阜阳师院中小学数学教育概论讲义05数学概念、命题与问题解决教学-3数学推理及其证明

§5-3数学推理及其证明[知识结构]一、基本逻辑规律（形式思维的基本规律）1、同一律2、矛盾律3、排中律4、充足理由律二、数学推理推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式。三、数学证明1、直接证法：①综合法；②分析法；③分析综合法。2、间接证法：①同一法；②反证法（归缪法）。3、数学归纳法与普通归纳法（曹本P.224）§5-3数学推理及其证明一、思维的基本规律（BasicLawofThinking）同一律、矛盾律、排中律、充足理由律二、数学中的推理（Mathematicalinference）[引例]例1线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等。所以，到线段两端点距离不等的点，不在这条线段的垂直平分线上。例2矩形中的对象线相等；无限不循环小数是无理数；正方形是矩形；π是无限不循环小数；∴正方形的对角线相等。∴π是无理数。1、什么是推理：推理是从一个或几个已有的判断作出另一个新的判断的思维形式。推理是一种重要的思维形式是探求新结果，由已知进到未知的思维方法。2、推理的结构前提：在推理过程中，所根据的已有判断叫做推理的前提。结论：在推理过程中，所作出的新判断叫做推理的结论。根据前提的数目：只有1个为直接推理。如例1，较简单；有2个以上为间接推理。如例2，较复杂。NOTE：[必然性推理与或然性推理]在逻辑里，根据推理的前提和结论之间是否具有蕴含关系，可以把推理分为必然性推理和或然性推理。前提蕴含结论的推理是必然性推理。前提不蕴含结论的推理是或然性推理。一般地，演绎推理是必然性推理的主要形式。不完全归纳推理和类比推理是或然推理的主要形式，这两类推理往往在一些推理中是相互渗透、相互补充、相辅助相成的。（参见《笔见二、三》p.24）拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。”G·波利亚：“类比是个伟大的引路人。”3、正确推理的要求前提真实，运用符合形式逻辑基本规律的推理形式（即遵守推理规则），以期得到真实的结论。在数学中，只有做到推理合乎逻辑，才能正确地进行思维，深刻地理解系统的知识。4、推理的种类以下合绍几种常用的间接推理：归纳推理，演绎推理，类比推理，三段论，合情推理。（一）归纳推理（Inductiveinference）从个别的或特殊的事物的作出的判断扩大为同类一般事物的判断的一种推理。也即，由特殊场合的知识推出一般原理的思维方法。例由23·25=23+5及33·35=33+5→a3·a5=a3+5(a>0)由a3·a5=a3+5及a4·a5=a4+5→am·an=am+n(a>0)（这种推理在中学数学中，随处可见）根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。（1）完全归纳：它是研究某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完全相同，则这种归纳推理，叫完全归纳法。推理格式：s1具有（或不具有）p；s2具有（或不具有）p；…….sn具有（或不具有）p；例证明三角形三条高线共点的定理。分别证出锐角△，Rt△，钝角△三条高共点任意△三高共点。其真理性如何判断：由于完全归纳法在前提的判断中，已对结论的判断范围全部作出判断；如果推理的前提所作判断都真的话，得出结论完全可靠——完全归纳法可作为数学的严格推理方法。要点：用完全归纳法进行推理时，要注意前提的判断范围不要重复，也不要遗漏。立即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。（2）不完全归纳性如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则称为不完全归纳法。例从具体数的运算概括出运算律，指数运算性质等推理。其真实性如何判断：可真可假。推理格式：s1具有（或不具）p；s2具有（或不具）p；……sn具有（或不具）p；(s1,s2…sn是A类事物的部份对象，在考察过程中没有遇到矛盾的情况)∴A类事物具有（或不具有）p。（二）类比推理（Analogicalinference）类比推理是由特殊到特殊的推理。也即，由特殊场合的知识推出特殊场合知识的思维方法。具体讲，它是根据两个事物（或两类事物）的某些相同或相似的性质，推测它们在别的性质上也可能相同或相似的推理形式。例如算术和代数之间，有些性质是相类似的。由此，可从算术中分数的基本性质和四则运算法则（类比推出）代数中分式的基本性质和四则运算法则类推的形式：A类事物具有性质a、b、c、d；B类事物具有性质a、b、c；∴B类事物可能具有性质d其真实性如何？并非一定为真。例①“若a=b，则ac=bc”（真）。类比“若a>b，则ac>bc”（假）。②a(b+c)与loga(x+y)或与sin(x+y)③(ab)n与(a+b)n教学上，要防止学生乱用类比造成错误：（三）演绎推理(DeductiveReasoning)（与归纳推理过程相反）演绎推理是由一般到特殊的推理，亦即以某类事物的一般判断为前提作出这类事物的个别特殊事物的判断的思维形式。演绎推理的前提判断范围包含结论中的判断范围。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系，只要前提是真的，推理合乎逻辑（规律）的，就一定能得到正确的结论。因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。演绎推理的形式较多，数学中用得较多的是真言三段论和假言三段论。（1）三段论公理一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么。换句说话，如果对一类事物的全部有所断定，那么，对它的部分也有所断定（如图所示）。P（平行四边形）P（平行四边形）MMM（菱型）M（菱型）PSSPSS四边形ABCDM类包含在P类中，则M类的M类和P类相排斥，则M类的一部分（S）也包含在P类中。一部分（S）也和P类相排斥。NOTE：结论中的主项——小项（S）结论中的谓项——大项（P）两个前提中所共有，而在结论中消失的项——中项（M）大/小前提。例菱形（M）（中项）是平行四边形（P）（大项）。四边形ABCD（S）（小项）是菱形（M）∴四边形ACBD（S）是平行四边形（P）（2）直言三段论直言三段论就是从两个直言判断（其中一个必为全称判断）得出第三个判断的推理方法。例凡平行四边形（M）的对角线都互相平分（P）；（这里有且只有三个判断：大前提/小前提/结论）推理格式：凡M皆是PNOTE：直言三段论有四种不同形式，称为四个格。（主项、谓项、前提、周延性等）（3）假言直言三段论假言直言三段论就是从一个假言判断和一个直言判断得出第三个判断的推理。假言直言三段论有肯定式和否定式两种：肯定式，是从肯定假言前提的前件，从而肯定它的后件的推理。例若两角是对顶角，则此两角相等；肯定式的推理格式：否定式，是从否定假言前提的后件，从而否定它的前件的推理。例若两角是对顶角，则此两角相等；否定式的推理格式：（这里，分别表示判断B、A的否定）如果大前提，用其等价命题代替，（ii）就成为（iii）实质上，它即是肯定式（i）假言直言三段式必须遵守以下规则：10如果承认前件，就承认后件。20如果否认后件，就否认前件。NOTE：（注1）在一个科学系统中，归纳演绎是互相结合使用的，总有一些作为演绎推理的大前提是用归纳推理作出的结论。这时，演绎推理的结论的真实性，还要经过实践检验。（注2）数学中的演绎推理，不仅是简单的三段论，命题演算规则，也可以作为演绎推理的规划。（4）复合三段论复合三段论是几个三段论联结在一起构成的，其中前一个三段论的结论作为后一个三段论的前提。如：平行四边形（M1）是多边形（P）M1—P（5）关系推理关系推理是根据对象关系的逻辑性质（对称性、传递性等）进行推演的推理，它的前提和结论都是关系判断。例如，利用对称性进行推理，有例A=B∴B=A；AB//CD∴CD//AB；方程f1(x)=0与f2(x)=0同解，∴f1(x)=0与f2(x)=0同解。例如，利用传递性进行推理，有aRb例：a>b[NOTE]关系命题中没有联项的地位，不能把这种关系推理着作三段论。（四）合情推理（拟情推理）（1）合情推理，是一种可能性推理，是根据人们的经验、知识、直观与感觉得到一种可能性结论的推理。它不仅在发现数学结论中有着重要意义，而且在寻找定理证明方法和公式证明方法中也是非常重要的。例1若函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-f(x-1)，则f(x)为周期函数。（《笔记二、三》P.27）（2）合情推理的方式通常用的比较多的有归纳推理与类比推理。但这两种推理作为合情合理，都有风险。因此，需要形式论证。而且一旦论证出错误，要及时改进合情推理的结论。（3）合情推理的作用合情推理可以从某些知识条件预测某些结果，使学生克服对数学定理与公式神秘感，可以给出某些问题证明思路，使学生克服对数学证明的畏惧感；可以发现某些结论，增强兴趣。通过合情推理，也可以预见某些命题的正确或错误，以增强证明它的信心或否定它的决心。只要在数学教学过程中稍能反映出数学的发现过程的话，就必须在教学中加强合理推理和研究性意识的训练和培养。（合理推理：猜想、直觉、发现）例2将例1改为f(x)=f(x-)+f(x+)仍可证明其为周期函数。三、数学中的证明(MathematicalProof)1、数学证明与证明结构证明，就是用某个（或一些）真实判断确定另一判断真实性的思维过程。它由论题、论据和论证方式三个要素构成。（1）证明：是一种重要的思维过程。证明由推理构成而判断的真实性一般性都需要经过证明才能确认。（2）数学证明：是根据已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来论证某一数学命题的真实性的推理过程。数学证明过程往往表现为一系列的推理。（3）证明的结构：任何证明都由论题、论据、论证三部分组成。论题：是需要证明其真实性的那个命题。论据：是指被用来作为证明的理由。论证：是证明的过程。就是根据论据进行一系列推理来证明论题真实性的过程。数学证明中常分为已知，求证、证明三个组成部分。（4）证明的规则①论题要明确。（论题是证明的基本目标，必须清楚、明确）②论题应当始终如一。（符合同一律，忌偷换论题）③论据要真实。（虚假论据——根基错误）④论据不能推出论题。（符合充足理由律否则不能推出）⑤论据必然能推出论题。（过程严谨、思考镇密、无懈可击、无可置疑）2、证明方法直接证法（directdemonstration）由命题的题设出发，以有关的定义、公理、定理为前提，通过若干次推理得到题断，这种推证方法，叫直接证法。即：。在数学中命题大多采用直接证法，包括：分析法、综合法、分析综合法，逆证法等。（2）间接证法（indirectdemonstration）不是直接证明题的真实性，而是通过证明反论题不真；或证明与论题等效的命题。这种不是从正面证明论题真实性的方法，叫间接证法。对有些命题采用直接证法时，过于繁难，甚至可利用的已知定理并不充分，这时：当题断的反面只有一种情况时，间接证法又叫做归谬法；当题断的反面不止一种情况时，间接证法又叫穷举法。另一间接证法是同一法（与反证法地位相当）。（3）数学归纳法[I型]1.T（0=1），2.若T（n）=1，则T（n+1）=1。[II型]1.对某一自然数n00，T（n0）=12.假设对n0kn的k，T（k）=1，则T（n）=1.NOTE：数学归纳法的教学性质——不是归纳法。Peano公理（归纳公理——自然数的序数理论）1889年，意大利数学家G·Peano(1858-1932)用不加定义的“1”，“集合”，“自然数”，“含有”和“后继”为前提，提出5条自然数公理：①1是自然数；②1不是任何自然数的后继；③每个自然数都有一个后继（a的后继记为a）；④若a=b，则a=b；⑤（归纳公理）设S是任一自然数集合，如果S包含1，且若S含有a，则S也含有a，那么S含有任何自然数。满足上述公理的元素，就是自然数。若记1=2，2=3，…n=n+1…，则自然数集合就是N*={1，2，3…}。NOTE：《中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号》（由国家技监局发布，北京：中国标准出版社，1994年11月版）用集合“无穷公理”作为基础，自然数可如下归纳定义：……一般地，若自然数n已经定义，则n的后继n+1定义为所有自然数的集合称为自然数集，认为3、具体数学方法（一）分析法（methodofanalysis）在命题的推证过程中，根据思考时推理顺序的不同，可分为综合法和分析法。分析法，就是从题断出发，寻求它的途径，直至归结到题设的思考方法。其思考顺序是执果索因。命题：若A，则D思考顺序：从D上溯寻求其论据（如C、C1、C2等）而后再寻求C、C1、C2的论据（B、B1…B4）如果其中之一，如B的论据恰为已知条件A，于是，命题的推理途径也就得到了。其逻辑依据：[（C→D）∧（B→C）∧（A→B）]→D（二）综合法（Methodofsynthesis）思考顺序是从题设到题断的思考方法，叫综合法。其思考顺序：由因导果由A推演达到D的途径，但由A推出的结论未必唯一（如B、B1、B2），而由B、B1、B2推出的结论更多（如C、C1、C2、C3、C4等），这样由其中哪一个能推出D就还需要进一步分析，因而整个思考过程未必很简捷。逻辑依据：A→B，B→C，C→D。其中每个蕴涵是以前已经证过的定理，也可以是公理或定义。这样，由A出发，依次应用分离规划，最后得到D，然后详细写出过程来：运用蕴涵的传递性也可以：[（A→B）∧（B→C）∧（C→D）]→D或（A，B，C）→D分离规划：若p→q真，p真，则q真。即（p→q）∧p→q。（三）分析综合法（略）推理方向是从已知到求证（未知）——综合法（由因导果）反之，从求证出发追索到已知——分析法（执果索因）如果同时从已知及求证出发，经过推理得到证明途径——分析综合法（两头凑法）（两端推法）例设a>0，b>0，a≠b，求证：。证一（用综合法）证二（用分析法）要证只需证要证。亦即证(a-b)2>0成立，由此倒推过去，即得证。证三（分析综合法）由另一方面，从求证出发找到已知条件如下：（四）逆证法要证“若A则B”，其证明过程：（i）假设B成立且；（后者是前者的必要条件）（ii）上面推理的每一步都是可逆的（后者是前者的充分条件）逆证法的实质是每一步都是充要的。即而分析法是寻求题断的一个符合要求的充分条件，一般说来，由于目标较广，往往经多次试误才能找到。而逆证法的第（i）步是寻求题断的必要条件则是有章可循的。因此，这里逆证法有较为优越之处。但，其也有局限性，它只适用于部分特殊命题，即那种题设和题断互为充要条件的命题。故，凡能用逆证法的命题都不用分析去，反之不然。再者，逆证法第（ii）步，需要仔细检查。这检查的过程实际就是综合法的过程。因此，用逆证法，实际上是既用分析法又用综合法。从这个意义上讲，这与用分析法探索证明的途径，用综合法写证明步骤是相当的。（五）同一法（Methodofidentity）同一法是一种重要的间接证法，在教学证明中，与反证法地位相当。1、同一原理（IdentityPriaciple）若具有性质A的对象只有甲，而对象乙也具有性质A，则称对象甲，对象乙是同一的。（其逻辑基础是同一律）同一法（Methodofindentity）运用同一原理证题或解题的方法。一些文献上的叙述：（1）1962年2期《数学通报》赵家鹏：“一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念，这样的命题一定和它的某一个逆命题等效——这个逆命题的条件和结论也都唯一存在，且它们所指的概念是同一概念，就称这个命题符合同一原理。”根据同一原理来证题或解题的方法，叫同一法。（2）1982年5月测绘出版社《数学小词典》P.406给出Def：“如果一个命题的条件和结论都唯一，当证明某图形具有某种性质感到困难时，可以作一个具有这种性质的图形，然后证明作的图形和已知的图形是同一图形，从而证出某图形具有某种性质。这种证明方法叫做同一法。”这两种定义，前者定义严密但行文较长，不使介绍：后者直观易懂，但缩小同一法的外延，使用局限于几何，不利于拓广思路。（3）“同一法”的另一种说法：互逆或互或的两个命题，在一般情形下并不等效。在特定条件下。即在定理的条件和结论所指的概念的外延具有同一（全同）关系时它的逆命题的成立。（同一性命题）在这种情况下，证题时往往先构造与论题等效的逆命题，并且证明这个命题的真实性，然后指出逆命题中题设所指的对家与象原命题结论所指的对象是同一对象，从而肯定原命题的真实性。——同一法。例题如果一条直线截三角形的两边所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。已知：直线DE截△ABC的AB边于△截AC边于E点（如图）且求证：DE//BC证明：过D作BC的平行线，交AC于E。那么由已知由合比定理，得。从根本上讲，同一原理的逻辑基础是“同一律”，抓住这一点，可以这样定义同一法：若具有性质A的对象只有甲，而对象乙也具有性质A，则称对象甲、对象乙是同一的。我们把这一事实叫做同一原理，运用同一原理证题或解题的方法叫同一法。2、同一法的应用利用上述同一原理，可以解决两类问题：[第一类]证两个具体对象在外延上是同一的。如果已知“具人性质A的对象只有甲”，欲证具有性质B的对象乙就是甲，只要证对象乙具有性质A就行了，实际过程往往是证“若B到A”。例1求证：等腰△顶角平分线也就是底边上的中线。分析用AT，AM分别表示顶角A的平分线、底边BC上的中线。因为AT、AM均具有唯一性。对象甲性质A对象乙性质B由于对象的同一具有反身性，二者殊途同归。其证明思路对象乙具有性质B[第二类]证明唯一存在的对象（甲）具有某性质（B）（具有唯一性的对象有某性质）例2求证：Rt△斜边上的中点到各顶点等距离。已知△ABC，∠C=900，M为AB的中点，求证：MA=MB=MC分析∵M为AB中点，∴MA=MB，（要证MA=MB=MC，只要证：MA=M或MB=MC也可）对照同一原理，对象甲为M，性质A为MA=MB，构造对象乙，使它到A、B、C等距，然后证明甲、乙同一。（提示：作∠ACM=∠A，M为CM与AB交点，证略。）此外，用同一法的思想、方法，解决有关代数问题：例3求证：（令左式=x，证其与4同值同一）例4若a≥0，n为大于1的整数，m、p为正整数，则”同一法的应用，不仅限于上述三个方面，如立体几何中有关唯一性定理的证明，对解析几何中参数方程的等效性、极性标系下曲线的同一性的研究，也常用到同一原理。例5利用同一法证勾股定理的逆定理。原教材介绍证法，构思奇特，教学不便。学生难于接受，一般不要求掌握，并且学生常常对这样方法产出怀疑。已知ABC中，AB=C，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2。求证：∠C=900证明ABC，使∠C=900BC=a，CA=b，那么AB2=a2+b2在△ABC和△ABC中，∵BC=a=BC，CA=b=CA，AB=c=AB，∴△ABC，∴∠C=∠C=900#利用同一法证勾股定理的逆定理，有别于初中几何教材第二册P.104上证法，学生易于接受，思路清晰教学自然。例已知△ABC中，求证：∠ACB=Rt∠。证明过A点作AC⊥BC，垂足为C。则点C在直线上的位置有三种情况：（i）若C与C重合，命题得证（ii）若C在BC内，如图，△ABC和△ACC都是Rt△由勾股定理：CC2=AC2-AC2=b2-(AB2-BC2)（iii）若点C在BC延长线上，同（ii）可证∠ACB=△Rt∠由（i）（ii）（iii）可得∠ACB=△Rt∠.同一法与反证法二者有密切的联系：对于能用同一法证明的命题，一般都能用反证法证明。但是并不是能用反证法证明的命题都能用同一法证明。同一法只适用于符合同一原理的命题，它的适用范围有较大的局限性，而反证法的适用范围要比同一法广得多。反证法分类：如果与命题结论相矛盾的方面只有一种情况，这时只要将这种情况予以否定，命题即被证明。这种反证法，对称归谬法。如果与命题结论相矛盾的方面不止一种情况，这时需要将它们一一予以否定，命题才能得证。这种反证法，又称穷举法。例6证明函数不是周期函数证假定是周期函数，则常数T>0，使对于定义域中一切x（即），