高中数学第2章随机变量其分布22223独立重复试验与二项分布3数学教案

独立重复试验与二项散布学习目标核心修养1．理解n次独立重复试验的模型．1．经过学习独立重复试验与二项散布，体2．理解二项散布．(难点)会逻辑推理的修养．3．能利用独立重复试验的模型及二项散布解2．借助独立重复试验的模型及二项散布解决一些简单的实质问题．(要点)题，提高数学运算的修养.1．n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．思虑1：独立重复试验一定具备哪些条件？[提示]独立重复试验知足的条件：第一：每次试验是在相同条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．二项散布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件Akkn－k，k＝0,1,2，，n.此时称随机变量X听从二项发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p)散布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．思虑2：二项散布与两点散布有什么关系？[提示](1)两点散布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项散布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的散布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有(n＋1)种：事件A恰巧发生0次，1次，2次，，n次．(2)二项散布是两点散布的一般形式，两点散布是一种特别的二项散布，即n＝1的二项散布．1．随意投掷3枚平均硬币，恰有2枚正面向上的概率为()3B.3C.1D.1A.4834B[抛一枚硬币，正面向上的概率为1，则抛3枚硬币，恰有2枚正面向上的概率为P2C2312×1＝3.]22812．已知随机变量X听从二项散布，X～B6，3，则P(X＝2)等于________．80[P(X＝2)＝C6212148024331－3＝243.]3．某运动员在竞赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________．0.243[设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3,0.9)，所以他在3次罚球中罚失122次的概率为P(X＝2)＝C30.9×(1－0.9)＝0.243.]独立重复试验概率的求法【例1】某气象站天气预告的正确率为80%，计算(结果保存到小数点后边第2位)：(1)5次预告中恰有2次正确的概率；(2)5次预告中起码有2次正确的概率．[解](1)记“预告一次正确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预告相当于5次独立重复试验，恰有22×0.23＝0.0512≈0.05.2次正确的概率为C0.8所以5次预告中恰有2次正确的概率约为0.05.(2)“5次预告中起码有2次正确”的对峙事件为“5次预告所有不正确或只有1次准确”，其概率为C05(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.故所求概率约为1－0.01＝0.99.本例条件不变，求5次预告中恰有2次正确，且此中第3次预告正确的概率．[解]由题意可知，第1,2,4,5次中恰有1次正确．所以所求概率为C1×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02.4故5次预告中恰有2次正确，且第3次预告正确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依照n次独立重复试验的特色，判断所给试验能否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件能否需要分拆．3．计算：就每个事件依照n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[跟进训练]1．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则甲恰巧击中目标2次的概率是________；(2)两名运动员都恰巧击中目标2次的概率是________．(结果保存两位有效数字)(1)0.44(2)0.19[由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均听从二项散布．(1)甲向目标靶射击3次，恰巧击中2次的概率是22×(1－0.7)≈0.44.C3×0.7(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰巧都击中222×[C2次的概率是[C3×0.7×(1－0.7)]30.62×(1－0.6)]≈0.19.]二项散布【例2】某企业招聘职工，先由两位专家面试，若两位专家都赞同经过，则视作经过初审予以录取；若这两位专家都未赞同经过，则视作未经过初审不予录取；当这两位专家建议不一致时，再由第三位专家进行复审，若能经过复审则予以录取，不然不予录取．设应聘人员获取每位初审专家经过的概率均为1，复审能经过的概率为3，各专家评审的结果互相210独立．(1)求某应聘人员被录取的概率；(2)若4人应聘，设X为被录取的人数，试求随机变量X的散布列．[思路点拨]解答此题可依据二项散布的概率计算方法解答，同时注意互斥事件概率公式的应用．[解]设“两位专家都赞同经过”为事件A，“只有一位专家赞同经过”为事件B，“通过复审”为事件C.设“某应聘人员被录取”为事件D，则D＝A∪BC，因为P(A)＝1112×2＝4，1×11P(B)＝2×21－2＝2，3，P(C)＝102所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝5.2(2)依据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B4，5，Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录取”(i＝0,1,2,3,4)，0203481因为P(A0)＝C4×5×5＝625，1233216P(A1)＝C4×5×5＝625，222×32216P(A2)＝C4×55＝625，323×396P(A3)＝C4×55＝625，424×3016P(A4)＝C4×55＝625.所以X的散布列为X01234P8121621696166256256256256251．本例属于二项散布，当X听从二项散布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2．解决二项散布问题的两个关注点(1)关于公式kk(1－p)n－k(k＝0,1,2，，n)一定在知足“独立重复试验”时n才能运用，不然不可以应用该公式．判断一个随机变量能否听从二项散布，要点有两点：一是对峙性，即一次试验中，事件发生与否二者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．[跟进训练]2．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的散布列．[解]有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.11又每次取到黑球的概率均为5，3次取球能够当作3次独立重复试验，则X～B3，5.0104364所以P(X＝0)＝C355＝125，111424855＝125，P(X＝1)＝C32124112P(X＝2)＝C355＝125，313401P(X＝3)＝C355＝125.所以X的散布列为：X0123P

6448121独立重复试验与二项分布综合应用[研究问题]1．王明做5道单项选择题，此中2道会做，其他3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项散布吗？怎样判断一随机变量能否听从二项散布？[提示]不听从二项散布．因为会做的两道题做对的概率与随机选用一个答案做对的概率不一样，不切合二项散布的特色，判断一个随机变量能否听从二项散布要点是看它是不是n次独立重复试验，随机变量能否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，知足这两点的随机变量才听从二项散布，不然就不听从二项散布．2．在实质应用中，从大量产品中抽取少许样品的不放回查验，能够看作独立重复试验吗？[提示]独立重复试验的实质原型是有放回地抽样查验问题，但在实质应用中，从大量产品中抽取少许样品的不放回查验，能够近似地看作此种类．【例3】高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在必定条件1下抽芽成功的概率为，该研究性学习小组又分红两个小组进行考证性试验．(1)第一小组做了5次这栽种物种子的抽芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中起码有3次抽芽成功的概率；第二小组做了若干次抽芽试验(每次均种下一粒种子)，假如在一次试验中种子抽芽成功就停止试验，不然将持续进行下次试验，直到种子抽芽成功为止，但试验的次数最多不超出5次．求第二小组所做种子抽芽试验的次数ξ的概率散布列．[思路点拨](1)借助互斥事件及二项散布的知识求解．(2)注意题设信息：直到种子抽芽为止，且试验的次数不超出5次．[解](1)起码有3次抽芽成功，即有3次、4次、5次抽芽成功．设5次试验中种子抽芽成功的次数为随机变量X，则P(X＝3)＝C31322403×3＝243，5×414210P(X＝4)＝C5×3×3＝243，515201P(X＝5)＝C5×3×3＝243.所以起码有3次抽芽成功的概率为P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)401015117243＋243＋243＝243＝81.随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.1212P(ξ＝1)＝3，P(ξ＝2)＝3×3＝9，2214P(ξ＝3)＝3×3＝27，2318P(ξ＝4)＝3×3＝81，241＝16P(ξ＝5)＝3×81.所以ξ的散布列为ξ12345124816P927818131．二项散布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰巧发生k次的概率．解题的一般思路是：依据题意设出随机变量→剖析出随机变量听从二项散布→找到参数n，p→写出二项散布的散布列→将k值代入求解概率．2．利用二项散布求解“起码”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转变为几个互斥事件发生的概率的和，或许利用对峙事件求概率．[跟进训练]233．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是3和4.假定两人射击能否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击能否击中目标互相之间也没有影响．求甲射击4次，起码有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰巧击中目标2次且乙恰巧击中目标3次的概率．[解](1)记“甲连续射击4次，起码有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击

4次，相当于做

4次独立重复试验．2465故P(A1)＝1－P(A1)＝1－3＝81，65所以甲连续射击4次，起码有1次未击中目标的概率为81.记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则2224－22×8P(A2)＝C4×31－3＝27；3334－33×27P(B2)＝C4×41－4＝64.因为甲、乙射击互相独立，故8271P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝27×64＝8.4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为1所以两人各射击8.1．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义2．要注意划分二项散布、两点散布、超几何散布当n＝1时，二项散布就是两点散布；二项散布是有放回抽样，每次抽取时的整体没有改变，所以每次抽到某事物的概率都是相同的，能够当作是独立重复试验；超几何散布是不放回抽样，拿出一个则整体中就少一个，所以每次取到某物的概率是不一样的．即二项散布与超几何散布的最主要的差别在于是有放回抽样仍是不放回抽样．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)独立重复试验每次试验之间是互相独立的．()(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．()(3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．()[答案](1)√(2)√(3)×2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于()80.882828A．C10××0.2B．C10×0.8×0.2C．0.88×0.22D．0.82×0.28A[X听从二项散布，所以882P(X＝8)＝C10×0.8×0.2.]3．某电子管正品率为3，次品率为1，现对该批电子管进行测试，设第ξ次初次测到正44品，则P(ξ＝3)＝()21232321A．C34×4B．C34×4123321C．4×4D．4×4C[ξ＝3表示第3次初