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文档简介
第二章胸怀空间
作业题答案提示
1、试问在R上,x,y2能定义胸怀吗xy答:不可以,因为三角不等式不建立。如取则有x,y4,而x,z1,z,x12、试证明:(1)1(2)x,yxy在R上都定x,yxy2;1xy义了胸怀。证:(1)仅证明三角不等式。注意到112xyxzzyxz2zy2故有x111y2xz2zy2(2)仅证明三角不等式易证函数xx在R上是单一增添的,1x所以有abab,进而有ababab1ab1ab1a1b令
即
x,y,zR,令azx,byz
yxzxyz
1yx1zx1yz
4.试证明在C1a,b上,(,)b)()(2.3.12)(dta定义了胸怀。证:(1)(x,y)0x(t)y(t)0(因为x,y是连续函数)(x,y)0及(x,y)(y,x)明显建立。bx(t)y(t)dt(2)(x,y)abz(t)dtz(t)y(t)dtx(t)abz(t)dtby(t)dtx(t)z(t)aa(x,z)(z,y)
5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明
n2n2xinxii1i1n2nnn证:xi212n2xixii1i1i1i1
8.试证明以下各式都在胸怀空间R1,1和R1,R2的Descartes积RR1R2上定义了胸怀(1)221/2~max1,212;(2)~(12);(3)~证:仅证三角不等式。(1)略。
(2)设x(x1,x2),y(y1,y2)R1R2,则
%221(x1,y1)2(x,y)[12(x2,y2)]22112(x1,z1)1222(x2,z2)222(z1,y1)(z2,y2)1112(x1,z1)12(z1,y1)222(x2,z2)22(z2,y2)2n1n1n1%%2222i22(x,z)(z,y)iiii1i1i1
(3)%1(x1,y1),2(x2,y2)}(x,y)max{max{1(x1,z1)1(z1,y1),2(x2,z2)2(x2,z2)}max[1(x1,z1)1(z1,y1)]max[2(x2,z2)2(x2,z2)]%%%%(x,z)(z,y)
9、试问在C[a,b]上的B(x0;1)是什么
C[a,b]上图像以x0为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集
合。
10、试考虑
C[0,2
]并确立使得
y
B(x,r)的最小
r,此中
cost。
(x,y)supsintcostsup2sin(t)2t[0,2]t[0,2]4
11.试证明在失散胸怀空间中,每个子集既是开的又是闭的。
设A是失散胸怀空间X的任一子集。aA,开球B(a,1)
{a}
A,故A事开集。
2相同道理,知
AC是开的,故
A
(AC)C又是闭集。
12.设x0是MR的聚点,试证明x0的任何邻域都含有M的无穷
多个点。
证:略。
13.(1)若胸怀空间
R中的序列
{xn}是收敛的,并且有极限
x,试
证明
{xn}
的每个子序列
{xnk
}都是收敛的,并且有同一极限。
(2)若
{xn}
是
Cauchy序列,并且存在收敛的子序列
{xnk}
,
xnk
x,试证明
{xn}
也是收敛的,并且有同一极限。
(1)略
(2),N,当m,nkN时,有
(xm,xnkl),(xnkl,x)({xn}是Cauchy序列且xnkx)22所以,当mN时,(x,x)(x,x)(x,x)mmnnkl22kl
试证明:Cauchy序列是有界的.
证明:若xn是Cauchy序列,则存在,使得关于全部nn0,
有xn,xn01,所以,关于全部n,有
xn,xn0max1,x1,xn0,...,xn01,xn0
19.若xn和yn都是胸怀空间x中的Cauchy列,试证明:
xn,yn是收敛的。
证:依据三角不等式,有
nxn,ynxn,xmxm,ymym,ynxn,xmmym,yn故,nmxn,xmym,yn相同有:mnxn,xmym,yn
即:nmxn,xmym,yn0
而R是齐备的,则n是收敛的。
若X是紧胸怀空间,并且MX是闭的,试证明M也是紧的。
证明:因为X是紧的,故M中任一序列xn有一个在Xn中收敛的子序列xnk。不如设xnkxX,则有xM。又因M是闭的,所以xM,所以M是紧的。
第三章线性空间和赋范线性空间
试证明以下都是Rn上的范数
21nn2(1)x1xi;(2)x2xi;(3)xmaxxi;i1i1i
12n2xxi是范数吗
i1
(1)、(2)和(3)的证明略
12n2不是范数,不知足三角不等式。xi1xi
以为例,令x1,0,y0,1则xy1,xy4
试证明(1)C、C0和l0都是l的线性空间,此中C是收敛数列
集;C0是收敛数列0的数列集;l0是只有有限个元素的数列集。
2)C0仍是l的闭子空间,进而是齐备的。
3)l0不是l的闭子空间。
证明:
(2)设xx1,x2,...C0,xnx1n,x2n,...,使得xnxn.则有随意的0,N使得关于全部j,当,时有,又因为,所以当时
进而有
于是
,故
14.试证在赋范线性空间中,级数
的收敛性,其实不包含
级数
的收敛性。
令
,
则
,且
于是,
但
收敛
设是赋范线性空间,若级数的绝对收敛性包含着级数的收敛性,则是齐备的。
证:设{Xn
}是
X中任一
Cauchy列,则
kN,
nk,.
当
m,n
nk
时,
Sn
-Sm
2k。
并且对全部的k,可选用nk1>nk,进而{Snk}是{Sn}的一个子列,并且令X1=Sn1,Xk=Sn-Snk,则{Snk}是级数Xk的部分和序列,从而XkSkSk1X1X12(k1)X11k2k2
于是Xk绝对收敛,故Xk收敛。
不如设SnkSX,因为{Xn}是Cauchy列,故
SnSSnSnkSnkS0
又因为{Sn}是随意的,故证明X是齐备的。
设(X,?1)和(X,?2)是赋范线性空间,试证明其Descarts
积X=X1*X2在定义范数X=max{X11,X22}后也成为赋范线性空
间。
证:(1)
X=0
X11=
X22=0
X=(0,0
)=
(2)
X=max{
X11,
X22}=
max{
X11,
X22}=
X
(3)设X=(X1,X2),y=(y1,y2),则
xymax{x1y1xy2}1,22
max{x11y11,x22y22}max{x11,x22}max{y11,y22}y
(1)若?和?0是X上随意两个等价范数,试证明(X,?)和(X,?0)中的Cauthy序列相同
2)试证明习题10中的三个范数等价
证:设{Xn}是(X,?)中的任一Cauthy序列,即
0,NN,当n,m>N时,xn-xm因为和0是X上随意两个等价范数,所以存在正数a,b使a??0b?(*)
于是当nm>N时,有
xnxm0bxnxmb即xn是(X,?0)中的Cauthy序列。反之,若{xn}是(X,?0)中的Cauthy序列,则由(*)左
边不等式,可证{xn}
是(X,?)中的Cauthy序列。
(2)Rn是有限维赋范线性空间,其上的范数都是等价的。
20(2)的直接证明:
证明在中,范数?1、?2和?等价,此中
nn1;xmaxxx1xi;x2(xi2)2i1i1ii22证1oQximaxx,iixx2nx,
故?2和?等价。
2o由Cauchy-Schwart不等式,得,nn1n1n1xi(21)n(xi2xi)2(2)2i1i1i1i1故有x1nx2n1n1再有x2(xi2)2[(xi)2]2x1i1i1我们得1x1xx12n故?1与?2等价
29.若T:D
T
Y是可逆的线性算子,
x1,
...,x
n是线性没关的,
试正明
Tx1,
...,
Txn也是线性没关的
.
证:若存在λ
1,...,λn∈Ф且不全为零,使得
1Tx1
...
nTxn
0,
则因为T1存在且为线性的,故
T11Tx1...nTxn1x1...nTxn0,
与x1,...,xn线性没关矛盾。
32.若T是有界性算子,试证明对知足x1的随意xDT,都
有TxT.
思路:由TxTx即证结论。
33.设Τ:∞→∞使得Txx1,x2,...,试证明TBl,l.2证:设xx1,x2,...,xn,...,yy1,y2,...,yn,...,则T1x2yT1x12y1,1x22y2,...,1xn2yn,...1x12y1,1x22y2,...,1xn2yn,...22nn1x1,x2,...2y1,y2,...22=1122
进而T是线性算子.
supnsupn,nnn
所以l,l,且1.
进一步能够证明1.
37.设T:C10,1C10,1,使得Txttxd,t0,1.0(1)试求RT和T1:RTC10,1;2)试问T1BRT,C10,1吗
1)RT是知足y00且在0,1上连续可微分的函数组成的
C10,1的子空间,且T1yy't,t0,1。
(2)T1是线性的,可是无界的。
事实上,tn'ntn1,包含着T1n38.在C[0,1]1上分别定义Sx(t)t0
x(s)ds和Tx(t)tx(t)
试问S和T是可互换的吗
试求Sx,Tx,STx和TSx
改正S,T,ST,TS
(1)ST(x)1sx(s)ds,S(tx(t))t0TS(x)1t21T(tx(s)ds)x(s)ds,00故STTS,S和T不是可互换的。
1xdsx,(2)Sx0所以S1
令x1,t[0,1]
则1sxsxs
于是S1
近似可求:T1,ST1,TS1。2
39.在XBR上定义范数xsupx(t),并设T:XX使得tRTx(t)x(t),此中0试证明TB(X,X)。证:x,yX,则T(1x2y)=1x(t-)+2y(t-)=1Tx2Ty,即T是线性算子Tx=supx(t)=supx(t)=x,tRtRT1
40、证明以下在Ca,b上定义的泛函是有界限性泛函:
1)
2)
f
f
1()b)yo()dt,y0Ca,b固定;xxttx)xa)xbR固定2(((),,证:(1)线性性略
令B=maxy0(t)=y0,ta,b则有f1(x)bBxdx=B(b-a)x,a故有f1B(b-a)(2)略
41、设C11,1上的线性泛函f定义为0x(t)dt1f(x)x(t)dt,试求f10解:xC11,1,
fxx012x,dtdt10所以f2,1取xttn,n为正奇数,t1,1则x1,fx01111112nftndttndt2tndt2g10011n1n2n2,故f2.因为sup1n综上所述,f2。
44.
(1)在C11,1上定义xmaxxtmaxx't,ta,bta,b试证明?是C11,1中的范数。
(2)试证明fxx'ccab在C1a,b上定义了有界限性泛函。2(3)试证明视C1a,b为C1a,b的子空间时,上边定义的f不再是有界的。
证:(1)仅证三角不等式
''∣x+y∣=max∣x(t)+y(t)∣+max∣x
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