清华大学机械制图

绪论1清华大学机械制图全部PPT课件1—15章1.1本课程的任务、内容1.2投影的基本概念内容21.1.1地位

本课程是一门技术基础课： 为后续课程的学习和以后工作中的绘图工作、为应用投影方法解决工程实际问题,提供必要的基础。31.1本课程的任务、内容4

1.1.2任务包括画法几何和机械制图两部分：利用图解法解决空间几何问题运用作图手段表达机械零件、部件的结构形状1.学习投影法的基本理论，这是本课程的理论基础。2.培养以图形为基础的形象思维能力。3.培养和发展空间构思能力、分析能力和表达能力。4.培养空间几何问题的图解能力和将科学技术问题抽象为几何问题的初步能力。5.培养阅读和绘制机械设计图样的基本能力。6.对计算机绘图有初步了解。5

1.1.3内容1.图示法在平面上表示几何元素和形体的各种方法2.图解法利用在平面上解决空间几何问题的各种方法3.制图基础正确的制图方法和相关国家标准4.机械制图零件图、装配图的绘制和读图方法61.1.4学习方法空间想象及空间思维与投影分析及绘图过程紧密结合。2.理论联系实际，掌握正确的方法和技能。3.加强标准化意识和对国家标准的学习。

4.和工程实际相结合,多观察、勤思考、善总结。7

1.1.5要求

1.讲课―复习―作业、预习

2.用铅笔、仪器准确做题，字迹工整

3.按时交作业，有错必改，作业全部保留

4.上课携带：书、习题集、绘图用具

5.准确做题：平行、垂直、45度角……

6.绘图用具：绘图铅笔（H、HB），削笔刀，砂纸橡皮，毛刷、抹布一副三角尺（200-250mm）

圆规本课程的任务和主要内容要点小结891.2投影的基本概念PSABCac投影条件及标注：投射线（s）空间几何元素（大写A、B、C…）投影面（大写P、V、H、W…）投影（小写a、b、c…）sb投影面空间几何元素投射线投影投射中心1.2.1基本概念101.2.2中心投影

投射线交于一点的投影方法，称做中心投影。2．缺点—一般情况下，投影不反映物体的真实大小，度量性不好，无等比性，无平行性。DEdePSABCacsb1．优点—实体感强、逼真；11deacbSs若将投射中心“S”向左移至无穷远处s1.2.3平行投影法

投射线相互平行的投影方法称做平行投影。优点：具有平行性、等比性、实形性（当空间的面、线与投影面平行时）。abcde

空间AB∥DE,投影ab∥deAD/DC=ad/dcPDEABC12在本书中，我们只介绍平行投影法，其中正投影法被广泛用于绘制各种工程图样，如无特别说明，书中所称的“投影”，均指正投影。按投射线与投影面的相对位置，平行投影可分为：

斜角投影—投射线不垂直于投影面

直角投影—投射线垂直于投影面斜投影法仅用于画轴测图。平行投影法的投影特点要点小结13机械制图的基本知识22.1机械制图国家标准基本规定2.2手工绘图基本技能2.3尺规基本几何作图内容15162.1国家标准基本规定2.1.1图纸幅面与格式（GB/T14689-2008）图纸的幅面尺寸图纸幅面粗实线所示（A0、A1、A2、A3、A4）为绘制技术图样时优先采用的基本幅面虚线所示为第三选择的加长幅面细实线所示（A3x3、A3x4、A4x3、A4x4、A4x5等）为第二选择的加长幅面幅面代号尺寸BXLA0A1A2A3A4841X1189594X841420X594297X420210X297单位为毫米17无装订边图纸（X型）的图框格式无装订边图纸（Y型）的图框格式图框格式

在图纸上必须用粗实线画出图框，其格式分为不留装订边和留装订边两种，但同一产品的图样只能采用一种格式。纸边界线对中符号图框线标题栏周边18有装订边图纸（X型）的图框格式有装订边图纸（Y型）的图框格式纸边界线图框线标题栏周边图框尺寸幅面代号841×1189594×841420×594210×297297×420A0A1A2A3A4B×Leca20101025519

每张图纸上必须画出标题栏。标题栏的格式和尺寸按GB/T10609.1的规定。学习时暂采用下列各式：2.1.2标题栏（GB/T10609.1）标题栏置于图纸右下角，并使底边、右边分别与图框线重合。202.1.3比例（GB/T14690—1993）图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比称为比例。比值为1的比例，即1:1，为原值比例；比值大于1的比例，如2:1等，为放大比例；比值小于1的比例，如1:2等，为缩小比例。比例系列1×10n:1常用比例种类1:15:1原值比例放大比例缩小比例比例5×10n:12:12×10n:11:21:2×10n

1:51:5×10n

1:101:10×10n

注：n为正整数必要时允许选取的比例种类4:1放大比例缩小比例比例4×10n:12.5:12.5×10n:11:1.51:1.5×10n

1:2.51:2.5×10n

1:31:3×10n

注：n为正整数1:61:6×10n

1:41:4×10n

比例一般标注在标题栏的比例栏内。必要时可在视图名称下方或右侧标注。212.1.4图线（GB/T4457.4-2002）代码No线型线宽一般应用01.101.2名称细实线波浪线双折线粗实线02.1细虚线细点画线细双点画线04.104.2过渡线、剖面线、指引线、尺寸线和尺寸界线、重合断面轮廓线、螺纹牙底线断裂处边界线、视图与剖视图分界线断裂处边界线、视图与剖视图分界线可见轮廓线、螺纹牙顶线、螺纹长度终止线、剖切符号用线不可见轮廓线轴线、对称中心线、剖切线相邻辅助零件轮廓线、可动零件极限位置轮廓线、轨迹线、中断线0.5d0.5d0.5d0.5d0.5d0.5dd图样中常用图线在机械图样中采用粗细两种线宽，它们之间的比例为2:1。线宽（d）优先选择0.5mm、0.7mm。222.1.5字体（GB/T14691-1993）基本要求（1）书写字体必须做到：字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐。（2）字体高度（用h表示）的公称尺寸为1.8、2.5、3.5、5、7、10、14、20mm。若需写更大的字，其高度应按的比率递增。字体高度代表了字体的号数。2（3）汉字应写成长仿宋体字，并应采用国务院正式公布推行的《汉字简化方案》中规定的简化字。汉字的高度不应小于3.5mm，其字宽一般为h/(约0.7h)。210号字7号字5号字23（4）字母和数字分为A型和B型。A型字体的笔画宽度为字高的1/14，B型字体笔画宽度为字高的1/10。字母和数字可写成斜体或直体，斜体字字头向右倾斜，与水平基准线成75°。在同一图样上只允许选用一种型式的字体。阿拉伯数字（A型斜体）拉丁字母大小写（A型斜体）75°罗马数字（A型斜体）图纸幅面与格式标题栏比例图线字体要点小结24252.2.1绘图工具铅笔B、HB型：用于绘制粗实线；HB、H型：用于绘制细实线、点画线、双点画线、虚线及写字；2H型：用于画底稿笔芯形状及尺寸笔芯型号一般适用范围

矩形笔芯用于绘制粗实线圆锥形笔芯矩形笔芯磨削方法砂纸板笔芯移动方向笔芯平行于砂纸面2.2手工绘图基本技能2615°75°三角板

一副三角板（45°和30°、60°）与丁字尺配合使用可以绘制15°倍角的直线或任意角度的一组平行线。丁字尺画线方向绘制45°、60°、30°直线绘制90°、15°、75°直线绘制任意角度的一组平行线直线尺头工作边三角板移动方向丁字尺上下移动绘制水平线尺身27圆规用于绘制圆和圆弧。铅芯形状：铲形（画细线圆）矩形（画粗线圆，B或2B）选带平台的针尖弹簧圆规画小圆带加长腿圆规画大圆铅芯与针尖平台取齐使用方法：28其他工具分规（用于度量）擦图片量角器小毛刷胶带纸均为圆锥形针尖砂纸三棱尺292.2.2徒手绘图

徒手绘图是一种不用绘图仪器而按目测比例徒手画出图样，这种图样称为草图或徒手图。主要用于现场测绘、设计方案讨论或技术交流。工程技术人员必须具备徒手绘图的能力。直线画法握笔姿势画水平线自左向右距笔尖约35mm画竖直线由上向下运笔时眼视终点，小指压住纸面，手腕随线移动。30圆和圆角画法步骤1画中心线步骤2目测在中心线上确定到中心之距为半径的点步骤3过各定点画圆画小圆画大圆步骤1画中心线及45°方向斜线步骤2目测在中心线及45°斜线上确定到中心之距为半径的点步骤3过各定点画圆步骤1确定分角线位置步骤2目测在分角线上确定圆心位置（距两边之距为半径的点）、圆弧起止点及分角线上圆弧通过的点步骤3过三点画圆弧画圆角31椭圆画法方法1利用矩形画椭圆方法2利用外切菱形画椭圆步骤1画椭圆长短轴、目测确定长短轴端点步骤2过椭圆长短轴端点作矩形步骤3作椭圆与矩形相切步骤1画椭圆的共轭直径、并在其上目测确定至椭圆中心等距的点步骤2过各点作椭圆的外切菱形步骤4画锐角边的内切圆弧步骤3画钝角边的内切圆弧绘图工具使用徒手绘图要点小结32332.3.1过点作直线的平行线ABC步骤1ABC步骤2步骤3步骤4边与线重合两边对齐沿边移动过点C作直线ABCABC2.3尺规基本几何作图342.3.2过点作直线的垂直线ABC步骤1步骤2步骤3边与线重合两边对齐ABCABC过点C作直线352.3.3分直线段为任意等分步骤1步骤2步骤3过端点A任作一直线以任意长度为单位截取六等份分线段AB为六等份过点1～5分别作B6平行线与AB相交得各等分点步骤4AB连接点B、6AB1234562345AB612345AB61362.3.4作正六边形

步骤1作外接圆

步骤2确定两顶点

步骤3确定四顶点

步骤4完成正六边形作正六边形的外接圆确定顶点以外接圆半径为半径作圆弧交外接圆于四点连接各点完成正六边形以外接圆作正六边形372.3.5作圆的切线

步骤1确定辅助圆直径

步骤2确定切点

步骤3作切线连接点A、OAOAO过圆外一点作圆的切线以AO为直径作圆交圆O于M、N连接AM、AN，即为圆O切线MNAOMN38作两圆的外公切线o2o1R2R1

步骤1作辅助圆

步骤2确定公切线方向

步骤3作公切线o2o1以R2-R1为半径作圆c以O1O2为直径作圆交辅助圆于CO1C与辅助圆相切o2co1MN过O2C作直线交圆O2于M作直线O1N∥O2M交圆O1于NMN为公切线此题可作两条外公切线39作两圆的内公切线

步骤1作辅助圆1

步骤2作辅助圆2

步骤3确定切点o2o1R2R1以O1O2为直径作圆以O1为圆心、R1+R2为半径画圆交辅助圆于KKo2o1KMN

步骤4作内公切线连接O1K交圆O1于M作直线O2N∥KO1交圆O2于NMN为内公切线此题可作两条内公切线402.3.6斜度和锥度斜度

指一直线（或平面）对另一直线或平面的倾斜程度。其大小用它们之间夹角的正切来表示，习惯上将比例的前项化为1而写成1:n的形式。HLa斜度=tana=H:L=1：—HL示例:绘制斜度为1:10、小端高H、长L的楔块。h30°倾斜方向与斜度方向一致h为字高图样上表示斜度的符号：

步骤1确定斜度线

步骤2作楔块的高和长

步骤3完成楔块1:10画出斜度为1:10的斜线完成楔块LH画高度H及长度L标注斜度标注尺寸41锥度

圆锥的底圆直径与圆锥高度之比。圆锥台的锥度为其上、下底圆直径之差与圆台高度之比。锥度在图样用1:n形式标注。示例：绘制底圆Ø40、长50、锥度为1:5的圆锥台。图样上表示锥度的符号15°1.4h1:5基准线锥度符号指引线

步骤1确定锥度线

步骤2确定锥面轮廓

步骤3完成圆锥台1:5锥度线1单位5单位50ø40已知端点从已知端点画锥度线的平行线50ø40完成圆锥台标注尺寸标注锥度LalDda锥度=—=———=2tan—DLD

-

dl2422.3.7圆弧连接用圆弧连接两已知直线ACB用圆弧R连接直线AC、BCRRRO

步骤1确定连接圆弧圆心

步骤2确定连接圆弧切点

步骤3完成圆弧连接ACBO分别作与AC、BC平行且距离为R的直线MNOM⊥AC、ON⊥BC，M、N为切点R以R为半径作MN完成圆弧连接MNACBO两直线交于O即连接圆弧圆心43用圆弧连接两已知圆弧o2o1R2R1作圆弧R在上方与两圆外切R

步骤1确定连接圆弧圆心

步骤2确定连接圆弧切点

步骤3完成圆弧连接R+R1R+R2O分别以O1、O2为圆心R+R1、R+R2为半径作圆两圆交于O即外切圆弧圆心o2o1OMN连接O1O交圆O1于M，连接O2O交圆O2于N，M、N为切点以O为圆心R为半径作MN，完成圆弧连接44R1+RO1OAB用圆弧连接已知直线与圆弧作圆弧R与直线相切、与圆外切R

步骤1确定连接圆弧圆心

步骤2确定连接圆弧切点步骤3完成圆弧连接RR1作直线平行于已知直线且距离为R以O1为圆心作半径为R1+R的圆弧辅助直线与圆弧交于O，即连接圆弧圆心ROMNO1AB以O为圆心R为半径作MN作OM⊥AB，垂足连接圆弧M为切点连接OO1交于已知圆弧于N，N为连接圆弧切点过点作直线的平行线过点作直线的垂直线分直线段为任意等分作正六边形作圆的切线锥度和斜度圆弧连接要点小结45计算机绘图及建模基础33.1概述3.2利用AutoCAD绘制二维工程图3.3利用Solidworks构建三维模型内容3.1概述计算机绘图及建模系统组成计算机绘图及建模系统硬件系统软件系统计算机输入设备输出设备绘制二维图基本功能三维建模工程图样平面图形零件建模零件图装配图装配建模3.2利用AutoCAD绘制二维工程图常用二维图绘图功能：绘制二维图线，如绘制直线、圆、圆弧等；绘制其他图形对象，如尺寸标注、画剖面线、文字等；图形的修改，如移动、旋转、复制、擦除、修剪等；辅助绘图功能，包括图层控制、实体捕捉等；图形的显示控制功能，如平移、缩放、旋转等；输入输出功能，包括图形的导入和输出、对象链接等。3.2.1AutoCAD2013绘制二维图形的工作界面标题栏绘图窗口功能区命令窗口状态栏菜单栏光标工具栏3.2.1AutoCAD2013绘制二维图形的工作界面视图方位显示视图观察栏坐标系图标3.2.2AutoCAD命令的基本操作方式绘图命令的启动和执行菜单启动键盘输入命令工具栏启动功能区启动绘图数据的输入光标拾取点：输入点的坐标：绝对坐标：100,60100<60X坐标极坐标矢径与X轴夹角相对坐标：@100,60@100<60Y坐标图形对象的选择鼠标直接选取：光标框选：拾取框从左向右拖动拾取框从右向左拖动图形的缩放显示视图观察栏：平移缩放3.2.3二维图线的绘制

利用AutoCAD提供的绘图命令，可以方便地绘制工程图中常见的直线、圆、圆弧、矩形多边形、样条曲线等各种二维图线。主要的绘图命令集中在功能区“常用”选项卡下的“绘图”面板中3.2.4二维图线的修改

常常需要对已经画好的图线进行修改。例如，删除某些不需要的图线，将图线剪短或加长，将尖角处改为圆角等等。主要的修改命令集中在功能区“常用”选项卡下的“修改”面板中。实例：3.2.5辅助绘图工具

机械制图中不同类型的图线应采用不同的线型和宽度。在绘制较为复杂的图形时，为了使图形更加清晰，通常可以按照图形的不同类型，将其分布在不同的图层上。图层特殊点的精确捕捉对象捕捉工具栏：

当绘图命令提示要求确定一个点的位置时，常常需要精确地拾取到一些特殊位置的点，如直线的交点、圆的切点等。捕捉端点捕捉中点捕捉交点捕捉圆心捕捉切点设置捕捉方式设置捕捉方式：正交模式作图正交按钮：

打开正交功能后，光标只能沿X或Y方向移动，因此只能绘制水平线或垂直线，或者沿X,Y方向移动、复制图形对象。3.2.6尺寸标注可标注的尺寸类型对齐尺寸线性尺寸（水平）线性尺寸（垂直）直径尺寸半径尺寸角度尺寸

可利用“标注”菜单下的命令直接标注尺寸，或设置尺寸标注的样式。设置尺寸样式653.3.1Solidworks基础知识3.3利用Solidworks构建三维模型设计和表达流程零件建模绘制草图：绘制图形，添加几何约束和尺寸约束创建特征：从草图创建基础特征，添加工程特征编辑修改草图或特征装配建模在装配体中插入零部件添加配合关系生成装配图投影生成视图标注尺寸及技术要求零件编号生成零件明细表，填写标题栏生成零件图投影生成视图标注尺寸及技术要求填写标题栏Solidworks2012界面CommandManager图形区域菜单栏工具栏左窗格关联工具栏前导视图工具栏673.3.2零件建模

新建文件时应在“新建Solidworks文件”窗口中选择“零件”，文件保存时以.sldprt为文件扩展名。绘制草图的基本过程*选择绘制草图的平面，可以是坐标基准面、实体平面或者参考平面等；*初步绘制出草图的大致形状；*编辑修改图形，添加必要的几何约束；*添加尺寸约束；从草图创建特征对草图进行拉伸、旋转、扫描、放样等操作，构成三维特征。拉伸旋转旋转轴放样添加特征在已有的特征上添加倒角、圆角、抽壳等应用特征。倒角抽壳3.3.3装配建模

新建装配体体模型时，在“新建Solidworks文件”对话框，选择“装配体”，文件保存时以.sldasm为文件扩展名。*添加零部件：选择需要的零部件，插入装配体中；*添加位置约束：在各个零部件之间添加必要的位置约束，如平行、垂直、相切、同轴等。两端面重合轴、孔同轴3.3.3生成工程图

在构造了三维零件模型或者装配体模型之后，可以生成二维的工程图，即符合制图标准的零件图和装配图。零件、装配体和工程图是互相关联的文件，对零件或装配体所做的任何修改都会导致工程图文件的相应变更。

新建工程图时，在“新建Solidworks文件”对话框，选择“工程图”，文件保存时以.slddrw为文件扩展名。投影生成视图*选择适当的投影方向，生成投影视图，如主视图、俯视图和左视图；*根据需要，生成向视图、斜视图；*根据需要，生成剖视图、断面图；调整和标注视图尺寸*设置合适的尺寸样式；*删除不合适的尺寸；*标注需要的新尺寸；*调整尺寸位置；绘制边框、标题栏要点小节AutoCAD绘制二维图的基本操作方法Solidworks零件建模、装配建模的基本操作方法Solidworks投影生成工程图的基本方法点、直线和平面的投影44.1点的投影4.2直线的投影4.3平面的投影内容844.1点的投影点在一个投影面的投影

A→aAaA1A2

反过来，就无法实现a→A

！P

因此，工程上一般需采用多个相互正交的投影面组成投影面体系，用多个投影来表示空间几何元素的位置和形状。4.1.1点的投影图8586VHXZYWOAa”aa'axaYaz点的三面投影①直观图...水平投影面正立投影面侧立投影面OZ轴OY轴空间“点”侧面投影正面投影细实线字号：3.5圆点：直径~1mm注意：∥V或⊥V的长度均按1：1度量OX轴水平投影H绕OX旋转W绕OZ旋转直观图展平方式87VHWXZOa”aa'axaYazYH

YW③最后擦去边框，这样的图就是投影图。②直观图展平

V面与画面重合

H面绕OX轴向下旋转90°W面绕OZ轴向右旋转90°aYWH88XZOa”aa'axaYW

azYH

YWaYH投影特性②a’ax

=Aa(点与H的距离)

aax=Aa’

(点与V的距离)

a’az=Aa”

(点与W的距离)③aax=a”az①

a’a

OX，a’a”OZ

89点的二求三

已知点的两个投影，可利用点的三面投影特性求其第三个投影。a”OXZaa'

YH

YWa”904.1.2点的坐标与投影的关系

如果将投影轴当作坐标轴，将投影面当作坐标面,

点的坐标与投影的关系为：aa'

XOZYH

YWa”axazaYH

aYW

点的X坐标值=点与面的距离点的Y坐标值=点与面的距离

点的Z坐标值=点与面的距离

W

H

V914.1.3两点间的相对位置aa'

XOZYH

YWa”axazaYH

aYW方位关系:上下左右左右后前后前上下

例：已知点A（12，8，10），点B在点A的下方5mm、左0mm、前0mm，试完成点B的投影。距观察者近的方位:前、左、上b'≡bb”5分析：点B在点A的正下方5mm，即点B（12，8，5）。

XOZYH

YWVWH92≡baa'

XOZYH

YWa”axazaYHaYWb'b”可见性

利用重影点的投影可进行可见性判断。在投影中，距观察者近的点为可见点；远离观察者的点为不可见点。表示方法

不可见点的重合投影加圆括号表示。(b)4.1.4重影点及可见性重影点

若两个点的同名投影重合，则称这两个点为重影点。

点的投影特性点的二求三两点间的相对位置重影点及可见性要点小结9394ABPCDPPEF4.2.1直线在单一投影面上的投影a≡b

直线垂直于投影面：直线在该投影面上的投影积聚为点cdef

直线平行于投影面：直线在该投影面上的投影反映实长

直线倾斜于投影面：直线在该投影面上的投影缩短4.2直线的投影954.2.2直线在三投影面体系中的投影相对于投影面名称HVW规定夹角的名称

直线与投影面夹角的规定名称96投影面垂直线的投影

在三投影面体系中，当直线垂直于某一个投影面时，则必同时平行于另两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。ABPa≡b

共有三种投影面垂直线：直线⊥投影面V：正垂线直线⊥投影面H：铅垂线直线⊥投影面W：侧垂线97WVH以正垂线AB为例，讨论其投影特性：XOYWZYHABa'≡b'abb”a”a’

≡b’aba”b”∵AB

⊥

V，∴AB∥H，AB∥W。①a’≡b’②ab=a”b”=AB=LAB

③ab⊥OX,a”b”⊥OZ

④=90°、

==0°投影特性：

投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。98投影面平行线的投影

在三投影面体系中，当直线平行于某一个投影面，同时与另两个投影面倾斜，这样的直线称为投影面平行线。CDPcd

共有三种投影面平行线：直线∥投影面V：正平线直线∥投影面H：水平线直线∥投影面W：侧平线99WVH以水平线CD为例，讨论其投影特性：XOYWZYHCDd'cdd”c”d’cdc”d”CD

∥H，与V、W倾斜。①cd=

CD

=

LCD

②c’d’∥OX,c”d

”∥OYW

③c’d’<CD,c”d

”<CD

④=0°，

0°<、<

90°

c'c’

投影特性：

投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映实长、反映与另外两个投影面的夹角实际大小；

另两个投影平行于相应的轴，且缩短。100一般位置线的投影

直线与三个投影面都倾斜，这样的直线称为一般位置线。PEFef101以一般位置线EF

为例，讨论其投影特性：f’efe”f”e’XOYWZYH投影特性：

三个投影均与轴倾斜、投影缩短，与三个投影面的夹角都不反映实际大小。?

?

?WVHG

H

h’hh”g”gg'102WVHG

H

h’hh”g”gg'GVGW4.2.3线段的实长及其与投影面的夹角..△YGH△XGH△ZGH.GHh’hgg'OX.g’h'△YGHLGH例:求线段HG的实长及其与投影面V的夹角。求线段HG的实长可利GHGH、GHGV、GHGW任一个直角三角形；而夹角、、则分别在不同的三角形中。△YGH1034.2.4属于直线的点属于直线的点，其投影必在该直线的同名投影上，且分该直线的各投影成比例。（用图解法）XOYWZYH

XOa”b”c”对于侧平线，有两种判断方法：利用侧投影；利用比例法。a’b’abll’a’ab’bc'ckk’1044.2.5直线的迹点

直线与投影面的交点，称为该直线的迹点。迹点既在直线上（或延长线上），又在投影面上。XO因迹点是投影面上点，所以，迹点的一个投影必在轴上！m’m≡

Mnn’≡Na’b’ab规定：直线与H面的交点—水平迹点（M）直线与V面的交点—正面迹点（N）直线与W面的交点—侧面迹点（S）直线的投影特性何时投影积聚为点、反映实长、投影缩短投影面垂直线、平行线、一般位置线的投影特性线段的实长及其与投影面的夹角属于直线的点迹点的求法要点小结1051064.3.1平面的表示方法PABC线及线外一点两平行线两相交直线平面图形不共线的三点XOa'b'c'abcPABCXOa'b'c'abcPABCDd'dXOa'b'c'abcPABCDd'dXOa'b'c'abcPABCa'XOb'c'abc几何元素表示4.3平面的投影107

XZYHYWOPVPZPXPHPYHPYWPWPV与PH交OX轴于点PX(P、H、V三面共点）WVHPPVPHPWPXPYPZ迹线表示迹线：平面与投影面的交线。规定：正面、水平、侧面迹线分别用PV、PH、PW表示。108WVHQVQHQWQQXQYQVQYHQYW

XZYHYWOQXQHQW迹线：平面与投影面的交线。规定：正面、水平、侧面迹线分别用PV、PH、PW表示。迹线表示109迹线：平面与投影面的交线。规定：正面、水平、侧面迹线分别用PV、PH、PW表示。

XZYHYWOWVHRRHRWRHRYHRWRY迹线表示110a’ab’ba”b”c”c'c无轴投影只强调形状、大小，不考虑其相对于投影面的位置。作图时，利用几何元素之间的相互位置关系。注意：几何元素间的方位关系几何元素间的度量关系例：完成△ABC的侧面投影。1114.3.2平面的投影特性平面在单一投影面上的投影特性平面垂直于投影面：平面在该投影面上的投影积聚为直线；平面平行于投影面： 平面在该投影面上的投影反映实形；平面倾斜于投影面： 平面在该投影面上的投影为类似形。112平面在三投影面体系中的投影特性①投影面平行面的投影平行于某一个投影面的平面—投影面平行面：平面平行于V—正平面平面平行于H—水平面平面平行于W—侧平面正平面的投影特性：平行于V：在V上投影反映实形；垂直于H、W：在H、W上投影积聚，且平行于轴。

XZYHYWOa’b’c'abca”b”c”例：113②投影面垂直面的投影垂直于某一个投影面、与另两个投影面倾斜的平面—投影面垂直面：平面垂直于V—正垂面平面垂直于H—铅垂面平面垂直于W—侧垂面

XZYHYWOa’b’c'abca”b”c”铅垂面的投影特性：垂直于H：在H上投影投影积聚，且与轴倾斜；倾斜于V、W：在V、W上投影类似于空间的面。例：114③一般位置平面的投影与三个投影面均倾斜的平面——一般位置平面。

XZYHYWOa’ab’ba”b”c”c'c一般位置面的投影特性：与三个投影面均倾斜，所以三个投影都具类似性。例：完成△ABC的侧面投影。115d'1'd1ee'距H面20de=10

20XOa'c'b'abc4.3.3属于平面的直线和点属于平面的直线定理①：若直线通过属于平面的两个点，则直线必在面上。例：在已知面上作一水平线，距H面20，长度10。2010直线DI在面上！DE为所求116定理②：若直线通过属于平面的一个点，且平行于属于该平面的一条已知直线，则该直线必在面上。XOa'd'b'abd例：试完成平行四边形ABCD的投影。c'cDC∥AB，且过面上点D,DC在(AB╳AD)平面上BC∥AD，且过面上点B,BC在(AB╳AD)平面上四边形ABCD即为所求117XOa'c'b'abckk'1'1属于平面的点定理：若点在属于平面的直线上，则点必在该面上。例：求属于△的点K的水平投影。线上找点面上画线118

定理：若点在属于平面的直线上，则点必在该面上。XOa'c'b'abc1510ll'1'2'1234线上找点面上画线例：求属于△的距V面10,距H面15远的点L。1015119

定理：若点在属于平面的直线上，则点必在该面上。例：试完成四边形ABCD的投影。XOa'c'b'abcd'1'1d线上找点面上画线120例：完成五边形ABCDE的水平投影。分析：

利用面上画线，线上找点的方法。gfedcbag’f’e’d’c’b’a’XO121hgfedcbah’g’f’e’d’c’b’a’XO例：完成多边形ABCDEFGH的水平投影。分析：a’b’∥e’f’a’h’∥f‘g’∥e’d

’∥b’c’h’g’d’c’四点共线此方法不适宜本题！！要充分利用图形特点作图！即简捷，又准确。

·ah∥bc

•d、g在ch上

•de∥gf∥cb

•fe∥ab作图：

•顺序连接各点(描粗)平面的表示方法常用的是:两平行线、两相交直线、平面图形平面的投影特性何时投影积聚为直线、反映实形、类似形投影面平行面、垂直面、一般位置面的投影特性属于平面的直线和点要点小结122几何元素间的相对位置关系55.1几何元素间的平行问题5.2几何元素间的相交问题5.3几何元素间的垂直问题5.4相对位置综合问题内容1245.1几何元素间的平行问题定理：若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。

对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。5.1.1直线与直线平行125126例：完成平行四边形ABCD的投影。c'c解题步骤：∵

DC∥AB,BC∥AD∴

d‘c’∥a‘b’，b’c’∥a’b’；dc∥ab，bc∥ab。XOa'd'b'abd注意：点C应符合点的投影规律。若需完成其侧投影时，要保证作图的准确性。d"ZYH

YW

c"b"a"127例：判断AB与CD是否平行。d"ZYH

YW

c"a"b"方法二：若

AB∥CD，则有：a‘b’∥c‘d’，ab∥cd，图中：a‘b’∥c‘d’，ab∥dc，所以AB与CD是不平行。c'cXOa'd'b'abd方法一：利用侧投影判断求得结果：a”b”不平行于c”d”，所以AB与CD不平行。1285.1.2直线与平面平行定理：若直线平行于面上的任一直线，则该直线与该平面平行。推理：若直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的投影相互平行，则此直线与该平面平行。129e'e②过点K作一水平线平行于面（AB×CD)。①解题步骤：作KE∥AB,

即KE∥(AB×CD)。1'1XOa'b'c'd'k'kabcdf'f②解题步骤：先作面上任一水平线BI

再作KF∥IB,

则水平线KF∥(AB×CD)例：①过点K作一直线平行于面（AB×CD)。130例：判断图中的直线与△平面平行否。(a)(b)(c)(d)(e)答：△∥b、c、d、e1315.1.3平面与平面平行定理：若两个平面上的两条相交直线相互平行，则此二平面互相平行。推理：若两个投影面垂直面具有积聚性的投影相互平行，则此二平面互相平行。1321'1Oe'eXa'b'c'd'k'kabcdf'f又∵KE∥BA例:(KE×KF)∥(AB×CD)?作k‘

f’

∥1‘

b’∴(KE×KF)∥(AB×CD)→

kf∥1b→KF∥IB133例：判断下列线、面与面P平行否。PVPH(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)QVQHRVRHP∥b、c、e、f、g、i∥∥∥∥∥∥134直线与直线平行

空间两直线相互平行

同名投影相互平行直线与平面平行直线与平面上任一直线平行

直线与平面平行平面与平面平行两平面上的两相交直线对应平行

二平面互相平行要点小结5.2几何元素间的相交问题5.2.1直线与直线相交两直线相交相交条件:两直线各同名投影均相交，且交点符合点的投影规律，即两直线只有一个公有点。135136a'b'c'd'a'b'c'd'XOXOabcd不相交相交k'kabcdk'k1k2例：判断两直线是否相交。137lk'a'b'c'd'abcd相叉相叉条件:两条直线没有公有点，也不平行。其投影的交点为两直线的重影点。不相交，也不平行——交叉XOk1k2l1'l2'(k1')k2'(l1)l21385.2.2直线与平面、平面与平面相交a'c'b'abcXODE⊥V:d

'≡e

‘≡k

'判断可见性(利用重点)，交点是可见点。ded’≡e'k≡k'1'2'123≡3'()面上找点XOd'e'deacba'b'c'kk'1’2’12()△⊥H:水平投影的交点即交点

线上找点判断可见性相交的核心问题是求公有点有一个几何元素垂直于投影面的情况⑴．直线与平面相交例:例:139XO⑵．平面与平面相交k'≡l'kla'b'c'abcXOa'c'b'acb小结：例:例:

从有积聚性的投影出发利用面上找点或线上找点的方法在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性140一般情况⑴．直线与平面相交PEFMNKABCa'c'b'abcXOe'f'fePHmnm'n'k'k≡11'2‘≡

3'32()()例:分析：•

交点K为△与EF的公有点•

含EF作P⊥H•

△与P相交于直线MN•MN与EF共面于P,交于K•

K既在EF上，又在△上，交点K即为△与EF的交点。步骤：①含已知线EF作辅助面P（垂直面）②求P与已知面的交线MN③求MN与EF的交点K，即所求④利用重影点判断可见性K141⑵．平面与平面相交XOa'c'b'acbdefd'e'f'PV1'2'12kk'QH343'4'l'l5'5()66'()例：求△ABC与△DEF的交线。基本方法：线面求交。步骤：利用辅助面法求AB与△DEF的交点K利用辅助面法求EF与△ABC的交点L连接KL，即△ABC与△DEF的交线利用重影点判断可见性完成△ABC与△DEF各边的轮廓注意：①所做的辅助面为垂直面②辅助面所包含的直线是任选的③交线在两平面图形的公有区内④若所做的辅助面与交线平行，交点在无穷远处，应重选辅助面重点：利用辅助面法求交利用重影点判断可见性142XOPV1'2'12kk'343'4'l'l5'76'QVdefd'e'f'gg'7'例：求△ABC与DE∥FG的交线。a'c'b'acb

取Q∥P，即Qv∥Pv辅助面法：取水平面P则：ⅣⅤ∥ⅠⅡ，ⅥⅦ∥ⅢC，从而简化作图KL即为所求143相交问题的核心－求公有点辅助平面法求交点利用重影点判断可见性要点小结5.3几何元素间的垂直问题5.3.1直角的投影特性任意角的投影一般情况下：角的投影≠角的实际大小。角的两边均平行于投影面：角的投影＝角的实际大小。ACBACBacbacbθ1θ2θ1≠θ2θθθ

＝θCc144145直角的投影若直角的一个边为投影面的平行线，则该直角在该投影面上的投影为直角。HACa已知ABBC，BC∥H，

AB倾斜于Hc∵BCAB,BC∥H∴BCBbBCQ(AB╳Bb)Q...又bc∥BC∴bcQ∴bcabbB证明:bc垂直于Q面上所有直线在H投影面上的投影。146...()()(╳).例：判断两直线是否垂直。147例:已知CD及A，求做AB与CD垂直相交。c'd'cdb'.ba'a分析：CD∥V：a’b’与c’d’

垂直相交。解题步骤：过a’

做a’b’⊥c’d’，交c’d’

于b’

求线CD上点B的水平投影b

连ab，则AB为所求1485.3.2特殊情况（一几何元素处于特殊位置）一几何元素处于平行位置....作线⊥线作面⊥线作线⊥面作面⊥面多解，水平投影垂直于已知线投影的所有线多解，通过铅垂线的所有平面铅垂面铅垂线149一几何元素处于垂直位置作线线多解，水平线作面线作线面作线面作线面作面面结论:①投影面垂直线的垂线投影面垂直线的垂面投影面垂直面的垂线

均平行于该投影面多解，过垂直于面的正平线的所有面水平面垂直于面的水平线垂直于面的水平线垂直于面的正平线②直线垂直于平面直线的投影垂直于平面的迹线

1505.3.3一般情况直线与平面垂直定理：若直线垂直于平面上两条相交直线，则该直线与该平面垂直。推论：若直线垂直于平面,则：该直线的水平投影与该平面上水平线的水平投影垂直；该直线的正面投影与该平面上正平线的正面投影垂直；该直线的侧面投影与该平面上侧平线的侧面投影垂直。例如：一条水平线和一条正平线.l1‘l1

l2‘l2

.l3‘l3

l1‘l1

..l3‘l3

l1‘l1

l2‘l2

L1⊥L2L1⊥L3L1⊥(L1×L2)151a'c'b'abck'k.d.d'PVl'lL例:已知面及点，求点与面的距离

。作KD⊥△

求KD与△的交点L

求KL实长

判断可见性kl△ZKL1'122'3'344'152直线与直线垂直例:已知直线，过线上点作直线⊥直线。例:已知直线，过线外点作直线⊥直线。..a’aPVbb’1’122’3’4’34153平面与平面垂直a´a能作几个？如何作？例:已知△及点A，过点A作平面⊥△。154例:作距已知平面L远的点的轨迹。La’b’c’abc...LKBa1’1’12’2k’ka1Lb1c1b1’c1’此题2解分析：求距△

L的点过点作平行面步骤：作垂线求实长量取L作平行面kb155

垂直问题的基础－直角定理

直线与平面垂直的条件：直线垂直于平面上两条相交的直线求点与平面距离的问题，应包括：作垂线、求垂足、求距离的实长、判断可见性要点小结156

应熟练掌握点、线、面的基本知识及相互关系，才能应用自如。

利用点、线、面的基本知识及几何元素间的相互平行、相交、垂直等关系，解决工程实际中所遇到的距离、角度、实形、轨迹等问题：从空间入手，进行空间分析把复杂的问题分解为若干个简单问题逐个解决最后加以综合，得出结果5.4相对位置综合问题157例：求两平行线间的距离。a’b’c’d’

abcd1’2’PV3’4’34ee’△Zce21L步骤：过C作面ⅠCⅡAB

求AB与ⅠCⅡ的交点E

则CE为距离的投影

求CE的实长158a’b’c’abc...LKBa1’1’12’2k’ka1Lb1c1b1’c1’此题2解分析：求距△

L的点过点作平行面步骤：作垂线求实长量取L作平行面kb例:作距已知平面L远的点的轨迹。L159例：求已知直线与平面的夹角的实际大小。m‘n'

nm步骤：求MN与△ABC的交点K(求交)a'c'b'abc1‘122‘d'

de‘ePvk‘k••过M作MD△ABC求MD与△ABC的交点L(求交)求MKL(△MKL)的实形即

(分别求出MK、ML、KL的实长)NDMMKLEMN

步骤2：求NMD(△MND)的实形NMD的余角即为l‘l

先求得MK、KL、ML的实长

需求得MN、ND、MD的实长

求画水平线NE，再求MN、ME的实长160点、线、面的基本知识及相互关系，是解决复杂的问题的基础从空间入手，把复杂的问题分解为若干个简单问题，最后加以综合要点小结投影变换6内容6.1换面法6.2旋转法1626.1换面法O1OVHABa'abb'

投影变换的原理极其易懂。但要因题而异、灵活运用，其方法是变化多端的。

P1

a1b1

研究如何改变空间几何元素与投影面的相对位置，借助所得到的新投影进行简便地图解作图。使空间几何元素与投影面处于有利解题的位置，简化作图。

例如，求一般位置直线的实长，可用直角三角形法，也可用投影变换完成(换面法或旋转法)。P1∥ABP1Ha1b1=ABXX16.1.1投影变换的目的163164O1OVHABa'abb'

P1

a1b1XX16.1.2换面法的概念换面法—空间几何元素的位置保持不变，用一新的投影面替换原有的某一投影面，使得几何元素对新的投影面处于有利解题的位置。6.1.3选择新投影面的原则有利于解题

如：新投影面∥(or⊥)几何元素

(应熟练掌握特殊位置几何元素的特性)新投影面须垂直某一原投影面新投影面新投影轴新投影展平方法：新投影面P1绕O1X1轴向外旋转90°

再随H面绕OX轴向下旋转90°被替换投影1656.1.4点的换面一次换面.aa'

XaxO

HX1P1a1.aX1

新、旧投影的关系：

aa1

⊥O1X1轴

a1aX1=a'ax(新投影与新轴的距离等于被替代的投影与原轴的距离同时向两轴的外侧度量)二次换面

a1a2⊥O2X2轴

a2aX2=aaX1P1P2X2

.a2aX2VHP1HP2P1O1O2

166一般位置直线变换成投影面平行线a'O

空间：P1∥直线投影：O1X1轴∥直线的某投影新投影：反映直线的实长及某倾角a

X

bb'VHX1HP1a1b1L6.1.5四个基本问题

一般位置直线→平行线一般位置直线→垂直线一般位置平面→垂直面一般位置平面→平行面O1结论：一般位置直线变换成投影面平行线—变换一次即可167X2

P2P1a2≡b2空间：P1∥直线，且P1⊥H投影：O1X1轴∥直线的某投影新投影：反映直线的实长及某倾角实际大小一般位置直线变换成投影面垂直线对于投影面平行线：空间：P2⊥直线，且P2⊥P1投影：O2X2轴⊥直线的某投影新投影：积聚为一点O2a'O

a

X

bb'VHX1HP1a1b1LO1结论：一般位置直线变换成投影面垂直线—变换两次，即：一般位置直线→投影面平行线→投影面垂直线168一般位置平面变换成投影面垂直面XOa'c'b'abc1'1VHX1HP1a1,11b1c1空间：P1⊥面，且P1⊥H投影：O1X1轴⊥面上投影面平行线反映实长的投影新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线(垂直面)

且反映平面的某倾角实际大小O1结论：一般位置平面变换成投影面垂直面—变换一次即可面的投影变换，应以面上的某一条线为主。当该线⊥某投影面时，则此面在该投影面上的投影积聚为一直线。为简化作图，此线应为面上一投影面平行线。169一般位置平面变换成投影面平行面X

Oa'c'b'abc1'1VHX1HP1a1,11b1c1空间：P1⊥面(且P1⊥H)投影：X1轴⊥面上投影面平行线反映实长的投影新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线(垂直面)X2

P1P2b2a2c2△实形空间：P2∥面(即P2⊥P1)投影：O2X2轴∥积聚为线的投影新投影：反映图形的实际形状、及夹角实际大小(平行面)O1O2结论：一般位置平面旋转成投影面平行面—旋转两次170例：求已知直线与平面的夹角θ的实际大小。m’n’nm步骤1：求MN与△ABC的交点K(求交)过M作MD⊥△ABC求MD与△ABC的交点L(求交)求∠MKL(△MKL)的实形即θa'c'b’abc1’122’d’de’e步骤2：过M作MD⊥△ABC求∠NMD(△MND)的实形

θ与∠NMD互为余角步骤3：换面法?如何换?换几次?171例：求已知直线与平面的

夹角θ的实际大小。m’n’nma'c'b’abc1’1b1O1

OX1HP1

a1,11c1

m1

n1XVH步骤1：求MN与△ABC的交点K(求交)过M作MD⊥△ABC求MD与△ABC的交点L(求交)求∠MKL(△MKL)的实形即θ步骤2：过M作MD⊥△ABC求∠NMD(△MND)的实形

θ与∠NMD互为余角步骤3：换面法?换几次?

如何换?

新投影面应垂直于平面、且平行于直线！此时线面夹角反映实际大小。172.例：求两异面直线的距离。a'c'b'abcdd'OVHHX1P1a1b1c1d1P1P2

X2c2,d2a2b2l2k2k1l1l2k2

为距离实长。l1的位置？KL为何种位置线？分析：只需将其中的一条直线变换为投影面垂直线即可。继续，返回到原投影！XKL为P2的平行线！k1l1//O2X2轴。O1

O2

173例：试检查空间点A绕O-O轴(正平线)旋转时会不会与平面BCDE相碰撞（作图说明）。VHXOX1P1

VO1o1≡o1

g’gf’fl1

k1

a1f1

g1

此题2解分析：点A的旋转轨迹为垂直于o’o’的圆该圆的正面投影积聚为与o’o’垂直的直线该圆的水平投影为椭圆，无法直接画出步骤：作轨迹圆与已知平面的交线FG(过a’

作o’o’的垂线)

换面，将O-O轴积聚为一点(其余见图自明，不赘述)

若点A与平面相碰，其正面投影必在该面上且与o’o’垂直的直线上（即轨迹圆与已知平面的交线）换面法的概念选择新投影面的原则换面法的四个基本问题要点小结1741756.2.1旋转法的概念旋转法—投影面保持不动，而使空间几何元素绕某一轴线旋转，使得几何元素对投影面处于有利解题的位置。6.2.2旋转的五要素旋转轴旋转半径旋转平面旋转对象LSORA旋转中心旋转平面⊥旋转轴

旋转轴

旋转中心

旋转半径

旋转平面

旋转对象6.2旋转法176旋转轴垂直于某一投影面—绕垂直轴旋转(简称旋转法)旋转轴相对于投影面的位置：旋转轴平行于某一投影面—绕水平轴旋转1776.2.3绕垂直轴旋转点A绕垂直于H面的轴L旋转：Va'Aa1'

A1aa1θLl'O

o'aa1θla'a1'

l'o'θ点的旋转结论：

水平投影:点绕o转一θ角到点a1

正面投影：点a’沿水平线移至点a1’≡ol当一点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，其运动轨迹：在该投影面上的投影为一圆在另一投影面上的投影为一条垂直于旋转轴的直线

≡o178a1la1'

l'直线的旋转θθb1'

aa'b'bb1θ直线AB绕垂直于H面的轴L旋转一θ角：

结论：

水平投影:点a、b绕l转相同的角度θ到点a1、b1

正面投影：点a’、b’分别沿水平线移至点a1’、b1’当一直线绕垂直于某一投影面的轴旋转时：其在该投影上的投影长度不变其对该投影面的夹角保持不变△abl≌△a1b1l注意“三同“:·

同轴·同方向·同角度179a1la1'

l'平面图形的旋转θθb1'

b1θ△ABC绕垂直于H面的轴L旋转一θ角：

结论：

水平投影:点a、b、c绕l转相同的角度θ到点a1、b1、c1

正面投影：点a’、b’、c’分别沿水平线移至点a1’、b1’、c1’当一直线绕垂直于某一投影面的轴旋转时：其在该投影面上的投影形状、大小保持不变其对该投影面的夹角保持不变△abc≌△a1b1c1θ

c1'

aa'b'bc'

cc1180一般位置直线旋转成投影面平行线例：将一般位置直线AB旋转成正平线。6.2.4四个基本问题

一般位置直线→平行线一般位置直线→垂直线一般位置平面→垂直面一般位置平面→