泛函解析计划学习学习试题标准

第二章胸怀空间

作业题答案提示

1、试问在R上，x,y2能定义胸怀吗xy答：不可以，因为三角不等式不建立。如取则有x,y4,而x,z1，z,x12、试证明：（1）1(2)x,yxy在R上都定x,yxy2;1xy义了胸怀。证：（1）仅证明三角不等式。注意到112xyxzzyxz2zy2故有x111y2xz2zy2（2）仅证明三角不等式易证函数xx在R上是单一增添的，1x所以有abab,进而有ababab1ab1ab1a1b令

即

x,y,zR,令azx,byz

yxzxyz

1yx1zx1yz

4.试证明在C1a,b上，(,)b)()(2.3.12)(dta定义了胸怀。证：（1）(x,y)0x(t)y(t)0（因为x,y是连续函数）(x,y)0及(x,y)(y,x)明显建立。bx(t)y(t)dt(2)(x,y)abz(t)dtz(t)y(t)dtx(t)abz(t)dtby(t)dtx(t)z(t)aa(x,z)(z,y)

5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明

n2n2xinxii1i1n2nnn证：xi212n2xixii1i1i1i1

8.试证明以下各式都在胸怀空间R1,1和R1,R2的Descartes积RR1R2上定义了胸怀(1)221/2~max1,212;(2)~(12);(3)~证：仅证三角不等式。（1）略。

(2)设x(x1,x2)，y(y1,y2)R1R2，则

%221(x1,y1)2(x,y)[12(x2,y2)]22112(x1,z1)1222(x2,z2)222(z1,y1)(z2,y2)1112(x1,z1)12(z1,y1)222(x2,z2)22(z2,y2)2n1n1n1%%2222i22(x,z)(z,y)iiii1i1i1

（3）%1(x1,y1),2(x2,y2)}(x,y)max{max{1(x1,z1)1(z1,y1),2(x2,z2)2(x2,z2)}max[1(x1,z1)1(z1,y1)]max[2(x2,z2)2(x2,z2)]%%%%(x,z)(z,y)

9、试问在C[a,b]上的B(x0;1)是什么

C[a,b]上图像以x0为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集

合。

10、试考虑

C[0,2

]并确立使得

y

B(x,r)的最小

r，此中

cost。

(x,y)supsintcostsup2sin(t)2t[0,2]t[0,2]4

11．试证明在失散胸怀空间中，每个子集既是开的又是闭的。

设A是失散胸怀空间X的任一子集。aA，开球B(a,1)

{a}

A，故A事开集。

2相同道理，知

AC是开的，故

A

(AC)C又是闭集。

12．设x0是MR的聚点，试证明x0的任何邻域都含有M的无穷

多个点。

证：略。

13．（1）若胸怀空间

R中的序列

{xn}是收敛的，并且有极限

x，试

证明

{xn}

的每个子序列

{xnk

}都是收敛的，并且有同一极限。

（2）若

{xn}

是

Cauchy序列，并且存在收敛的子序列

{xnk}

，

xnk

x，试证明

{xn}

也是收敛的，并且有同一极限。

（1）略

（2），N，当m,nkN时，有

(xm,xnkl)，(xnkl,x)（{xn}是Cauchy序列且xnkx）22所以，当mN时，(x,x)(x,x)(x,x)mmnnkl22kl

试证明：Cauchy序列是有界的.

证明：若xn是Cauchy序列，则存在,使得关于全部nn0,

有xn,xn01,所以，关于全部n，有

xn,xn0max1,x1,xn0,...,xn01,xn0

19.若xn和yn都是胸怀空间x中的Cauchy列，试证明：

xn,yn是收敛的。

证：依据三角不等式，有

nxn,ynxn,xmxm,ymym,ynxn,xmmym,yn故，nmxn,xmym,yn相同有：mnxn,xmym,yn

即：nmxn,xmym,yn0

而R是齐备的，则n是收敛的。

若X是紧胸怀空间，并且MX是闭的，试证明M也是紧的。

证明：因为X是紧的，故M中任一序列xn有一个在Xn中收敛的子序列xnk。不如设xnkxX，则有xM。又因M是闭的，所以xM，所以M是紧的。

第三章线性空间和赋范线性空间

试证明以下都是Rn上的范数

21nn2（1）x1xi；(2)x2xi;(3)xmaxxi;i1i1i

12n2xxi是范数吗

i1

（1）、（2）和（3）的证明略

12n2不是范数，不知足三角不等式。xi1xi

以为例，令x1,0,y0,1则xy1,xy4

试证明（1）C、C0和l0都是l的线性空间，此中C是收敛数列

集；C0是收敛数列0的数列集；l0是只有有限个元素的数列集。

2）C0仍是l的闭子空间，进而是齐备的。

3）l0不是l的闭子空间。

证明：

（2）设xx1,x2,...C0，xnx1n,x2n,...,使得xnxn.则有随意的0，N使得关于全部j，当,时有,又因为，所以当时

进而有

于是

，故

14.试证在赋范线性空间中，级数

的收敛性，其实不包含

级数

的收敛性。

令

，

则

，且

于是，

但

收敛

设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性包含着级数的收敛性，则是齐备的。

证：设{Xn

}是

X中任一

Cauchy列，则

kN，

nk，.

当

m，n

nk

时，

Sn

-Sm

2k。

并且对全部的k，可选用nk1>nk，进而{Snk}是{Sn}的一个子列，并且令X1=Sn1，Xk=Sn-Snk，则{Snk}是级数Xk的部分和序列，从而XkSkSk1X1X12(k1)X11k2k2

于是Xk绝对收敛，故Xk收敛。

不如设SnkSX，因为{Xn}是Cauchy列，故

SnSSnSnkSnkS0

又因为{Sn}是随意的，故证明X是齐备的。

设（X，?1）和（X，?2）是赋范线性空间，试证明其Descarts

积X=X1*X2在定义范数X=max{X11，X22}后也成为赋范线性空

间。

证：（1）

X=0

X11=

X22=0

X=（0,0

）=

（2）

X=max{

X11，

X22}=

max{

X11，

X22}=

X

（3）设X=（X1，X2），y=（y1，y2），则

xymax{x1y1xy2}1，22

max{x11y11,x22y22}max{x11,x22}max{y11,y22}y

（1）若?和?0是X上随意两个等价范数，试证明（X，?）和（X，?0）中的Cauthy序列相同

2）试证明习题10中的三个范数等价

证：设{Xn}是（X，?）中的任一Cauthy序列，即

0，NN，当n，m>N时，xn-xm因为和0是X上随意两个等价范数，所以存在正数a，b使a??0b?（*）

于是当nm>N时，有

xnxm0bxnxmb即xn是（X，?0）中的Cauthy序列。反之，若{xn}是（X，?0）中的Cauthy序列，则由（*）左

边不等式，可证{xn}

是（X，?）中的Cauthy序列。

（2）Rn是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。

20(2)的直接证明：

证明在中，范数?1、?2和?等价，此中

nn1；xmaxxx1xi；x2(xi2)2i1i1ii22证1oQximaxx，iixx2nx，

故?2和?等价。

2o由Cauchy-Schwart不等式，得，nn1n1n1xi(21)n(xi2xi)2(2)2i1i1i1i1故有x1nx2n1n1再有x2(xi2)2[(xi)2]2x1i1i1我们得1x1xx12n故?1与?2等价

29.若T：D

T

Y是可逆的线性算子，

x1,

...,x

n是线性没关的，

试正明

Tx1,

...,

Txn也是线性没关的

.

证：若存在λ

1，...，λn∈Ф且不全为零，使得

1Tx1

...

nTxn

0,

则因为T1存在且为线性的，故

T11Tx1...nTxn1x1...nTxn0,

与x1,...,xn线性没关矛盾。

32.若T是有界性算子，试证明对知足x1的随意xDT，都

有TxT.

思路：由TxTx即证结论。

33.设Τ：∞→∞使得Txx1,x2,...，试证明TBl,l.2证：设xx1,x2,...,xn,...，yy1,y2,...,yn,...，则T1x2yT1x12y1,1x22y2,...,1xn2yn,...1x12y1,1x22y2,...,1xn2yn,...22nn1x1,x2,...2y1,y2,...22=1122

进而T是线性算子.

supnsupn,nnn

所以l,l,且1.

进一步能够证明1.

37.设T:C10,1C10,1,使得Txttxd,t0,1.0（1）试求RT和T1:RTC10,1;2）试问T1BRT,C10,1吗

1）RT是知足y00且在0,1上连续可微分的函数组成的

C10,1的子空间，且T1yy't,t0,1。

（2）T1是线性的，可是无界的。

事实上，tn'ntn1，包含着T1n38.在C[0,1]1上分别定义Sx(t)t0

x(s)ds和Tx(t)tx(t)

试问S和T是可互换的吗

试求Sx，Tx，STx和TSx

改正S，T，ST，TS

(1)ST(x)1sx(s)ds,S(tx(t))t0TS(x)1t21T(tx(s)ds)x(s)ds,00故STTS，S和T不是可互换的。

1xdsx,(2)Sx0所以S1

令x1，t[0,1]

则1sxsxs

于是S1

近似可求：T1，ST1，TS1。2

39.在XBR上定义范数xsupx(t)，并设T：XX使得tRTx(t)x(t)，此中0试证明TB(X,X)。证：x,yX，则T（1x2y）=1x(t-)+2y(t-)=1Tx2Ty,即T是线性算子Tx=supx(t)=supx(t)=x，tRtRT1

40、证明以下在Ca,b上定义的泛函是有界限性泛函：

1）

2）

f

f

1()b)yo()dt，y0Ca,b固定；xxttx)xa)xbR固定2(((),,证：（1）线性性略

令B=maxy0(t)=y0，ta,b则有f1(x)bBxdx=B（b-a）x，a故有f1B（b-a）（2）略

41、设C11,1上的线性泛函f定义为0x(t)dt1f(x)x(t)dt，试求f10解：xC11,1,

fxx012x，dtdt10所以f2，1取xttn，n为正奇数，t1,1则x1，fx01111112nftndttndt2tndt2g10011n1n2n2,故f2.因为sup1n综上所述，f2。

44.

（1）在C11,1上定义xmaxxtmaxx't，ta,bta,b试证明?是C11,1中的范数。

（2）试证明fxx'ccab在C1a,b上定义了有界限性泛函。2（3）试证明视C1a,b为C1a,b的子空间时，上边定义的f不再是有界的。

证：（1）仅证三角不等式

''∣x+y∣=max∣x(t)+y(t)∣+max∣x