源于课本的线性规划问题拓展 教学设计

第1页共3页源于课本的线性规划问题拓展广州市第六中学杨刚一教学内容与内容解析1.内容：本节课是高一的一节新授课。内容由两部分组成：（1）人教版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修五（以下简称“教科书”）104页中的习题5和91页第1题（2）；（2）教科书104页中的习题5的拓展。2.内容解析：我们将教科书中的原题与高考题放在一起进行比较，就可以看出一些“高考题源于课本而又高于课本”。要破解这些高考题，首先应当再次认真研究教科书中的问题。二教学目标与目标解析1.目标：（1）.了解线性规划的实际意义,能够熟练操作图形计算器准确画出可行域。（2）.体会线性规划中数形结合的基本思想，从目标函数的几何意义寻找突破口，并能借助几何直观解决一些简单的线性规划问题。（3）.在解题（尤其是高考题）时能联想到教科书中已经学习过的数学模型（代数的和几何的），将所要求解的新问题看作是曾经解决过的旧问题的拓展，克服面对新题、难题时的恐慌心理。2.目标解析：线性规划作为一种重要的工具，常常用来解决1.线性目标函数的最值问题；2.非线性目标函数的最值问题（距离和斜率问题）；3.已知目标函数的最值问题求参数问题；这三类问题也是高考考察的重点，因此本节课中的例题、习题及所附目标检测习题中多次考察到了这些知识点。另一方面，学生在解答线性规划问题时，由于不熟悉目标函数所具有的几何意义，觉得题题都是“新”问题，有恐慌心理。因而，帮助学生克服面对新题、难题时的恐慌心理也是本节课的教学试图达到的目标之一。三教学问题诊断分析部分学生在学习了很多知识，做了很多题后，仍然觉得知识是散乱的。部分学生在考试时经常会头脑中一片空白，无法联想到曾经做过的类似问题。这主要是由于学生缺乏系统的整理和思考。事实上，许多数学问题之间存在深刻的内在联系，如果能将这些问题组成一个“群”，组织学生研究这个“群”内的问题的共同特点，达到做几题，通一类的效果，则数学教学就可以跳出题海，事半而功倍了。本节课主要是在掌握线性规划的一般解法，熟悉其步骤的基础上，掌握解决线性规划问题的思想方法——数形结合思想，分析目标函数的几何意义，建立模型，进而使问题解决．四教学支持条件本节课首先需要研究动态的图形(主要是直线和圆)移动问题，纸笔无法完美地呈现这个动态的过程；其次还需要进行较复杂的代数演算（求交点问题），过于复杂的纸笔演算使学生深陷其中，不利于学生对数学模型及整节课的宏观理解。因而学生每人一台TIN-spireCAS图形计算器是完成本节课的教学目标的重要支持条件。五教学过程设计例1．（教科书第104页习题5改编）1.已知（1）求的最大值、最小值；（2）求的最大值、最小值；（3）求的最大值、最小值。图1图2解：（1）如图1作出由不等式组确定的可行域，作出目标函数：，观察TI-NspireCAS图形计算器中的图形可以发现：①当直线经过点时，有最小值2；②当直线经过点时，有最大值13；（2）如图2作出目标函数：，观察TI-NspireCAS图形计算器中的图形可以发现：①当圆与直线相切时，有最小值（即为原点到该直线距离的平方）②当圆经过点时，有最大值13；即；。（3）如图3作出目标函数：，观察TI-NspireCAS图形计算器中的图形可以发现：①当直线经过点时，有最小值0；②当直线经过点时，有最大值2.图3解题后反思：（1）目标函数的最优解一定在边界顶点的位置取得吗？（2）目标函数具有怎样的几何意义？（3）用图形计算器求解时一般步骤是怎样？答：（1）不一定，例如问题（2）中目标函数取得最小值是当圆与直线相切的时候，此时最优解不是在边界的顶点而是在边界上。（2）问题（1）中的目标函数为，变形可得，于是，把求的最值问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在轴上的截距的最值问题；问题（2）中的目标函数为，求目标函数的最值问题可以看成是可行域中的点到原点连线距离的平方的最值问题；（或者将目标函数变形成，求目标函数的最值问题可以看成以原点为圆心，为半径的圆与可行域有公共点时半径平方的最值问题（实质就是半径的最值问题））；问题（3）中目标函数为，求目标函数的最值问题可以看成是可行域中的点到点连线的斜率的最值问题（或者将目标函数变形成，求目标函数的最值问题可以看成直线与可行域有公共点时，斜率的最值问题）；（3）一般步骤：1.画：借助图形计算器，根据约束条件迅速画出可行域（可以是封闭的多边形，也可以是一侧无限大的平面区域）；2.移：运用数形结合的思想，移动目标函数，根据其几何意义找出最优解；3.求：求出图形的交点也即最优解，近而求出目标函数的最大值或者最小值；4.答：写出答案。练习一：（教科书第91页第1题（2）改编）1.若满足约束条件（1）求的最大值、最小值；（2）求的最大值、最小值；图4图5解：（1）如图4作出目标函数：，观察TI-NspireCAS图形计算器中的图形可以发现：当圆与直线相切时，有最小值（即为点到该直线距离的平方）；②当圆经过点和时，有最大值13；即；。（2）如图5作出目标函数：，观察TI-NspireCAS图形计算器中的图形可以发现：①在直线移动过程中发现没有最大值也没有最小值；但是当经过点时值为；当经过点时值为；即解题后反思：目标函数的最优解一定唯一吗？答：（1）不一定，例如练习1（1）中目标函数取得最大值是当圆经过点和时，此时最优解有两个并不唯一。拓展一：1.若满足约束条件且的最小值是2，求的值。图6解：如图6作出由不等式组确定的可行域，取作出直线：，观察TI-NspireCAS图形计算器中的图形可以发现：当且仅当直线经过点时，有最小值2，满足题意，此时的值为3；练习2.若满足约束条件且的最大值是13，求的值。图7解：如图7作出由不等式组确定的可行域，取作出直线：，观察TI-NspireCAS图形计算器中的图形可以发现：当且仅当直线经过点时，有最大值13，满足题意，此时的值为1；解题后反思：（1）练习2中的直线与拓展1中的直线的移动方式有什么区别，有这种区别的本质是什么？答：（1）直线的移动是一种旋转变动，而直线的移动是一种平移变动，原因是在直线中参数会影响到直线斜率的变动近而影响到直线倾斜角的变化，所以直线会旋转变动，而在直线中，只会影响直线的截距不会影响直线的斜率，所以直线会平移变动。六目标检测设计题组一（教师可根据学生的情况选择本题组中的1－2题，要求学生必做）：1、已知变量满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C． D．2、如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】A已知实数x,y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k等于【答案】D题组二（本题组中2题要求学生必做）：4、（2010北京理数）（7）设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是（A）(1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,)【答案】A5、（2010浙