第5章数字与逻辑基础

第5章数字与逻辑基础5.1数字信号与数字电路5.2数制与二进制编码5.3逻辑代数与逻辑函数5.4逻辑函数的描述5.5逻辑函数的化简本章主要介绍分析数字逻辑电路的最基本的数学方法，主要讲述数字系统中分析和设计逻辑电路的基础知识和化简逻辑函数的基本方法。通过学习本章，要求对数字信号、数字电路及数字逻辑关系有较深的理解。学习要点

1.理解“权”的概念，掌握几种常用进制之间的转换方法，熟悉书中介绍的几种基本的、常用的编码方式，了解二进制码与循环码之间的转换方法。

2.正确理解正逻辑与负逻辑的概念。

3.掌握逻辑代数的基本定律、3个基本定理和逻辑函数的描述方法以及异或函数的运算规则。

4.掌握逻辑函数四种描述方法以及它们之间的转换，掌握逻辑函数的两种标准形式：最小项表达式和最大项表达式，掌握逻辑函数的最简表达式形式，以及五种最简表达式之间的转换。

5.掌握代数法化简和四变量以内的卡诺图法化简逻辑函数的方法。5.1数字信号与数字电路5.1.1数字信号与数字电路5.1.2数字电路的分类5.1.1数字信号与数字电路模拟信号的特点是信号参量的取值随连续时间的变化而保持其连续性，模拟信号的特性一般如图5-1-1（a）所示。图5-1-1信号示例5.1.2数字电路的分类5.2数制与二进制编码5.2.1数制5.2.2数制间的转换5.2.3二进制编码5.2.1数制数制是构成多位数码中每一位的方法和由低位向高位的进位规则，它也是人们在日常生活和科学研究中采用的计数方法。如十进制是人们常用的进位计数制，十二进制是日常钟表的计时制。在计算机和数字通信设备中广泛使用二进制、八进制和十六进制计数制。在十进制中，每一位有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，超过9的数应“逢十进一”，即用多位数表示，这种方法称为位置计数法。例如，十进制数328.25可写成：（328.25）10＝3×102＋2×101＋8×100＋2×10－1＋5×10－2

上式各数位的乘数即102，101，100，10－1，10－2称为各相应数位的“权”，与“位权”相乘的数称为系数。因此，任意一个十进制数均可按权展开为1.十进制若用N取代上式中的10，即可得到任意进制（N进制）的按权展开式为（5-2-2）式中，（N）i称为第i位的权值。在数字系统中，广泛地采用二进制计数制。主要原因是二进制的每一位数只有两种可能取值，即“0”或“1”，可以用具有两个不同稳定状态的电子开关来表示，使数据的存储和传送用简单而可靠的方式进行。2.二进制二进制数的特点是：（1）每位二进制数只有两个数码0或1；（2）二进制数的计数规则是“逢二进一”，与十进制数一样，采用位置计数法表示。二进制各位的“权”是基数2的幂。一个任意二进制数（S）2的按权展开式为（5-2-3）式中，Ki、n、m的定义与十进制相同，只是Ki的取值为0或1，二进制有时用B（Binary）表示。八进制有时用O（Octal）表示，有0、1、2、3、4、5、6、7共8个数码，基数（权）为8，计数规则为“逢八进一”。其按权展开式为（5-2-4）十六进制计数规则为“逢十六进一”。其按权展开式为（5-2-5）3.八进制和十六进制十六进制采用的数码为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。数码A～F分别代表十进制数10～15。十六进制有时用H（Hexadecimal）表示。5.2.2数制间的转换由于数字系统采用二进制计数，而人们的习惯用法是十进制计数，在向数字系统写入数据时又常常需用八进制或十六进制计数，因此，必然存在各种数制间的相互转换问题。1.各种进制→十进制转换例5-2-1将二进制数1011.101转换为十进制数。解将二进制数按权展开如下：其他进制数转换为十进制的方法与上类似，如下例。例5-2-2将十六进制数（FA59）16转换为十进制数。解十进制数转换为等值的二进制数时，整数与小数部分应分别转换。2.十进制→二进制转换

（1）整数部分的转换假设十进制整数（S）10的等值二进制数为（Kn－1Kn－2…K1K0）2，则根据式（5-2-3）可知：如果采用“除2取余法”，则得到的余数为二进制整数的最低位K0，依次重复，余数为0或1，一直进行到商数为0得到Kn－1，从而实现整数部分的转换。例5-2-3把十进制数116转换为二进制数。解其除法算式如下：一个十进制小数（S）10对应的等值二进制小数为（0.K－1K－2…K－m）2，由式（5-2-3）可知：两边同乘以2可得所得乘积的整数0或1即为所求二进制小数的最高位K－1，重复用2乘前一步所得乘积的小数部分，一直到所得乘积的小数部分为零，或达到转换精度为止。（2）小数部分的转换例5-2-4将十进制小数0.625转换成等值的二进制数。

需要说明的是，不是所有的十进制小数都能转换成有限位的二进制小数，当演算不能使小数部分为零时，往往采用“留位截余”的办法处理，因此将产生转换误差。例5-2-5将十进制数19.39转换成二进制数。解①整数部分用“除2取余”法进行转换。故（19）10＝（10011）2

②小数部分用“乘2取整”法进行转换。乘积整数部分故（0.39）10＝（0.0110001）2＋e

将整数与小数部分求和，得转换结果为（19.39）10＝（10011.0110001）2＋e

误差e的大小往往与进行转换的计算机字长（位数）有关。由于23＝8，24＝16，所以一位八进制所能表示的数值恰好相当于3位二进制数能表示的数值，而一位十六进制数与四位二进制数能表示的数值正好相当，因此八进制数、十六进制数与二进制数之间的转换极为方便。3.二进制数←→八进制、十六进制数的转换例5-2-6求（110101.100001111）2的等值八进制数和等值十六进制数。将二进制数整数和小数以小数点为中心，分别以三位（或四位）二进制数分为一组，当整数部分的高位和小数部分的低位不足三位（或四位）时，可分别在高位和低位添加0，每组用一位等值的八进制（或十六进制）数代替，即可得到相应的八进制（或十六进制）数。按上述规则进行逆变换，八进制（或十六进制）数可转换成等值的二进制数。例5-2-7求（5B3.DCF）16和（2567.134）8的等值二进制数。解（5B3.DCF）16＝（10110110011.110111001111）2（2567.134）8＝（10101110111.0010111）25.2.3二进制编码通常数字系统中所携带的信息分为两类，一类是字符信息，另一类是数值信息。为便于机器识别，必须把十进制数的各个数码用二进制代码（或一组二进制数码）表示出来，这就是二－十进制编码，简称BCD码（BinaryCodedDecimals）。

n位代码可以组合成2n个代码（码字或码组），也就是说它们可以代表2n种不同的信息。指定二进制代码代表的信息不同，将有多种编码方案。在二进制编码中，采用结构形式与二进制数完全相同的自然二进制码是最简单的编码方式。表5-2-1中列出了四位自然二进制码，其中每个信息位都有固定权值，这种代码称为有权码，各信息位的权值为2i（i是码元位序，i=0，1，2…n-1）。另一种二进制编码是单位距离码。距离简单地来说是指两个二进制码组对应位的变化数，也称为汉明（Hamming）距离。格雷码的每一位码元都没有固定的权值，所以又称为无权码。1.二进制编码一位十进制数有0～9个不同的信息，必须至少使用4位二进制数字。因为24＝16，即4位二进制数字有16个组合，可以代表16个状态，而23＝8，只有8个状态。选取10个码组分配的方案有多种，因而产生了多种BCD码，其编码如表5-2-1所示。2.二－十进制编码（BCD）表5-2-1BCD编码

8421编码是靠取自然二进制数的前10个数码并付给等值的十进制数字而获得的，权值分别为23，22，21，1。在无权码方案中，用得较多的是余3码和格雷码。余3码是在8421码的基础上把每个代码都加（0011）2＝（3）10而形成的。用格雷码来表示十进制数时，为使0～9的相邻码组只能有一个码位不同，可采用表5-2-1中所示的编码方式，此处格雷码是取循环码中的上5个代码和下5个代码，它的特点是最高位的0和1只改变一次。为使数字电路不因代码传送出错而发生故障，通常使用可靠性代码。如采用格雷码传送信息，电路不易出错；用奇偶校验码可以检查出错误；用汉明码能够检查出错误并能加以改正。下面主要介绍奇偶校验码。奇偶校验分为奇校验和偶校验两种。奇偶校验码包括两个部分：信息位＋校验位，信息位为位数不限的任一种二进制代码；校验位又称为冗余位，仅有一位。3.可靠性编码表5-2-24位二进制信息码的奇偶校验码表5-2-2中示出4位二进制信息码的奇偶校验码。由上表分析可知，偶校验位的代码可以利用下式确定：

PE=b4⊕b3⊕b2⊕b1(5-2-6)

奇校验位的代码是偶校验位代码的反码，即

（5-2-7）5.3逻辑代数与逻辑函数5.3.1逻辑代数与逻辑变量5.3.2基本逻辑运算与基本逻辑门5.3.3复合逻辑运算5.3.4逻辑代数的基本定律和常用公式5.3.5逻辑代数的三个基本定理5.3.6正逻辑和负逻辑5.3.1逻辑代数与逻辑变量逻辑（Logic）代数又称为布尔（Boolean）代数，它是分析和设计逻辑电路的数学工具，也可用来描述数字电路和数字系统的结构和特性。

当逻辑变量作为输入，它们之间用各种逻辑运算符联结起来所形成的比较复杂的逻辑代数的运算结果作为输出，就称为逻辑函数，写作Y＝F（A，B，C，…）逻辑变量的取值只有两个：0和1。二值逻辑的基本逻辑关系只有三种：逻辑乘、逻辑加、逻辑非。5.3.2基本逻辑运算与基本逻辑门1.逻辑与（乘）运算及与门若决定某一事件的所有条件都成立，这件事就发生，否则这件事就不发生，这样的逻辑关系称逻辑与。逻辑与运算的符号可以用∧、∩和·表示，常用符号为“·”，此符号也可省略。如图5-3-1（a）中电灯亮的条件是要求开关A和B都闭合。若用A＝1、B＝1表示开关闭合，A＝0、B＝0表示开关断开；Y＝1表示电灯亮，Y＝0表示电灯灭；可以列出输入变量A、B的各种取值的组合和输出变量Y的一一对应关系，如表5-3-1所示。这样的表叫做真值表。表5-3-1逻辑与的真值表和二极管状态逻辑与的表达式为：Y＝A·B＝AB，读作Y等于A与B。如果串联开关的数量为n个，与逻辑的表达式可以推广到多输入变量的一般形式：Y＝A·B·C·D…＝ABCD…

实现与逻辑运算的电路叫做与门。图5-3-1（b）示出了一个由二极管构成的与门电路，与门电路符号如图5-3-1中的（c）、（d）所示。二极管VD1和VD2的状态列于表5-3-1中。在图5-3-2（a）中只要开关A或B闭合，电灯Y就会亮。或逻辑的真值表如表5-3-2所示。由表中可知，只要A＝1或B＝1，Y＝1。实现逻辑或运算的电路称为或门，图5-3-2（b）所示是一个由二极管组成的或门电路。或门电路符号如图（c）、图（d）所示。若输入端A或B中有一个为高电平1时，则相应的二极管就会导通，输出Y为高电平1；只有输入A和B都为低电平0时，输出才为低电平0。二极管VD1和VD2的状态列于表5-3-2中。2.逻辑或（加）运算及或门图5-3-2或逻辑表5-3-2逻辑或的真值表和二极管状态在图5-3-3（a）中，开关A闭合，电灯熄灭；A断开，电灯Y亮。其真值表如表5-3-3所示。3.非逻辑运算及非门图5-3-3非逻辑表5-3-3逻辑非真值表和三极管VT状态其逻辑函数表达式为：Y＝

，读作Y等于A非。实现逻辑非运算的电路称为非门。图5-3-3（b）所示的三极管电路是一个非门电路，电路符号如图（c）和图（d）所示。当输入A为高电平时，三极管VT饱和，输出Y为低电平0；输入A为低电平时，晶体管VT截止，输出Y为高电平1。三极管VT状态列于表5-3-3中。5.3.3复合逻辑运算图5-3-4示出了它们的电路符号及逻辑函数表达式。图5-3-4复合逻辑的电路符号和逻辑函数表达式表5-3-4与非逻辑真值表表5-3-5或非逻辑真值表表5-3-6与或非逻辑真值表表5-3-7异或逻辑真值表表5-3-8同或逻辑真值表由表5-3-4～表5-3-8分析可知，与非逻辑是将输入变量A、B先进行与运算，然后将结果取反，其实质可以看成是与运算和非运算的组合；或非逻辑可以看成是对A、B进行先或后非的运算组合。与或非逻辑是输入变量A、B之间和C、D之间先进行与运算，然后将两个运算的结果取或非，因此可以把与或非运算看成是与、或和非逻辑运算的组合。5.3.4逻辑代数的基本定律和常用公式1.基本定律逻辑代数是一门完整的学科，因此同普通代数一样，有一些用于运算的定律。这些定律反映了逻辑运算的基本规律，是简化逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本公式，表5-3-9中列出了逻辑代数的基本定律。表5-3-9逻辑代数的基本定律基本定律表例5-3-1用真值表证明表5-3-9中式（5-3-10a）的正确性。解将A、B、C的所有可能取值列于表5-3-10所示的真值表中。从表中可以看出，等式两边结果相同，故等式成立。表5-3-10式（5-3-10a）的真值表利用上面介绍的基本定律可以得到更多的公式，常用的公式如表5-3-11所示。2.几个常用的公式表5-3-11常用公式公式直接运用这些公式可以给化简逻辑函数的工作带来很大方便。现将表5-3-11中的公式证明如下。异或函数和同或函数的基本定律示于表5-3-12中。3.异或函数和同或函数的常用关系式表5-3-12异或函数和同或函数的基本关系式5.3.5逻辑代数的三个基本定理在逻辑代数中，有三个重要的基本定理，它们是代入定理、反演定理和对偶定理。在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量的位置都代以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入定理。1.代入定理对原函数取反函数的过程称为反演。对于任意一个逻辑函数Y，若将其中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果即为Y。这个规律称为反演定理。2.反演定理两种方法求解的结果完全相同，证明了反演定理的正确性，同时也可以看出，德·摩根定理只不过是反演定理的一个特例，正是由于这个原因，又把它称为反演律。实际上用反演定理求反函数更为简便。在使用反演定理时还应注意遵守以下两个原则：（1）仍需遵守“先括号后乘、加”的运算次序；（2）不属于单个变量的反号应保留不变。对于任意一个逻辑函数Y，若将其中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到的一个新逻辑式Y′，Y′称为Y的对偶式，或者说Y和Y′互为对偶式。若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。3.对偶定理例5-3-5利用对偶定理证明表5-3-9中的公式（5-3-10b）成立，即

A＋B·C＝（A＋B）·（A＋C）解等式两边的对偶式分别为

A（B＋C）和AB＋AC5.3.6正逻辑和负逻辑前面我们曾用真值表来描述逻辑运算，在真值表中用“1”表示逻辑“真”，用“0”表示逻辑“假”，而没有指明这个“1”和“0”的相对于地电位的实际电压电平。在实际应用中的逻辑门，用高电平H代表逻辑“1”，低电平L代表逻辑“0”，这种约定的逻辑关系，称为正逻辑。反之，假定用逻辑门的低电平L代表“1”，而用较高的电平H代表“0”，那么，我们称这样约定的逻辑关系为负逻辑。5.4逻辑函数的描述5.4.1逻辑函数的建立和描述方法5.4.2逻辑函数表达式的两种标准形式5.4.3逻辑函数的最简表达式常用的逻辑函数描述方法有逻辑函数真值表（简称真值表）、逻辑函数表达式、逻辑电路图和卡诺图法等，它们在设计和分析逻辑电路时非常重要。真值表和逻辑函数表达式在上节已作了简单介绍，卡诺图将在下节详细讨论。5.4.1逻辑函数的建立和描述方法对于任何一个具体的二值逻辑问题，我们常常可以设定此问题产生的条件为输入逻辑变量，设定此问题产生的结果为输出逻辑变量，从而用逻辑函数来描述它。设3个验收报告分别为A、B、C，系统验收结果为Y，若用1表示验收报告通过，0表示不通过，1表示系统合格，0表示系统不合格，其逻辑函数真值表列于表5-4-1中。表5-4-1真值表对于表5-4-1所示的真值表，将表中Y＝1所对应的输入组合中变量为1的用原变量表示，0用反变量表示，写成输入变量的乘积项。图5-4-1逻辑电路图5.4.2逻辑函数表达式的两种标准形式在讨论逻辑函数的标准式之前，首先要了解最小项、最大项的定义和性质，然后再介绍逻辑函数的最小项之和及最大项之积这两种标准形式。按照这一约定，表5-4-2示出了三变量逻辑函数的最小项及其编号。1.最小项的定义和性质表5-4-2三变量最小项的编号表任何一个逻辑函数，都可以表示成若干个最小项之和，称为最小项标准与或表达式，或称为最小项之和表达式，式（5-4-1）即为标准与或表达式。下面介绍求逻辑函数标准与或表达式的两种方法。2.最小项标准与或表达式（2）由真值表求标准与或表达式。前面已经讨论过，任何一个逻辑函数都可以用真值表来描述，真值表中的每一行，实质上就是一个最小项。所以，只要将真值表中输出函数Y＝1的最小项相加，就是此函数的标准与或式，即式（5-4-1）。应当指出，对于任何一个逻辑函数，它的真值表是唯一的，由此它的标准与或式也是唯一的。在n个变量的逻辑函数中，若M是n个变量之和项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组逻辑变量的最大项。同样，n个变量的逻辑函数共有2n个最大项。对逻辑函数最大项的编号恰好与最小项的编号相反，若为原变量时，则变量取值为0，否则变量取值为1。例如，当三变量的取值为101时，最大项为

，其编号为M5，三变量逻辑函数的最大项及其编号如表5-4-3所示。3.最大项的定义和性质表5-4-3三变量最大项的编号表与最小项类似，最大项也有几个重要的性质。（1）n个变量的全部最大项之积为0。（2）任意两个最大项的之和为1，即Mi＋Mj=1（i≠j）。（3）n个变量的每一个最大项有n个相邻项。（4）在变量个数相同的条件下，编号相同的最小项和最大项互为反函数，即上面已经说明，任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式。由最小项的性质可知，全部最小项之和为1。因此，若给定逻辑函数Y＝∑mi，则∑mi以外的最小项之和必为Y。任何一个逻辑函数都可以表示成最大项之积的标准形式，称为标准最大项或与表达式，或称为最大项之积表达式。下面举例说明。4.最大项标准或与表达式例5-4-2写出Y＝AB＋AC＋BC的最大项标准或与表达式。解利用分配律5.4.3逻辑函数的最简表达式根据逻辑函数表达式，可以画出相应的逻辑电路图。1.与或式变换成或与式2.与或式变换成与非-与非式3.与或式变换成或非—或非式4.与或式变换成与或非式图5-4-2四种简化表达式的逻辑电路5.5逻辑函数的化简5.5.1逻辑函数的公式化简法5.5.2逻辑函数的卡诺图化简法5.5.1逻辑函数的公式化简法公式法就是灵活运用逻辑代数的基本定律和常用公式进行化简。公式化简法技巧性很强，化简的方法往往也不是唯一的，能否化简成最简的逻辑表达式，取决于掌握和运用基本定律的熟练程度。公式化简法没有固定的步骤。现将经常使用的方法归纳如下。1.并项法2.吸收法3.消去法4.配项法5.添加项法用代数法化简逻辑函数的优点是简单方便，变量数没有限制；缺点是需要熟练掌握逻辑代数的基本定律和公式及灵活的运算技巧，化简后的函数有时难以判断是否为最简式，因此五变量以下的逻辑函数化简通常采用卡诺图法。5.5.2逻辑函数的卡诺图化简法卡诺（Karnaugh，美国工程师）图化简法的基本原理是利用代数法中的并项法原则，即A＋

＝1，消去一个变量。这种方法能直接得到最简与或表达式和最简或与表达式，并且其化简技巧相对公式化简法更容易掌握。卡诺图实质上是将代表逻辑函数的最小项用方格表示，并将这些方格按相邻原则排列而成的方块图。

5-5-1（a）、（b）、（c）、（d）中分别画出了二～五变量最小项卡诺图。1.卡诺图的构成图5-5-1二～五变量最小项的卡诺图由于任何一个逻辑函数都可以表示为若干最小项之和的形式，因此，也就可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。2.用卡诺图表示逻辑函数画出三变量卡诺图，在对应于函数式中2，5，6，7最小项的位置上填入1，其余的位置可以填入0或不填，可以得到如图5-5-2所示的卡诺图。同样，可以把逻辑函数式转换为真值表，如表5-5-1所示。将真值表中输出函数Y＝1对应的最小项填入卡诺图的对应方格中，画出卡诺图。图5-5-2例5-5-4的卡诺图表5-5-1例5-5-4的真值表图5-5-3例5-5-5的卡诺图画出四变量的最小项卡诺图，在对应于函数式中各最小项的位置上填入1，就得到如图1-5-3所示的卡诺图。由此可知，任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。同样，当逻辑函数的最小项卡诺图已知，也可以得到这个逻辑函数的最小项表达式。图5-5-4例5-5-6的卡诺图用卡诺图化简逻辑函数的方法归纳如下：第一步，根据逻辑函数画出其最小项卡诺图；第二步，合并最小项。3.用卡诺图法化简逻辑函数为最简与或式图5-5-5例5-5-7的化简卡诺图图5-5-6例5-5-8的卡诺图图5-5-7例5-5-9的卡诺图在实际的逻辑电路中，经常会遇到某些最小项的取值可以是任意的，或者说这些最小项在电路工作时根本不会出现，例如BCD码，用4位二进制数组成的16个最小项中的10个编码，其中6个冗余项是不会出现的，这样的最小项称为任意项。在卡诺图和真值表中用ф表示这些任意项。由于任意项的取值可为1或0，利用卡诺图化简时，应根据对逻辑函数的化简过程是否有利来决定任意项的取值。4.具有任意项的逻辑函数化简例5-5-9用卡诺图法化简逻辑函数Y＝∑（6，7，8，12，13，14）+∑ф（5，9，15）为最简与或式。解画出逻辑函数Y的四变量卡诺图如图5-5-7（a）。由图中可以看出，若令任意项m8和m15的取值为1，则可使卡诺圈扩大，有利于化简该函数，而任意