新版【2023年度】精编中考数学黄金知识点系列专题08分式及分式方程

PAGE/PAGE页码页码/NUMPAGES总页数总页数【2023年度】精编中考数学黄金知识点系列专题08分式及分式方程聚焦考点☆温习理解一、分式1、分式的概念一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。2、分式的性质〔1〕分式的根本性质：分式的分子和分母都乘以〔或除以〕同一个不等于零的整式，分式的值不变。〔2〕分式的变号法那么：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算法那么二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程〞转化为“整式方程〞。它的一般解法是：〔1〕去分母，方程两边都乘以最简公分母〔2〕解所得的整式方程〔3〕验根：将所得的根代入最简公分母，假设等于零，就是增根，应该舍去；假设不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。名师点睛☆典例分类考点典例一、分式的值【例1】〔2023江苏苏州第12题〕当x=时，分式的值为0．【答案】2.【解析】试题分析：∵的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2.考点：分式.【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件.【举一反三】1.〔2023四川甘孜州第2题〕使分式有意义的x的取值范围是〔〕A．x≠1B．x≠﹣1C．x＜1D．x＞1【答案】A．考点：分式有意义的条件．2.假设分式的值为0，那么＝【答案】1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法考点典例二、分式的化简【例2】〔2023黑龙江绥化第9题〕化简的结果是〔〕A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：原式==，应选A．考点：分式的加减法．【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。利用异分母分式的减法法那么计算即可得到结果．【举一反三】1.〔2023湖南永州第17题〕化简：÷=．【答案】.【解析】试题分析：原式=.考点：分式的化简.2.〔2023新疆生产建设兵团第11题〕计算：=．【答案】.【解析】试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法那么计算即可，即原式=.考点：分式的运算.3.〔2023新疆生产建设兵团第11题〕计算：=．【答案】.【解析】试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法那么计算即可，即原式=.考点：分式的运算.考点典例三、分式方程【例3】〔2023贵州铜仁第13题〕方程的解为．【答案】x=﹣3．考点：解分式方程．【点睛】先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。【举一反三】1.〔2023广东广州第14题〕方程的解是.【答案】x=-1.【解析】试题分析：方程两边同乘以2x〔x-3〕得，x-3=4x，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.考点：解分式方程.2.〔2023湖北十堰第7题〕用换元法解方程﹣=3时，设=y，那么原方程可化为〔〕A．y=﹣3=0B．y﹣﹣3=0C．y﹣+3=0D．y﹣+3=0【答案】B．【解析】试题分析：∵设=y，那么=，原方程可转化为：y﹣=3，即y﹣﹣3=0．故答案选B．考点：换元法解分式方程．考点典例四、分式方程的应用【例5】〔2023青海第18题〕穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的选项是〔〕A.B.C.D.【答案】B．【解析】考点：由实际问题抽象出分式方程．【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.【举一反三】1.〔2023辽宁葫芦岛第8题〕A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为〔〕A.B.C.D.【答案】A．【解析】考点：由实际问题抽象出分式方程．2.〔2023河北第12题〕在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是〔〕A． B． C． D．【答案】B.【解析】试题分析：根据题意，3X的倒数比8X的倒数大5，故答案选B.考点：倒数.课时作业☆能力提升一．选择题1．〔2023河北第4题〕以下运算结果为x-1的是〔〕A． B． C． D．【答案】B.【解析】试题分析：选项A，原式=；选项B，原式=x-1；选项C，原式=；选项D，原式=x+1，故答案选B.考点：分式的计算.2.〔2023山东滨州第4题〕以下分式中，最简分式是〔〕【答案】A.【解析】考点：最简分式.3.〔2023广东广州第5题〕以下计算正确的选项是〔〕A、B、C、D、【答案】D.【解析】试题分析：选项A错误；选项B，，错误;选项C，,由于与不是同类二次根式，不能进行加减法，错误；选项D、根据幂的乘方运算法那么就可以得出答案，正确，故答案选D.考点：代数式的运算.4.(2023山东潍坊第10题)假设关于x的方程=3的解为正数，那么m的取值范围是〔〕A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣【答案】B.【解析】考点：分式方程的解．5.〔2023四川南充第6题〕某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，以下方程正确的选项是〔〕A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：．应选B．考点：由实际问题抽象出分式方程．二．填空题6.〔2023江苏盐城第10题〕当x=时，分式的值为0．【答案】1．【解析】试题分析：当x﹣1=0时，x=1，此时分式的值为0．故答案为：1．考点：分式的值为零的条件．7.〔2023江苏盐城第15题〕方程的正根为．【答案】x=2．【解析】考点：分式方程的解．8.分式方程的解是__________．【答案】x=-3【解析】试题分析：因为x2-1=〔x+1〕〔x-1〕，所以可确定最简公分母〔x+1〕〔x-1〕，然前方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．试题解析：方程两边同乘〔x+1〕〔x-1〕，

得x+1+2=0，

解得x=-3．

经检验x=-3是分式方程的根．

考点：解分式方程.9.假设分式方程﹣=2有增根，那么这个增根是．【答案】x=1．【解析】试题分析：因为分式方程有增根，所以x﹣1=0，即x=1，故方程的增根为x=1．故答案是x=1．考点：分式方程的增根．10.分式方程的解为．【答案】x=4【解析】考点：分式方程的解法．三、解答题11.〔2023山东滨州第19题〕先化简，再求值：÷〔﹣〕，其中a=．【答案】原式=〔a﹣2〕2，当a=，原式=〔﹣2〕2=6﹣4【解析】试题分析：先把括号内通分化简后把乘除化为乘法，再进行约分，化为最简分式后代入计算即可．试题解析：原式=÷[﹣]=÷=•=〔a﹣2〕2，∵a=，∴原式=〔﹣2〕2=6﹣4考点：分式的化简求值．12.〔2023湖南长沙第20题〕先化简，再求值：〔﹣〕+，其中a=2，b=．【答案】原式=，当a=2，b=时，原式=6．【解析】考点：分式的化简求值.13.〔2023山东枣庄第19题〕(此题总分值8分)先化简，再求值：，其中a是方程的解.【答案】原式=,由，得，又∴．原式=．【解析】试题分析：先把分式化简后，再解方程确定a的值，最后代入求值即可.试题解析：原式===由，得，又∴．∴原式=．考点：分式的化简求值；一元二次方程的解法.14.〔2023湖北黄石第18题〕〔本小题总分值7分〕先化简，再求值：，其中【答案】原式==2023+1=2023【解析】考点：分式的化简求值.15.〔2023内蒙古、第19题〕解方程：．【答案】x=0．【解析】试题分析：观察可得最简公分母是〔x﹣1〕〔x+1〕，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．试题解析：方程的两边同乘〔x﹣1〕〔x+1〕，得3x+3﹣x﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入〔x﹣1〕〔x+1〕=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．考点：解分式方程．16.〔2023广西来宾第24题〕某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．〔1〕求该商家第一次购进机器人多少个？〔2〕假设所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%〔不考虑其它因素〕，那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】〔1〕100；〔2〕1190元．【解析】考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．17.〔2023湖南岳阳第20题〕我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟〞为主题的远足活动．学校与君山岛相距24千米，远足效劳人员骑自行车，学生步行，效劳人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，效劳人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，效劳人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．【答案】3.【解析】试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x千米，效劳人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，效劳人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x千米．效劳人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，根据题意：，解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．考点：分式方程的应用.18.〔2023山东威海第20题〕某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．【答案】乙班的达标率为90%．【解析】考点：分式方程的应用.19.〔2023新疆