第一章1命题(一)

§1命题(一)

学习目标1.理解命题的观点.2.能判断命题的真假.3.认识命题的组成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.认识四种命题的观点，会写出所给命题的抗命题、否命题和逆否命题．知识点一命题的观点及分类

思虑以下语句有什么共同特点？

(1)空集是任何会合的子集．

(2)单位向量的模为1.

(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．

答案共同特点是：都是陈说句，都能够判断真假．

梳理(1)命题的观点：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说

句叫作命题．

(2)命题定义中的两个重点：“能够判断真假”和“陈说句”．我们学习过的定理、推论都是

命题．

(3)分类

真命题：判断为真的语句，

命题假命题：判断为假的语句.

知识点二命题的构造

(1)命题的一般形式为“若p，则q”．此中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．

(2)确立数题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．

知识点三四种命题

四种命题的定义以下表所示

名称阐释

对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

互抗命题件，那么我们把这样的两个命题叫作互抗命题．此中一个命题叫作原命题，

另一个叫作原命题的抗命题

对于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认

互否命题和结论的否认，我们把这样的两个命题叫作互否命题．假如把此中的一个命

题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题

对于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认互为逆否命题和条件的否认，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题．假如把此中的一

第1页

个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题

1．命题均能判断其真假．(√)

2．我们所学习过的定理均为命题．(√)

3．命题：若函数f(x)为区间D上的奇函数，则f(0)＝0，为真命题．(×)

4．命题：若sinA＞sinB，则A＞B，其抗命题为真命题．(×)

种类一命题的观点及真假判断

命题角度1命题的观点

例1判断以下语句是否是命题，并说明原因．

π(1)3是有理数；

(2)3x2≤5；

(3)梯形是否是平面图形呢？

(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；

(5)一个数的算术平方根必定是负数；

(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．

考点命题的定义及分类

题点命题的定义

π(1)“3是有理数”是陈说句，而且它是假的，因此它是命题．

(2)由于没法判断“3x2≤5”的真假，因此它不是命题．

(3)“梯形是否是平面图形呢？”是疑问句，因此它不是命题．

(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈说句，而且它是真的，因此它是命题．

(5)“一个数的算术平方根必定是负数”是陈说句，而且它是假的，因此它是命题．

(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈说句，而且它是假的，因此它是命题．

反省与感悟判断一个语句是否是命题的三个重点点

(1)一般来说，陈说句才是命题，祈使句、疑问句、叹息句等都不是命题．

(2)语句表述的构造能够判断真假，含义模糊不清，没法判断真假的语句不是命题．

(3)对于含有变量的语句，要注意依据变量的取值范围，看可否判断真假，若能，就是命题；

不然就不是命题．

追踪训练1以下语句是命题的是()第2页

①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x＞2；⑤这座山真险啊！

A．①②③B．①③④

C．①②⑤D．②③⑤

考点命题的定义及分类

题点命题的定义

答案A

分析依照命题定义，得①②③为命题．

命题角度2命题真假的判断

2给定以下命题：①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

π③直线x＝是函数y＝sinx的一条对称轴；2→→④在△ABC中，若AB·BC>0，则△ABC是钝角三角形．此中为真命题的是________．考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案①③④π分析联合函数f(x)＝2x的单一性，知①为真命题；而函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2＋kπ，→→→→→→，k∈Z，故③为真命题；又由于AB·BC＝|AB||BC|cos(－πB)＝－|AB||BC|cosB>0，故得cosB<0进而得B为钝角，因此④为真命题；②中，若a＝－2，b＝2，则a＋b＝0，是有理数，故②是假命题．引申研究→→1．本例中命题④变成：若AB·BC<0，则△ABC是锐角三角形，该命题仍是真命题吗？解→→不是真命题，AB·BC<0只好说明∠B是锐角，其余两角的状况不确立．只有三个角都是锐角，才能够判断三角形为锐角三角形．→→2．本例中命题④改为：若AB·BC＝0，则△ABC是________三角形．答案直角分析→→由AB·BC＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形．反省与感悟一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命第3页题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．

追踪训练2(1)以下命题中假命题的个数为()

①多边形的外角和与边数相关；

②假如数目积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；

③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；

④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.

A．1B．2C．3D．4

考点命题的真假判断

题点命题真假的判断

答案C

分析由于＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．

(2)以下命题中为真命题的是()

A．若lnx＜1，则x＜e

B．若向量a，b，c知足a∥b，b∥c，则a∥c

C．已知数列{an}知足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列

D．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若知足acosB＝bcosA，则该三角形为等腰三角形考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案D分析对于A，需知足x＞0；对于B，若b＝0，其结论不建立；对于C，若an＝0，则结论

不建立．

种类二命题的构造形式

例3将以下命题写成“若p，则q”的形式．

(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；

(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．

考点命题的构造形式

题点改写成标准的若p则q形式

解(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．

(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．

反省与感悟将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则

追踪训练3将以下命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．第4页

(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；

(2)负数的立方是负数；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.

考点命题的构造形式

题点改写成标准的若p则q形式

(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．

(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．

(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．

种类三四种命题的观点及真假判断

命题角度1四种命题的观点

例4(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”

的()

A．抗命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题

答案A

(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像张口向下，则会合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠?”的

抗命题、否命题、逆否命题．

考点四种命题的观点

题点四种命题定义的应用

解抗命题：若会合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像张口向下．

否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像张口向上，则会合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝?.

逆否命题：若会合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像张口向上．

反省与感悟四种命题的变换方法

(1)抗命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的抗命题．

(2)否命题：同时否认原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，而且同时否认，所得命题是原命题的逆否命题．

追踪训练4写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．

考点四种命题的观点

题点四种命题定义的应用

第5页(1)抗命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．

(2)抗命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

命题角度2四种命题的真假判断

例5写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)若a>b，则ac2>bc2；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．

考点四种命题的观点

题点判断四种命题的真假

(1)抗命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．

(2)抗命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反省与感悟若原命题为真命题，则它的抗命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与抗命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性同样．在原命题及其抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.追踪训练5已知命题“若2m－1＜x＜3m＋2，则1＜x＜3”的抗命题为真命题，则m的取值范围是________．考点四种命题的观点题点判断四种命题的真假1答案3，1分析其抗命题为若1＜x＜3，则2m－1＜x＜3m＋2.第6页2m－1≤1，1≤m≤1，该命题为真命题，需知足解得3m＋2≥3，3故m的取值范围为1，1.31．以下语句为命题的是()A．2x＋5≥0B．求证对顶角相等C．0不是偶数D．今日心情真好啊考点命题的定义及分类题点命题的定义答案C分析联合命题的定义知C为命题．2．以下说法中错误的选项是()A．命题“a，b，c中起码有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”B．命题“若x＞1，则x2－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x2－1＜0”C．命题“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”D．命题“若x＝－4，则x是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“若x1≠－4，则x不是方程x2＋3x－4＝0的根”考点四种命题的观点题点按要求写命题答案B分析由否命题的定义知B是错误的．

3．命题“若a≥b，则a＋b＞2017且a＞－b”的逆否命题是()

A．若a＋b≤2017且a≤－b，则a＜b

B．若a＋b≤2017且a≤－b，则a＞b

C．若a＋b≤2017或a≤－b，则a＜b

D．若a＋b≤2017或a≤－b，则a≤b

考点四种命题的观点

题点按要求写命题

答案C

分析将原命题的条件与结论交换的同时，对条件和结论进行否认即得逆否命题．“若a≥b，

则a＋b＞2017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2017或a≤－b，则a＜b”．应选C.

4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为

第7页

________________．

考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围答案(－∞，－4]∪[4，＋∞)分析由题意可知，知足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的鉴别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.5．命题：3mx2＋mx＋1>0恒建立是真命题，务实数m的取值范围．考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围解“3mx2＋mx＋1>0恒建立”是真命题，需对m进行分类议论．

m＝0时，1>0恒建立，因此m＝0知足题意；

m>0，且＝m2－12m<0，

0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒建立，因此0<m<12知足题意．

综上所述，实数m的取值范围是[0,12)．

1．依据命题的定义，能够判断真假的陈说句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，

真命题需要给出证明，假命题只要举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论组成的，能够写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题

写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．

一、选择题

1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()

．两个平面

．一条直线

C．垂直

D．两个平面垂直于同一条直线

考点命题的构造形式

题点划分命题的条件和结论

答案D

分析所给的命题能够改为“假如两个平面垂直于同一条直线，那么它们相互平行”，应选

D.

第8页

2．以下命题为假命题的是()

A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．0是偶数

D．5＞3

考点命题的真假判断

题点命题真假的判断

答案B

分析联合向量的相关知识知A为真命题，B为假命题．C，D明显是真命题．

3．命题“若x2＞1，则x＜－1或x＞1”的逆否命题是()

A．若x2＞1，则－1≤x≤1

B．若－1≤x≤1，则x2≤1

C．若－1＜x＜1，则x2＜1

D．若x＜－1或x＞1，则x2＞1

考点四种命题的观点

题点按要求写命题

答案B

分析联合逆否命题的定义知B正确．

4．以下命题是真命题的是()

A．若ab＝0，则a2＋b2＝0

B．若a>b，则ac>bc

C．若M∩N＝M，则N?M

D．若M?N，则M∩N＝M

考点命题的真假判断

题点命题真假的判断

答案D

分析A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不建立；B中，c≤0时不建立；C中，M∩N＝M说

明M?N.故A，B，C均错误．

5．已知a，b为两条不一样的直线，α，β为两个不一样的平面，且a⊥α，b⊥β，则以下命题中

的假命题是()

A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥b

C．若a，b订交，则α，β订交D．若α，β订交，则a，b订交

考点命题的真假判断第9页

题点命题真假的判断

答案D

分析D中假如α，β订交，a和b能够订交，也能够异面．

6．对随意平面向量a，b，以下关系式中不恒建立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案B分析设向量a，b的夹角为θ，由于a·b＝|a||b|cosθ，因此|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A建立；由向量的运算律易知C，D建立．应选B.7．设m，n是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，给出以下四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.此中为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．①③考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案D分析联合线面、面面地点关系易知①③为真命题．

8．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，以下说法正确的选项是()

．否命题是“正弦函数是分段函数”

．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”

C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”

D．以上都不正确

考点四种命题

题点四种命题的判断

答案B

分析否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，

因此A错误；B正确；C不正确，应选B.第10页

二、填空题

9．有以下命题：

22340能被5整除；

②不存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0；

③对随意的实数x，均有x＋1＞x；

④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．

此中假命题有________．(填序号)考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案④分析易知①②③为真命题，④中＝4－12＜0，方程x2－2x＋3＝0无实根，因此④为假命题．10．命题“当a＞0，a≠1时，若函数f(x)＝logax在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是______________________________________________________________________

________________________________________________________________________.

考点四种命题的观点题点按要求写命题答案当a＞0，a≠1时，若logaax在其定义域内不是减函数．2≥0，则函数f(x)＝log11．已知p：对于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对全部x∈R恒建立，q：函数f(x)＝－(5－2a)x

是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是________．

考点命题的真假判断

题点由命题的真假求参数的取值范围

答案(－∞，－2]

分析p为真命题时，＝4a2－16＜0，

解得－2＜a＜2.

q为真命题时，5－2a＞1，

解得a＜2.

2＜a＜2，

当p真q假时，a∈?.a≥2，

a≤－2或a≥2，

当p假q真时，即a≤－2.a＜2，第11页故实数a的取值范围为(－∞，－2]．

三、解答题

12．把以下命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)当ac>bc时，a>b；

1(2)当m>4时，mx2－x＋1＝0无实根；

(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.

考点命题的构造形式

题点改写成标准的若p则q形式，并判断命题的真假

(1)若ac>bc，则a>b.

∵ac>bc，c<0时，a<b，∴该命题是假命题．

1(2)若m>4，则mx2－x＋1＝0无实根．

∵＝1－4m<0，∴该命题是真命题．

(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，该命题是真命题．

13．判断命题“已知a，x为实数，若对于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

a≥1”的逆否命题的真假．考点四种命题的观点

题点判断四种命题的真假

解其逆否命题：已知a，x为实数，

a＜1，则对于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．∵a＜1，∴＝(2a＋1)2－4×(a2＋2)＝4a＋1－8＝4a－7