南邮工程电磁场ch1静电场

第一章静电场SteadyElectricField基本方程、分界面上的衔接条件边值问题、惟一性问题分离变量法有限差分法镜像法和电轴法电容和部分电容静电能量与力静电场的应用环路定律、高斯定律电场强度和电位序下页返回当前1页，总共112页。1.0序静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。本章要求

深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电容、能量、力的各种计算方法。Introduction下页上页返回当前2页，总共112页。静电参数(电容及部分电容)静电能量与力有限差分法镜像法,电轴法分离变量法直接积分法数值法解析法边值问题边界条件电位基本方程D

的散度基本物理量E、D基本实验定律（库仑定律）静电场知识结构E

的旋度下页上页返回当前3页，总共112页。1.1.1库仑定律(Coulomb’sLow)ElectricFieldIntensityandElectricPotentialN(牛顿)适用条件：库仑定律1.1电场强度和电位图1.1.1两点电荷间的作用力点电荷之间的作用力靠什么来传递？思考两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;真空中的介电常数F/m下页上页返回当前4页，总共112页。1.1.2电场强度(ElectricIntensity)V/m(N/C)

定义：电场强度E等于单位正电荷所受的电场力F（a）单个点电荷产生的电场强度V/m图1.1.2点电荷的电场一般表达式为下页上页返回当前5页，总共112页。

（b)

n个点电荷产生的电场强度(矢量叠加原理)（c)连续分布电荷产生的电场强度图1.1.4体电荷的电场图1.1.3矢量叠加原理元电荷产生的电场，，下页上页返回当前6页，总共112页。线电荷分布体电荷分布面电荷分布下页上页返回当前7页，总共112页。解:轴对称场，圆柱坐标系。

例1.1.1真空中有一长为L的均匀带电直导线，电荷线密度为,试求P

点的电场。下页上页返回图1.1.5带电长直导线的电场xx当前8页，总共112页。无限长直导线产生的电场平行平面场。0下页上页返回当前9页，总共112页。矢量恒等式故静电场是无旋场1.静电场的旋度1.1.3旋度和环路定律(CurlandCircuitalLaw)点电荷电场取旋度0下页上页返回当前10页，总共112页。2.静电场的环路定律电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。由Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量说明即下页上页返回当前11页，总共112页。1.1.4电位函数(ElectricPotential)

负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。在直角坐标系中1.

E与的微分关系矢量恒等式由根据E与的微分关系，试问静电场中的某一点()()??下页上页返回所以当前12页，总共112页。2.已知电荷求电位点电荷群连续分布电荷以点电荷为例式中相应的积分原域下页上页返回当前13页，总共112页。3.与E的积分关系图1.1.6E与的积分关系线积分式中设P0为电位参考点，即，则P点电位为所以下页上页返回当前14页，总共112页。4.电位参考点例如：点电荷产生的电位：点电荷所在处不能作为参考点场中任意两点之间的电位差与参考点无关。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。下页上页返回当前15页，总共112页。5)电力线与等位线（面）E

线微分方程直角坐标系当取不同的C值时，可得到不同的等位线(面)。等位线(面)方程曲线上任一点的切线方向是该点电场强度E

的方向。电位相等的点连成的曲面称为等位面。1.1.7电力线方程下页上页返回当前16页，总共112页。解：在球坐标系中所以用二项式展开，又有r>>d，得

画出电偶极子的等位线和电力线(r>>d)。图1.1.8电偶极子下页上页返回当前17页，总共112页。电力线方程(球坐标系)：等位线方程(球坐标系)：将和代入E线方程表示电偶极矩（dipolemoment)，方向由-q指向+q。图1.1.9电偶极子的等位线和电力线下页上页返回当前18页，总共112页。电力线与等位线（面）的性质：图1.1.10点电荷与接地导体的电场图1.1.11点电荷与不接地导体的电场E线不能相交,等线不能相交；E线起始于正电荷，终止于负电荷;E线愈密处，场强愈大;E线与等位线（面）正交；下页上页返回当前19页，总共112页。图1.1.12介质球在均匀电场中图1.1.13导体球在均匀电场中图1.1.14点电荷位于无限大介质上方图1.1.15点电荷位于无限大导板上方下页上页返回当前20页，总共112页。作散度运算1.2.1真空中的高斯定律(Gauss’sTheoreminVacuum)高斯定律的微分形式1.E的散度说明静电场是有源场，电荷是电场的通量源。1.2高斯定律Gauss’sTheorem下页上页返回当前21页，总共112页。2.E的通量图1.2.1闭合曲面的电通量图1.2.2闭合面外的电荷对场的影响散度定理

S面上的E是由系统中全部电荷产生的。

E的通量等于闭合面S

包围的净电荷。下页上页返回当前22页，总共112页。1.2.2.电介质中的高斯定律(Gauss’sTheoreminDielectric)1.静电场中导体的性质导体内电场强度E为零，静电平衡；导体是等位体，导体表面为等位面；电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面，接地导体都不带电。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。（）任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不

变的。（）下页上页返回当前23页，总共112页。无极性分子有极性分子图1.2.3电介质的极化2.静电场中的电介质电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；电介质内部和表面产生极化电荷(polarizedcharge)；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。下页上页返回EE当前24页，总共112页。极化强度P(polarizationintensity

)表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中—电介质的极化率

各向同性媒质媒质特性不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质；

线性媒质媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；

均匀媒质媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质。下页上页返回当前25页，总共112页。

极化强度P

是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位体积V内电偶极子产生的电位3.极化强度与极化电荷的关系图1.2.4电偶极子产生的电位下页上页返回当前26页，总共112页。矢量恒等式：下页上页返回图1.2.5体积V内电偶极矩产生的电位当前27页，总共112页。令极化电荷体密度极化电荷面密度下页上页返回当前28页，总共112页。思考根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零电介质均匀极化时，极化电荷体密度有电介质时，场量为下页上页返回当前29页，总共112页。4.电介质中的高斯定律定义—电位移矢量

（displacementvector）所以高斯定律的微分形式取体积分有高斯定律的积分形式下页上页返回当前30页，总共112页。在各向同性介质中—介电常数F/m其中—相对介电常数，无量纲量。构成方程下页上页返回当前31页，总共112页。例1.2.1平板电容器中有一块介质,画出D、E和P线分布。图1.2.6D、E与P三者之间的关系D线E线P线思考D线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E线由正电荷出发，终止于负电荷；P线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。电介质内部的电场强度是否减少了？下页上页返回当前32页，总共112页。若点电荷±q分别置于金属球壳内外，问（1)穿过闭合面（金属球壳）的D通量是多少？（2)闭合面上的D与－q有关吗？（3)若在金属球壳外放置电介质，重问1)，闭合面上的D

与电介质有关吗？下页上页返回图1.2.7点电荷±q分别置于金属球壳的内外当前33页，总共112页。计算技巧：a）分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使

中的D可作为常数提出积分号外。

高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。5.高斯定律的应用下页上页返回当前34页，总共112页。例1.2.3试求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。解:分析场分布,取圆柱坐标系由得下页上页返回图1.2.8无限长均匀带电体当前35页，总共112页。球壳内的电场球壳外的电场哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？下页上页返回图1.2.10±q分别在金属球内外图1.2.9q在金属球壳内当前36页，总共112页。1.3基本方程、分界面上的衔接条件1.3.1基本方程(BasicEquation)静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。BasicEquationandBoundaryCondition静电场的基本方程为微分形式积分形式构成方程下页上页返回当前37页，总共112页。矢量A

可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?例1.3.1已知试判断它能否表示静电场？解:根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考下页上页返回当前38页，总共112页。包围点P作高斯面()。1.3.2分界面上的衔接条件（BoundaryCondition)1.D的衔接条件则有根据图1.3.1介质分界面D的法向分量不连续当时，

D的法向分量连续。下页上页返回当前39页，总共112页。2.E的衔接条件围绕点P作一矩形回路()。

E的切向分量连续。根据则有3.折射定理当交界面上时，折射定律下页上页返回图1.3.2介质分界面当前40页，总共112页。4、的衔接条件设P1与P2位于分界面两侧，

因此电位连续得电位的法向导数不连续由，其中图1.3.3电位的衔接条件下页上页返回当前41页，总共112页。说明

（1）导体表面是等位面，E线与导体表面垂直；图1.3.4导体与电介质分界面试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。

解:分界面衔接条件导体中E＝0，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的D等于该点的。下页上页返回当前42页，总共112页。解：忽略边缘效应图(a)图(b)试求两个平行板电容器的电场强度。下页上页返回图1.3.5平行板电容器当前43页，总共112页。1.4边值问题、惟一性定理1.4.1泊松方程与拉普拉斯方程

(Poisson’sEquationandLaplace’sEquation)泊松方程—拉普拉斯算子BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem拉普拉斯方程当r=0时下页上页返回当前44页，总共112页。1.4.2边值问题（BoundaryProblem)边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件(待讲）分界面衔接条件强制边界条件有限值自然边界条件有限值泊松方程拉普拉斯方程下页上页返回当前45页，总共112页。场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或电力线)下页上页返回当前46页，总共112页。有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法边值问题下页上页返回当前47页，总共112页。通解试求体电荷产生的电位及电场。解：采用球坐标系,分区域建立方程边界条件参考电位下页上页返回图1.4.2体电荷分布的球体当前48页，总共112页。电场强度（球坐标梯度公式）：得到图1.4.3随r变化曲线下页上页返回当前49页，总共112页。答案:（C）1.4.3惟一性定理（UniquenessTheorem)图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？惟一性定理

：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。下页上页返回图1.4.4平板电容器外加电源U0当前50页，总共112页。1.7镜像法与电轴法1.7.1镜像法（ImageMethod)1.平面导体的镜像图1.7.1平面导体的镜像

ImageMethodandElectricAxisMethod方程相同，边界条件相同，解惟一。下页上页返回空气中除点电荷外，a上半场域除点电荷外b当前51页，总共112页。地面上感应电荷的总量为（方向指向地面）试求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布。解：设点电荷q

镜像后图1.7.2地面电荷分布下页上页返回当前52页，总共112页。2.球面导体的镜像点电荷位于接地导体球外的边值问题（除q点外的空间)设镜像电荷如图，球面电位下页上页返回图1.7.3点电荷对接地导体球的镜像当前53页，总共112页。将r1,r2代入方程，得联立求解得到镜像电荷位置镜像电荷大小下页上页返回当前54页，总共112页。球外任一点P的电位与电场为图1.7.5球外的电场分布镜像电荷放在当前求解的场域外。镜像电荷等于负的感应电荷总量。图1.7.4球外的电场计算下页上页返回当前55页，总共112页。不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。则任一点场强解：边值问题（除q点外的空间)通量为零（大小相等）球面等位（位于球心）思路图1.7.6不接地金属球的镜像下页上页返回当前56页，总共112页。

用镜像法求解下列问题，试确定镜像电荷的个数，大小与位置。图1.7.7点电荷位于不接地导体球附近的场图任一点电位球面电位思考下页上页返回图1.7.8点电荷对导体球面的镜像当前57页，总共112页。3.不同介质分界面的镜像根据惟一性定理图1.7.9点电荷对无限大介质分界面的镜像和解得下页上页返回当前58页，总共112页。图1.7.10电场分布图试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置。思考题：中的电场由q与q’共同产生，q’等效替代极化电荷的影响。中的电场由q”决定，q”等效替代自由电荷与极化电荷的作用。图1.7.11点电荷q1

与q2

分别置于与区域中思考下页上页返回提示当前59页，总共112页。1.7.2电轴法（ElectricAxisMethod）(导线以外的空间)能否用高斯定律求解？思考边值问题下页上页返回1.7.12长直平行双传输线当前60页，总共112页。1.两根细导线产生的电位以y轴为参考电位，C=0，则令：C，等位线方程图1.7.13两根带电细导线下页上页返回当前61页，总共112页。K取不同值时，得到一族偏心圆。a、h、b满足关系整理后，等位线方程圆心坐标圆半径图1.7.14两根细导线的等位线下页上页返回当前62页，总共112页。根据，得到Ex和Ey分量图1.7.15两细导线的场图E

线方程思考若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，

是否会影响电场分布？若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。下页上页返回当前63页，总共112页。2.电轴法(以y轴为参考电位)试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。b)圆柱导线间的电场与电位解：a)取圆柱坐标系电轴位置下页上页返回图1.7.16平行传输线电场的计算当前64页，总共112页。试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。图1.7.17不同半径传输线的电轴位置解：下页上页返回当前65页，总共112页。1）参考电位的位置；2）有效区域。解：确定试确定图示偏心电缆的电轴位置。注意：图1.7.18偏心电缆电轴位置下页上页返回当前66页，总共112页。已知平行传输线之间电压为U0,试求电位分布。解：

确定电轴的位置所以设电轴线电荷，任一点电位下页上页返回图1.7.19电压为U0的传输线

当前67页，总共112页。镜像法（电轴法）小结

镜像法（电轴法）的理论基础是：镜像法（电轴法）的实质是：镜像法（电轴法）的关键是：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。

用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场惟一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；应用镜像法（电轴法）解题时，注意：下页上页返回当前68页，总共112页。1.8.1电容器的电容（CapacitanceofCapacitor)CapacitanceandDistributedCapacitance1.8电容及部分电容定义：单位：电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。工程上的电容器：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。电容的计算思路：设下页上页返回当前69页，总共112页。解：设内导体的电荷为q，则同心球壳间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）

试求同心球壳电容器的电容。下页上页返回图1.8.1同心球壳电容器当前70页，总共112页。1.8.2部分（分布）电容（DistributedCapacitance)1.已知导体的电荷，求电位和电位系数图1.8.2三导体静电独立系统多导体系统静电独立系统部分电容基本概念下页上页返回当前71页，总共112页。导体的电位与电荷的关系为下页上页返回当前72页，总共112页。导体i电位的贡献；

ai

i

—自有电位系数，表明导体i上电荷对

a—电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；

ai

j—互有电位系数，表明导体j上的电荷对导体i电位的贡献；下页上页返回矩阵形式当前73页，总共112页。2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数b—静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；bii—自有感应系数，表示导体i电位对导体i电荷的贡献；bij—互有感应系数，表示导体j电位对导体i电荷的贡献。矩阵形式：下页上页返回当前74页，总共112页。3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容矩阵形式部分电容的性质静电独立系统中n＋1个导体有个部分电容Ci

j均为正值，下页上页返回当前75页，总共112页。部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力

线相连；

部分电容可将场的概念与电路结合起来。下页上页返回图1.8.3部分电容与电容网络当前76页，总共112页。

试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及等效电容。已知d>>a,且a<<h。解：部分电容个数由对称性，得(1)图1.8.4两线输电线及其电容网络下页上页返回当前77页，总共112页。电容与带电量无关，故则利用镜像法，两导体的电位代入式（2），得(2)下页上页返回图1.8.5两线输电线对大地的镜像当前78页，总共112页。联立解得两线间的等效电容：下页上页返回当前79页，总共112页。所以静电屏蔽在工程上有广泛应用。图1.8.6静电屏蔽

三导体系统的方程为：

4.静电屏蔽当时，说明1号与2号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。下页上页返回当前80页，总共112页。1.9静电能量与力1.9.1静电能量(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce1.用场源表示静电能量q3从移到c点，所需能量q2从移到b点，需克服q1的电场力做功，q1从移到a点不受力，所需能量W1=0，下页上页返回图1.9.1点电荷的能量当前81页，总共112页。总能量推广1：若有n个点电荷的系统，静电能量为单位：J（焦耳）推广2：若是连续分布的电荷，下页上页返回当前82页，总共112页。2.用场量表示静电能量矢量恒等式能量密度因当时，面积分为零，故能量下页上页返回当前83页，总共112页。例1.9.1试求真空中体电荷密度为的介质球产生的静电能量。解法一

由场量求静电能量下页上页返回当前84页，总共112页。解法二

由场源求静电能量球内任一点的电位代入式（1）(1)下页上页返回当前85页，总共112页。1.9.2静电力(ElectrostaticForce)1.虚位移法(VirtualDisplacementMethod)功=广义力×广义坐标广义坐标距离面积体积角度广义力机械力表面张力压强转矩单位NN/mN/m2Nm广义力f：企图改变广义坐标的力。广义坐标g：距离、面积、体积、角度。下页上页返回力的方向：f的正方向为g增加的方向。当前86页，总共112页。（1）常电荷系统（K断开）表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电能量来实现。在多导体系统中，导体p发生位移dg后,其功能关系为外源提供能量=

静电能量增量

+

电场力所作功即图1.9.3多导体系统(K断开)下页上页返回当前87页，总共112页。外源提供能量的增量

说明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。（2）常电位系统（K闭合）广义力是代数量，根据f的“±”号判断力的方向。图1.9.4多导体系统(K闭合)下页上页返回当前88页，总共112页。解法一：常电位系统试求图示平行板电容器极板的电场力。图1.9.5平行板电容器取d为广义坐标（相对位置坐标）负号表示电场力企图使d

减小，即电容增大。下页上页返回当前89页，总共112页。解法二：常电荷系统负号表示电场力企图使d

减小，即电容增大。下页上页返回当前90页，总共112页。图示一球形薄膜带电表面，半径为a

，其上带电荷为q，试求薄膜单位面积所受的电场力。解：取体积为广义坐标f的方向是广义坐标V增加的方向，表现为膨胀力。N/m2下页上页返回图1.9.6球形薄膜当前91页，总共112页。2.法拉第观点（Farade’sreview）法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向受到侧压力，其大小为图1.9.9根椐场图判断带电体受力下页上页返回图1.9.7电位移管受力情况图1.9.8物体受