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文档简介

第二章胸怀空间

作业题答案提示

1、试问在R上,x,y2能定义胸怀吗xy答:不可以,因为三角不等式不建立。如取则有x,y4,而x,z1,z,x12、试证明:(1)1(2)x,yxy在R上都定x,yxy2;1xy义了胸怀。证:(1)仅证明三角不等式。注意到112xyxzzyxz2zy2故有x111y2xz2zy2(2)仅证明三角不等式易证函数xx在R上是单一增添的,1x所以有abab,进而有ababab1ab1ab1a1b令

x,y,zR,令azx,byz

yxzxyz

1yx1zx1yz

4.试证明在C1a,b上,(,)b)()(2.3.12)(dta定义了胸怀。证:(1)(x,y)0x(t)y(t)0(因为x,y是连续函数)(x,y)0及(x,y)(y,x)明显建立。bx(t)y(t)dt(2)(x,y)abz(t)dtz(t)y(t)dtx(t)abz(t)dtby(t)dtx(t)z(t)aa(x,z)(z,y)

5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明

n2n2xinxii1i1n2nnn证:xi212n2xixii1i1i1i1

8.试证明以下各式都在胸怀空间R1,1和R1,R2的Descartes积RR1R2上定义了胸怀(1)221/2~max1,212;(2)~(12);(3)~证:仅证三角不等式。(1)略。

(2)设x(x1,x2),y(y1,y2)R1R2,则

%221(x1,y1)2(x,y)[12(x2,y2)]22112(x1,z1)1222(x2,z2)222(z1,y1)(z2,y2)1112(x1,z1)12(z1,y1)222(x2,z2)22(z2,y2)2n1n1n1%%2222i22(x,z)(z,y)iiii1i1i1

(3)%1(x1,y1),2(x2,y2)}(x,y)max{max{1(x1,z1)1(z1,y1),2(x2,z2)2(x2,z2)}max[1(x1,z1)1(z1,y1)]max[2(x2,z2)2(x2,z2)]%%%%(x,z)(z,y)

9、试问在C[a,b]上的B(x0;1)是什么

C[a,b]上图像以x0为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集

合。

10、试考虑

C[0,2

]并确立使得

y

B(x,r)的最小

r,此中

cost。

(x,y)supsintcostsup2sin(t)2t[0,2]t[0,2]4

11.试证明在失散胸怀空间中,每个子集既是开的又是闭的。

设A是失散胸怀空间X的任一子集。aA,开球B(a,1)

{a}

A,故A事开集。

2相同道理,知

AC是开的,故

A

(AC)C又是闭集。

12.设x0是MR的聚点,试证明x0的任何邻域都含有M的无穷

多个点。

证:略。

13.(1)若胸怀空间

R中的序列

{xn}是收敛的,并且有极限

x,试

证明

{xn}

的每个子序列

{xnk

}都是收敛的,并且有同一极限。

(2)若

{xn}

Cauchy序列,并且存在收敛的子序列

{xnk}

xnk

x,试证明

{xn}

也是收敛的,并且有同一极限。

(1)略

(2),N,当m,nkN时,有

(xm,xnkl),(xnkl,x)({xn}是Cauchy序列且xnkx)22所以,当mN时,(x,x)(x,x)(x,x)mmnnkl22kl

试证明:Cauchy序列是有界的.

证明:若xn是Cauchy序列,则存在,使得关于全部nn0,

有xn,xn01,所以,关于全部n,有

xn,xn0max1,x1,xn0,...,xn01,xn0

19.若xn和yn都是胸怀空间x中的Cauchy列,试证明:

xn,yn是收敛的。

证:依据三角不等式,有

nxn,ynxn,xmxm,ymym,ynxn,xmmym,yn故,nmxn,xmym,yn相同有:mnxn,xmym,yn

即:nmxn,xmym,yn0

而R是齐备的,则n是收敛的。

若X是紧胸怀空间,并且MX是闭的,试证明M也是紧的。

证明:因为X是紧的,故M中任一序列xn有一个在Xn中收敛的子序列xnk。不如设xnkxX,则有xM。又因M是闭的,所以xM,所以M是紧的。

第三章线性空间和赋范线性空间

试证明以下都是Rn上的范数

21nn2(1)x1xi;(2)x2xi;(3)xmaxxi;i1i1i

12n2xxi是范数吗

i1

(1)、(2)和(3)的证明略

12n2不是范数,不知足三角不等式。xi1xi

以为例,令x1,0,y0,1则xy1,xy4

试证明(1)C、C0和l0都是l的线性空间,此中C是收敛数列

集;C0是收敛数列0的数列集;l0是只有有限个元素的数列集。

2)C0仍是l的闭子空间,进而是齐备的。

3)l0不是l的闭子空间。

证明:

(2)设xx1,x2,...C0,xnx1n,x2n,...,使得xnxn.则有随意的0,N使得关于全部j,当,时有,又因为,所以当时

进而有

于是

,故

14.试证在赋范线性空间中,级数

的收敛性,其实不包含

级数

的收敛性。

,且

于是,

收敛

设是赋范线性空间,若级数的绝对收敛性包含着级数的收敛性,则是齐备的。

证:设{Xn

}是

X中任一

Cauchy列,则

kN,

nk,.

m,n

nk

时,

Sn

-Sm

2k。

并且对全部的k,可选用nk1>nk,进而{Snk}是{Sn}的一个子列,并且令X1=Sn1,Xk=Sn-Snk,则{Snk}是级数Xk的部分和序列,从而XkSkSk1X1X12(k1)X11k2k2

于是Xk绝对收敛,故Xk收敛。

不如设SnkSX,因为{Xn}是Cauchy列,故

SnSSnSnkSnkS0

又因为{Sn}是随意的,故证明X是齐备的。

设(X,?1)和(X,?2)是赋范线性空间,试证明其Descarts

积X=X1*X2在定义范数X=max{X11,X22}后也成为赋范线性空

间。

证:(1)

X=0

X11=

X22=0

X=(0,0

)=

(2)

X=max{

X11,

X22}=

max{

X11,

X22}=

X

(3)设X=(X1,X2),y=(y1,y2),则

xymax{x1y1xy2}1,22

max{x11y11,x22y22}max{x11,x22}max{y11,y22}y

(1)若?和?0是X上随意两个等价范数,试证明(X,?)和(X,?0)中的Cauthy序列相同

2)试证明习题10中的三个范数等价

证:设{Xn}是(X,?)中的任一Cauthy序列,即

0,NN,当n,m>N时,xn-xm因为和0是X上随意两个等价范数,所以存在正数a,b使a??0b?(*)

于是当nm>N时,有

xnxm0bxnxmb即xn是(X,?0)中的Cauthy序列。反之,若{xn}是(X,?0)中的Cauthy序列,则由(*)左

边不等式,可证{xn}

是(X,?)中的Cauthy序列。

(2)Rn是有限维赋范线性空间,其上的范数都是等价的。

20(2)的直接证明:

证明在中,范数?1、?2和?等价,此中

nn1;xmaxxx1xi;x2(xi2)2i1i1ii22证1oQximaxx,iixx2nx,

故?2和?等价。

2o由Cauchy-Schwart不等式,得,nn1n1n1xi(21)n(xi2xi)2(2)2i1i1i1i1故有x1nx2n1n1再有x2(xi2)2[(xi)2]2x1i1i1我们得1x1xx12n故?1与?2等价

29.若T:D

T

Y是可逆的线性算子,

x1,

...,x

n是线性没关的,

试正明

Tx1,

...,

Txn也是线性没关的

.

证:若存在λ

1,...,λn∈Ф且不全为零,使得

1Tx1

...

nTxn

0,

则因为T1存在且为线性的,故

T11Tx1...nTxn1x1...nTxn0,

与x1,...,xn线性没关矛盾。

32.若T是有界性算子,试证明对知足x1的随意xDT,都

有TxT.

思路:由TxTx即证结论。

33.设Τ:∞→∞使得Txx1,x2,...,试证明TBl,l.2证:设xx1,x2,...,xn,...,yy1,y2,...,yn,...,则T1x2yT1x12y1,1x22y2,...,1xn2yn,...1x12y1,1x22y2,...,1xn2yn,...22nn1x1,x2,...2y1,y2,...22=1122

进而T是线性算子.

supnsupn,nnn

所以l,l,且1.

进一步能够证明1.

37.设T:C10,1C10,1,使得Txttxd,t0,1.0(1)试求RT和T1:RTC10,1;2)试问T1BRT,C10,1吗

1)RT是知足y00且在0,1上连续可微分的函数组成的

C10,1的子空间,且T1yy't,t0,1。

(2)T1是线性的,可是无界的。

事实上,tn'ntn1,包含着T1n38.在C[0,1]1上分别定义Sx(t)t0

x(s)ds和Tx(t)tx(t)

试问S和T是可互换的吗

试求Sx,Tx,STx和TSx

改正S,T,ST,TS

(1)ST(x)1sx(s)ds,S(tx(t))t0TS(x)1t21T(tx(s)ds)x(s)ds,00故STTS,S和T不是可互换的。

1xdsx,(2)Sx0所以S1

令x1,t[0,1]

则1sxsxs

于是S1

近似可求:T1,ST1,TS1。2

39.在XBR上定义范数xsupx(t),并设T:XX使得tRTx(t)x(t),此中0试证明TB(X,X)。证:x,yX,则T(1x2y)=1x(t-)+2y(t-)=1Tx2Ty,即T是线性算子Tx=supx(t)=supx(t)=x,tRtRT1

40、证明以下在Ca,b上定义的泛函是有界限性泛函:

1)

2)

f

f

1()b)yo()dt,y0Ca,b固定;xxttx)xa)xbR固定2(((),,证:(1)线性性略

令B=maxy0(t)=y0,ta,b则有f1(x)bBxdx=B(b-a)x,a故有f1B(b-a)(2)略

41、设C11,1上的线性泛函f定义为0x(t)dt1f(x)x(t)dt,试求f10解:xC11,1,

fxx012x,dtdt10所以f2,1取xttn,n为正奇数,t1,1则x1,fx01111112nftndttndt2tndt2g10011n1n2n2,故f2.因为sup1n综上所述,f2。

44.

(1)在C11,1上定义xmaxxtmaxx't,ta,bta,b试证明?是C11,1中的范数。

(2)试证明fxx'ccab在C1a,b上定义了有界限性泛函。2(3)试证明视C1a,b为C1a,b的子空间时,上边定义的f不再是有界的。

证:(1)仅证三角不等式

''∣x+y∣=max∣x(t)+y(t)∣+max∣x

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