《大学物理》课件 28简谐波

波动的一般概念

声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波，它对应一种物质波。波即可以是运动状态的传递而非物质自身运动，也可以是物质本身的运动结果，甚至把波直接看作一种粒子。第二部分波动各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子—光子的运动。但它们都有类似的数学描述(波动方程或波函数)。机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。下面以机械波为例,介绍波的一些物理概念。第28讲简谐波第30讲波的叠加原理波的干涉第31讲多普勒效应第29讲波的反射折射和衍射电磁波声波（略讲自学）第二部分波动第28讲简谐波本讲主要内容：一、机械波的形成和传播二、波动的描述三、平面简谐行波的波函数四、波动方程波的传播速度五、波的能量能流密度一、机械波的形成和传播机械波产生的条件1.弹性介质:弹性介质是指由弹性力组合的连续介质。具有弹性的介质2.波源:弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。机械波是实际上是介质中大量质元参与的集体振动.12345678910111213

t=045678910111213123t=T/478910111213654321t=T/26543211378101112t=T正是通过媒质各部分之间相互作用，才能把机械振动传播出去。机械波的传播1.

各质点仅在各自的平衡位置附近振动。不论波源自身是作自由振动还是受迫振动，空间的某点的振动都是在波源策动下进行的，都是受迫振动，因而振动频率应于波源频率相同。波的传播也就是相位的传播4.凡是相位差为2kπ的各质点，步调一致，为同相位。Tuλ机械波的特征2.各质点之间以弹性力相互作用着，回复力的作用使质点的振动状态（相位）由近及远地传播。3.各质点的振动状态的差别仅在于，后开始振动的质点比先开始振动的质点，在步调上落后一段时间。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向垂直，

这种波称为横波。如绳波,电磁波.横波和纵波如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。疏密波!如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。疏密波!如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。如声波。横波和纵波是波的两种基本类型。水面波兼有横,纵波特点水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。无论横波或纵波只是振动状态的传播，弹性介质中的各质点仅在各自的平衡位置附近振动,并不随波逐流.波长——振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离为一个波长或振动在一个周期中传播的距离。用表示。波长描述了波在空间上的周期性。波的周期用T表示。波的频率用

表示。频率—单位时间内质点振动的次数波动的频率，等于介质中质点的振动频率。波速—单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速.也称相速。

波速取决于波传播的空间。二、波动的描述波的特征量电磁波波速为，机械波波速取决于媒质的弹性模量和密度。注意：1.波的T或等于波源的T或。2.波速与质点的振动速度的区别。个——表示波在空间中的周期性——表示波在时间上的周期性通过波速联系起来.t+t时刻的波形波传播方向t时刻的波形能描述任一质点（位置为x)在任一时刻t的振动状态波函数具有时间周期性（T)波函数具有空间周期性（)波函数球面波波面波线波前平面波波前波的几何描述1.波阵面（或相面、波面）—某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。2.波射线（或波线)—波的传播方向称之为波射线或波线。3.波前—某时刻处在最前面的波阵面。在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直!简谐波（余弦波或正弦波）是一种最简单最重要的波。其它复杂的波是由简谐波合成的结果。三、平面简谐行波波函数设有一平面余弦行波，在无吸收均匀无限大介质中沿X轴传播，波速为u。下面要用数学表达式描述波线上每一质点在每一时刻的位移，这样的函数y=f(x,t)

称为行波的波动方程。以横波为例说明平面简谐波的波动方程(质点在y方向振动)。平面简谐波函数

已知：则

P点t时刻的位移相当于O点t-t'时刻的位移。各质点的振动状态的差别仅在于，后开始振动的质点比先开始振动的质点，在步调上落后一段时间。——平面简谐波的波函数利用关系式及（k称为波数）并略去角标P平面简谐波的波动表达式可写成多种形式

掌握建立波函数的方法！平面简谐波的波动表达式给出波线上任一点处（距原点x处）在任一时刻t的位移。求原点振动位移——得到x处的振动状态即为波函数（1）当x

一定时，给出

x

处的振动曲线。(2)当t一定时,给出给定时刻的y--x曲线即波形图。

t时刻

x2

处质点相位落后x1波具有时间周期性（T)波具有空间周期性（)T注意：x前负号的意义波函数的物理意义——各质点相位逐一落后！t+t时刻的波形(3)当t和x都变化时，波函数描述了波形的传播。波传播方向t时刻的波形平面简谐波的波动表达式给出波线上任一点处（距原点x处）在任一时刻t的位移。如果波沿ox轴

负向传播，则波动表式为

u波传播方向x前正号的意义(4)质点振动的速度则x处质点振动的速度为v是波动传到x处，质点的运动速度，是x,t的函数；u是波的传播速度，取决于媒质的力学性质，与x,t无关。——沿x

轴正方向各质点相位逐一超前！例一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播波沿ox轴负向传播，已知传播路径上某点A的振动表式为y=3cos

4

t.求（1）如以A点为坐标原点，写出波动表式；（2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动表式;（3）以A点为坐标原点，写出传播方向上点B，点C,点D的振动表式。8m5m9mCDABux思考：1）以A为坐标原点,和B为坐标原点，波函数是否一样？2）以A为坐标原点,和B为坐标原点，C,D的振动表达式是否一样？解：因为波沿x轴负向传播，x

正轴各点的相位均超前A点。（1）点A的振动表式为以A点为坐标原点，则距原点x

处的质点的相位为（t+x/u),

波函数为（2）求B点为坐标原点的波函数（方法1）B点的相位落后于A点的

相位8m5m9mCDABux方法2以A点为坐标原点的波动函数为以

B点为坐标原点时，作一坐标变换x→(x-5).点B的振动表式为则

B点为坐标原点的波函数为8m5m9mCDABux则以

B点为坐标原点的函数为（3）以A点为坐标原点，则B，C,D点的振动表式为8m5m9mCDABux无论以那点为坐标原点，B,C,D的振动表达式都是一样.Ao

t=0t时刻例:一沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0时刻的波形图如右图,振幅为A,角频率为。求：（1）O点的振动表式；（2）P点的振动表式；

(3)写出波动表式。解：（1）求O点的初相。图中的波形是t=0时刻各点的位移。O点的振动方程Ap(2)求

P点的初相。(3)写出波动方程。(2)求

P点的初相。或：P点相位比O点落后3/2,则P点的初相为（/2-

3/2）=-。

P点的振动方程Apt=0t我们画出原点的振动曲线，与t=0时刻的波形曲线比较：O点的振动方程同样我们可以由某点的振动曲线，所给出的信息写出波动方程。O点的振动曲线注意：某一时刻的波形线和振动曲线的区别！例

：一平面简谐波沿x轴正向传播,振幅A=10cm，圆频率当t=1.0s时，x=10cm处a质点的振动状态为，此时x=20cm处b质点的振动状态为设该波波长.求波动方程。解：波动方程一般表式为yab0t=1.0s当t=1.0s时联立得波动方程为yab0t=1.0s例：已知如图所示的两个时刻的波形曲线：写出该波的波函数。解：先求O点的振动方程Ao

t=0t=2s120m

t=0t=2s120m求出角频率求出波速该波的波函数：+

四、波动方程波的传播速度具有普适性，即对任一一维平面波都成立。亦可推出上式注意波动方程由以弦上横波为例建立波动方程xx+dxT(x)T+dTxy波速仅与传播的介质有关的量。dT波的传播速度弹性介质内传播的弹性波传播速度决定于媒质的力学性质，具体说决定于媒质的密度和弹性模量。理论上证明：E为介质的弹性模量；ρ为媒质的体密度弹性形变的内容很多，所以弹性模量也有不同的名称。结论：任何物理量只要满足上述方程，则它一定按波的形式传播。而且对时间偏导数的

系数的倒数就是波速的平方。长变切变杨氏模量切变模量A.对于固体：当固体发生拉伸和压缩形变时，则传播纵波：可传播的纵波波速当固体发生切变时，则传播横波：可传播的横波波速在弹性软绳和弦线中传播的横波其传播速度为T为介质中的张力一般来说同种材料杨氏模量比切变模量大。因此纵波波速大于横波波速此时液体和气体的体积发生变化——容变体变弹性模量B.对于液体和气体：因为不能发生切变，所以不能传播横波，只能传播纵波。一般来说同种材料杨氏模量比切变模量大。因此纵波波速大于横波波速在一根很长的细杆中传播着纵波,某一时刻的波形曲线如图,试分析图中A、B、C、D、.…各点哪些对疏部，哪些对应波的密部。yxBAECDFGHIxAECGIBDFH密部疏部密部疏部疏部y=o的各点相对形变最大，对应疏部和密部；y最大的各点相对形变为零，是疏部和密部的分界线；五、波的能量能流密度以平面余弦弹性纵波在棒中传播为例。设棒中平面简谐波的波动表式为体积元振动速度为机械波的能量是媒质中各质元振动能量(动能加势能）的总和。体积元动能波的能量应变=y/x体积元的相对形变弹性势能杨氏模量弹性势能正比于相对形变体积元总机械能讨论：

体积元的，，都随t作周期性变化，同时达到最大值，又同时达到最小值。体积元的机械能不守恒。在行波的传播过程中，体积元的动能和势能的时间关系相同，同相且大小相同。B点同时波峰处点最大，