2022学年人教b版数学必修第二册讲义：4．2.2　对数运算法则word版含答案

4．对数运算法则考点学习目标核心素养对数运算法则掌握对数运算性质，理解其推导过程和成立条件数学运算换底公式掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值数学运算问题导学预习教材P20－P23的内容，思考以下问题：1．对数运算法则是什么？2．换底公式是如何表述的？1．对数运算法则loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMα＝αlogaM，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN．(其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R)2．换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)．(其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)■名师点拨对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)logaxy＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．()答案：(1)√(2)×(3)×计算log916·log881的值为()A．18\f(1,18)\f(8,3)\f(3,8)解析：选C.原式＝log3224·log2334＝eq\f(4,2)log32·eq\f(4,3)log23＝eq\f(8,3).若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75等于()A．a＋bB．a－b\f(b,a)\f(a,b)解析：选＝eq\f(lg5,lg7)＝eq\f(a,b).lg20＋lg50的值为________．解析：lg20＋lg50＝lg1000＝3.答案：3具体数的化简求值计算：(1)log345－log35；(2)log2(23×45)；(3)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg；(4)log29·log38.【解】(1)log345－log35＝log3eq\f(45,5)＝log39＝log332＝2log33＝2.(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.(3)原式＝eq\f(lg（\r(27)×8）－lg10\s\up6(\f(3,2)),lg\f(12,10))＝eq\f(lg（3\s\up6(\f(3,2))×23÷10\s\up6(\f(3,2))）,lg\f(12,10))＝eq\f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3×4,10)))\s\up6(\f(3,2)),lg\f(12,10))＝eq\f(\f(3,2)lg\f(12,10),lg\f(12,10))＝eq\f(3,2).(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)＝2log23·3log32＝6·log23·eq\f(1,log23)＝6.eq\a\vs4\al()具体数的化简求值主要遵循两个原则：(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．计算：(1)2log63＋log64；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg25－lg\f(1,4)))÷100－eq\s\up6(\f(1,2))；(3)log43·log98；(4)eq\r(e)－\s\up6(\f(1,3)).解：(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(25,\f(1,4))))÷102×(－eq\s\up6(\f(1,2)))＝lg102÷10－1＝2×10＝20.(3)原式＝eq\f(lg3,lg4)·eq\f(lg8,lg9)＝eq\f(lg3,2lg2)·eq\f(3lg2,2lg3)＝eq\f(3,4).(4)原式＝2＋eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,1000)))eq\s\up6(\f(1,3))＝2＋eq\f(1,2)－eq\f(4,10)＝eq\f(21,10).代数式的化简命题角度一：代数式恒等变换化简logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z)).【解】因为eq\f(x2\r(y),\r(3,z))>0且x2>0，eq\r(y)>0，所以y>0，z>0.logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z))＝loga(x2eq\r(y))－logaeq\r(3,z)＝logax2＋logaeq\r(y)－logaeq\r(3,z)＝2loga|x|＋eq\f(1,2)logay－eq\f(1,3)logaz.eq\a\vs4\al()使用公式要注意成立条件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.已知y>0，化简logaeq\f(\r(x),yz).解：因为eq\f(\r(x),yz)>0，y>0，所以x>0，z>0.所以logaeq\f(\r(x),yz)＝logaeq\r(x)－loga(yz)＝eq\f(1,2)logax－logay－logaz.命题角度二：用代数式表示对数已知log189＝a，18b＝5，求log3645.【解】法一：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（9×5）,log18（18×2）)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).法二：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（9×5）,log18（18×2）)＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).法三：因为log189＝a，18b＝5，所以lg9＝alg18，lg5＝blg18，所以log3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg（9×5）,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).eq\a\vs4\al()用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.解：因为log23＝a，则eq\f(1,a)＝log32，又因为log37＝b，所以log4256＝eq\f(log356,log342)＝eq\f(log37＋3log32,log37＋log32＋1)＝eq\f(ab＋3,ab＋a＋1).1．log5eq\f(1,3)＋log53等于()A．0 B．1C．－1 D．log5eq\f(10,3)答案：A2．(2022·广西南京市期中)在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是()A．{a|a>5或a<2}B．{a|2<a<5}C．{a|2<a<3或3<a<5}D．{a|3<a<4}解析：选C.由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>0，,a－2≠1，,5－a>0，))解得2<a<3或3<a<5.3．log29×log34等于()\f(1,4)\f(1,2)C．2D．4答案：D4．log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋7log72＋(－0＝________．解析：原式＝eq\f(1,2)log333＋lg(25×4)＋2＋1＝eq\f(3,2)＋2＋3＝eq\f(13,2).答案：eq\f(13,2)[A基础达标]1．计算：eq\f(log29,log23)＝()\f(1,2) B．2\f(3,2) \f(9,2)解析：选B.原式＝eq\f(log29,log23)＝eq\f(log232,log23)＝2.2．计算：2log510＋＝()A．0 B．1C．2 D．4解析：选C.原式＝log5102＋＝log5(102×＝log525＝2.3．若a＞0，且a≠1，则下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．若M＝N，则logaM2＝logaN2解析：选B.在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2 B．3a－(1＋a)2C．5a－2 D．－a2＋3a－1解析：选A.因为a＝log32，所以log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.5．计算log225·log32eq\r(2)·log59的结果为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选D.原式＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝6.6．已知a2＝eq\f(16,81)(a＞0)，则logeq\s\do9(\f(2,3))a＝________．解析：由a2＝eq\f(16,81)(a＞0)得a＝eq\f(4,9)，所以logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(4,9)＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝2.答案：27．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．解析：lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1.答案：18．若logab·log3a＝4，则b的值为________．解析：logab·log3a＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f(lgb,lg3)＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案：819．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))；(4)lgeq\f(\r(x),y2z).解：(1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz.(3)lgeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz.(4)lgeq\f(\r(x),y2z)＝lgeq\r(x)－lg(y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz.10．求下列各式的值：(1)2log525＋3log264；(2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解：(1)因为2log525＝2log552＝4log55＝4，3log264＝3log226＝18log22＝18，所以2log525＋3log264＝4＋18＝22.(2)原式＝eq\f(1,2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))2＝eq\f(1,2)lg(3＋eq\r(5)＋3－eq\r(5)＋2eq\r(9－5))＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.[B能力提升]11．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，则x等于()A．9 \f(1,9)C．25 \f(1,25)解析：选D.由换底公式，得eq\f(－lg3,lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝eq\f(1,25).12．若ab＞0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10).其中一定成立的等式的序号是()A．①②③④ B．①②C．③④ D．③解析：选D.因为ab＞0，所以a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，所以①②中的等式不一定成立；因为ab＞0，所以eq\f(a,b)＞0，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)×2lgeq\f(a,b)＝lgeq\f(a,b)，所以③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，所以④中等式不成立．故选D.\f(lg3＋2lg2－1,lg＝________．解析：eq\f(lg3＋2lg2－1,lg＝eq\f(lg3＋lg22－1,lg＝eq\f(lg12－1,lg＝eq\f(lg\f(12,10),lg＝eq\f(lg,lg＝1.答案：114．计算下列各式的值：(1)log535＋2logeq\s\do9(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2logeq\s\do9(\f(1,2))2eq\s\up6(\f(1,2))＝log5eq\f(35×50,14)＋logeq\s\do9(\f(1,