4,BP=3－AP=7－3t,OC=4－t,因为CD∥AB,所以△OCD∽△OAB,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得:CD=SKIPIF1<0(4－t),因为CD=BP,所以SKIPIF1<0(4－t)=7－3t,解得:t=SKIPIF1<0,所以BP=SKIPIF1<0,在△ACP中,由勾股定理得,CP＝SKIPIF1<0,因为CP≠BP,所以四边形CPBD不可能为菱形.若要使四边形CPBD为菱形,设直线比P点迟x秒出发,则AC=t－x,AP=3t－4,BP=CP=7－3t,因为四边形CPBD为菱形,则CP∥OB,所以△ACP∽△AOB,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,即直线比P点迟SKIPIF1<0秒出发时可使四边形CPBD为菱形.例题3.如图,直线y=SKIPIF1<0x+3与y轴交于点A,与x轴交于点B,点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BA边向终点A运动,同时点Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点B运动,设点P运动的时间为t秒.(1)求点A,B的坐标；(2)在点P,Q运动的过程中,是否存在点N,使得以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形?若存在,求t的值并直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)对于直线y=SKIPIF1<0x+3,令x=0,得到y=3,令y=0得到x=4,∴A(0,3),B(4,0);(2)存在以点APQN为顶点的四边形是矩形,①如图2所示,当∠APQ=90°时,∠BPQ=∠AOB=90°,由(2)得:cos∠PBQ=SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得:t=SKIPIF1<0此时N坐标为(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)②如果∠PAQ=90°,∠OAB为锐角,∠PAQ<∠OAB,∴不成立,∠PAQ≠90°③如果∠AQP=90°,当Q与O重合时,t=0,此时N坐标为(4,3),当0<t≤5时如图3所示过P作PM⊥x轴于点M.由①得：MB＝SKIPIF1<0t，∴QM=OB－OQ－BM=4－SKIPIF1<0t,∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°,∴∠OAQ=∠MQP，∴Rt△AOQ∽Rt△QMP∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得:t=SKIPIF1<0,此时N坐标为(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)综上所述:当t的值为0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,以点APQN为顶点的四边形是矩形,点N的坐标分别为(4,3)(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)例题4.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M'.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.解:(1)根据题意,抛物线y=x2+bx+c经过点A(－1,0),B(3,0),则将点A、B坐标代入抛物线解析式可得:SKIPIF1<0,②+3×①得:12+4c=0,解得c=－3,代入①得b=－2,故原方程组的解为SKIPIF1<0，所以抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.(2)存在.如图所示,四边形APBQ是正方形.因为四边形APBQ是正方形,所以该抛物线顶点肯定在AB的中垂线上,且AB=PQ,AB与PQ相互垂直平分,则点P的坐标为P(1,2)或P(1,－2).①当点P坐标为P(1,2)时,设抛物线解析式为y=a(x－1)2+2.因为抛物线过A、B两点,所以将点A坐标代入函数解析式得a(－1－1)2+2=0,解得a=SKIPIF1<0,故抛物线的解析式为：y=SKIPIF1<0(x－1)2+2。②当点P坐标为P(1,－2)时,设抛物线解析式为y=a'(x－1)2－2。因为抛物线过A、B点,所以将点坐标代入函数解析式得a'(－1－1)2－2=0,解得a'=SKIPIF1<0,故抛物线的解析式为y=SKIPIF1<0(x－1)2－2。综上所述：存在过A、B两点的抛物线y=SKIPIF1<0(x－1)2+2或y=SKIPIF1<0(x－1)2－2,其顶点P关于轴的对称点为Q,使得四边形APBQ是正方形.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点B出发,沿BA方向以每秒SKIPIF1<0cm的速度向终点A运动;同时,动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动,将△BPQ沿BC翻折,点P的对应点为点P',设Q点运动的时间t秒,若四边形QPBP'为菱形,则t的值为.2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,－3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.(1)求二次函数解析式；(2)连接PO、PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使得四边形POP'C为菱形？若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由；3.如图，矩形SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的正半轴上，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，一次函数SKIPIF1<0的图象与边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并且满足SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一个动点．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）连结SKIPIF1<0，若三角形SKIPIF1<0的面积与四边形SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的坐标；（3）设点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上方平面内的一点，以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的四边形是菱形，求点SKIPIF1<0的坐标．4.如图1，已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0由SKIPIF1<0出发沿SKIPIF1<0方向向点SKIPIF1<0匀速运动，同时点SKIPIF1<0由SKIPIF1<0出发沿SKIPIF1<0方向向点SKIPIF1<0匀速运动，它们的速度均为SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为边作平行四边形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．设运动的时间为SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0．解答下列问题：（1）用含有SKIPIF1<0的代数式表示SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0为何值时，平行四边形SKIPIF1<0为矩形．（3）如图2，当SKIPIF1<0为何值时，平行四边形SKIPIF1<0为菱形．5.如图1，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发以每秒2个单位长度的速度向点SKIPIF1<0运动．同时，点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒1个单位长度的速度向点SKIPIF1<0运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．设运动时间为SKIPIF1<0秒．（1）填空：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．（用含SKIPIF1<0的代数式表示）（2）SKIPIF1<0取何值时，梯形SKIPIF1<0面积等于梯形SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0；（3）如图2，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，得SKIPIF1<0，请问是否存在某时刻SKIPIF1<0，使四边形SKIPIF1<0为正方形？说明理由．6.如图，二次函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，顶点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点是SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形SKIPIF1<0的面积；（3）是否存在抛物线SKIPIF1<0，使得四边形SKIPIF1<0为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴分别相交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一动点，连结SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为边作SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的长（用含SKIPIF1<0的代数式表示）；（2）当SKIPIF1<0时，是否存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0得顶点SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0轴上？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点SKIPIF1<0在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得SKIPIF1<0为矩形，请求出所有满足条件的SKIPIF1<0的值．

参考答案1.答案：22.解:(1)将点B、C的坐标代入y=x2+bx+c,得SKIPIF1<0,将②代入①,得b=－2.故二次函数的解析式为y=x2－2x－3. (2)如图1所示,假设抛物线上存在点P,使四边形POP'C为形,连接PP'交CO于点E,因为四边形POP'C为菱形,所以PC=PO,PE⊥CO.故OE=EC=SKIPIF1<0,即点P的纵坐标为SKIPIF1<0.由x2－2x－3=－SKIPIF1<0,得x=SKIPIF1<0或x=SKIPIF1<0,当x=SKIPIF1<0时,点P不在直线BC下方,故舍去.故存在这样的点,此时点P的坐标为(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)3.解：（1）SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0的坐标代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三角形SKIPIF1<0的面积与四边形SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的横坐标是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0；（3）当四边形SKIPIF1<0是菱形时，如图（1），SKIPIF1<0的纵坐标是SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当四边形SKIPIF1<0是菱形时，如图（2）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的横坐标是SKIPIF1<0，则纵坐标是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或0（舍去）．则SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的中点是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．4.解：（1）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0由SKIPIF1<0出发沿SKIPIF1<0方向向点SKIPIF1<0匀速运动，速度均为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0是矩形时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是矩形；（3）当SKIPIF1<0是菱形时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是菱形．5.解：（1）如图1．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）如图1．SKIPIF1<0梯形SKIPIF1<0的面积等于梯形SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，梯形SKIPIF1<0面积等于梯形SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0；（3）存在时刻SKIPIF1<0，能够使四边形SKIPIF1<0为正方形．理由如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0为正方形．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．6.解：（1）SKIPIF1<0在二次函数SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二次函数的关系式为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）存在抛物线SKIPIF1<0，使得四边形SKIPIF1<0为正方形．理由如下：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的纵坐标为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点是SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又抛物线与SKIPIF1<0轴有两个交点，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0，故存在抛物线SKIPIF1<0，使得四边形SKIPIF1<0为正方形．7.解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）