拉格朗日插值实验报告

实验名称：实验一拉格朗日插值1引言我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：某个实际问题中，函数f(x)在区间［a,b］上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。所以我们总是希望根据已有的数据点〔或函数表〕来构造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。2实验目的和要求运用Matlab编写三个.m文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用电脑选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f(0.15)，f(0.31)，f(0.47)的近似值。已知函数表如下：x0.00.10.1950.30.4010.5f(x)0.398940.396950.391420.381380.368120.352063算法原理与流程图〔1〕原理设函数y=在插值区间［a,b］上连续，且在n+1个不同的插值节点a<x0,x1?_,xn<b上分别取值y0,y1?—,yn°目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类①中，求一简单函数P(x)，满足插值条件P(Xi)=yi(i=O,l,...,n)，而在其他点x#xi上,作为f(x)近似值。求插值函数P(x)的方法称为插值法。在本实验中，采用拉格朗日插值法。①分段低次插值当给定了n+1个点x0vX］<...<xn上的函数值y0,y］,...,yn后，假设要计算x#xi处函数值f(x)的近似值，可先选取两个节点xi-1与台使xe［xi-1,xi］，然后在小区间［和旳上作线性插值，即得X-xx-xf(X)沁P(x)=y1+y—1i-1x-xix-xi-1iii-1这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。类似地，我们可以选取距离x最近的三个节点xi-1，xi与xi+1，然后进行二次插值，即得f(x)〜P(x)=2y門［二］2k=/-1kj=i-11xk-xj丿-j*k-这种分段低次插值叫分段二次插值，又称分段抛物线插值。

②全区间上拉格朗日插值对节点Xj(i=O丄…,n)中任一点xk(0<k<n),作一n次多项式lk(x),使它在该点上的取值为1,在其余点小=0丄…,k-l,k+l,...,n)上取值为零。对应于每一节点xk(k=O丄…,n)，都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出了n+1个多项式l0(x),l1(x),_,ln(x)，其中l(x)=A(x-x)(x-x)...(x-x)(x-x)...•(x-x)；TOC\o"1-5"\h\zkk01k-1k+1n由条件l(x)=1可得kkA=-—k(x-X)…(X-x)(x-x)…(X-x)k0kk-1kk+1kn于是我们可以得出如下的拉格朗日n次插值多项式〔对于全区间上的插值，n取函数表的长度〕(2)流程图]=2f3f"'n-2按盘式让算巴何LMmi斗h.■■u分段线性插值P(x)(2)流程图]=2f3f"'n-2按盘式让算巴何LMmi斗h.■■u分段线性插值P(x)=yl(x)+yl(x)+…yl(x)oo(x-n=£y11nnx)…(x-x)(x-x)…(x-x)—0^-1kI1,-X)…(X-x)(x-x)…(X0kk-1kk+1-xn-Xknk=lf2t"17P—lI^u-i按殳式ii<n+IiS=S+yt(k)*p端出S分段二次插值全区间拉格朗日插值4程序代码及注释1、分段线性插值%分段线性插值functiony=piecelinear(x0,y0,x)%x0,yO为已知点，x为待求点n=length(xO);p=length(yO);m=length(x);%n,p,m分另I」为xO,yO,x长度ifn~=pfprintf'Error!Pleaseinputagain!\n');%xO和y0长度不等时，报错elsefori=1:mz=x(i);sum=0.0;l=0;%给丄赋初值，根据x的值确定lifz<x0(1)|z>x0(n)fprintf'Error!x(%d)isoutofrange!\n',i);break;end%当插值点超出范围时，报错forj=2:nifz<x0(j)l=j;endifl~=0break;endend%—旦l有非零值，则终止循环，选出合适的lfork=l-1:la=1.0;fors=l-1:lifs〜=ka=a*(z-x0(s))/(x0(k)-x0(s));endendsum=sum+y0(k)*a;endy(i)=sum;fprintf'y(%d)=%f\nx1=%.3fy1=%.5f,x2=%.3fy2=%.5f\n\n',i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l));%输出插值结果和所需节点endendend2、分段二次插值%分段二次插值functiony=piece_square(xO,yO,x)%x0,yO为已知点，x为待求点n=length(xO);p=length(yO);m=length(x);%n,p,m分另I」为xO,yO,x长度ifn~=pfprintf'Error!Pleaseinputagain!\n');%xO和y0长度不等时，报错elsefori=1:mz=x(i);sum=0.0;l=0;%给丄赋初值，根据x的值确定lifz<x0(1)|z>x0(n)fprintf'Error!x(%d)isoutofrange!\n',i);break;end%当插值点超出范围时，报错forj=1:n-2p=0.5*(x0(j)+x0(j+1));ifz<pl=j;endifl~=0break;end%—旦l有非零值，则终止循环，选出合适的lendifl==0l=n-1;end%输入正确时，假设l还等于零，l=n-1fork=l-1:l+1a=1.0;fors=l-1:l+1ifs〜=ka=a*(z-x0(s))/(x0(k)-x0(s));endendsum=sum+y0(k)*a;endy(i)=sum;fprintf('y(%d)=%f\nx1=%.3fy1=%.5f\nx2=%.3fy2=%.5f\nx3=%.3fy3=%.5f\n\n',i,y(i),xO(l-1),yO(l-1),xO(l),yO(l),xO(l+1),yO(l+1));%输出插值结果与所需节点endendend3、拉格朗日全区间插值%拉格朗日全区间插值functiony=lagrange(xO,yO,x)%x0,yO为已知点，x为待求点n=length(xO);p=length(yO);m=length(x);%n，p，m分另I」为x0，y0，x长度ifn~=pfprintf'Error!Pleaseinputagain!\n');%x0和y0长度不等时，报错elsefori=1:mz=x(i);s=0.0;ifz<x0(1)|z>x0(n)fprintf'Error!x(%d)isoutofrange!\n',i);break;end%当插值点超出范围时，报错fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;fprintf('y(%d)=%.5f\n',i,y(i));%输出插值结果endendend5算例分析1、测试例如>>x=[1234];>>y=[234];>>y2=lagrange(x,y,x0)Error!Pleaseinputagain!>>x=[1234];>>y=[2345];>>x0=[0.55.5];>>y2=lagrange(x,y,x0)Error!x(1)isoutofrange!>>x=[1234];>>y=[2345];>>x0=[1.55.5];>>y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=2.50000Error!x(2)isoutofrange!y2=2.5000000000000002、首先输入函数变及待求点>>x=[0.00.10.1950.30.4010.5];>>y=[0.398940.396950.391420.381380.368120.35206];>>x0=[0.150.310.47];注：保证在matlab工作目录中有三个.m文件3、分段线性插值y0=piece_linear(x,y,x0)y(1)=0.394039x1=0.100y1=0.39695,x2=0.195y2=0.39142y(2)=0.380067x1=0.300y1=0.3813&x2=0.401y2=0.36812y(3)=0.356927x1=0.401y1=0.36812,x2=0.500y2=0.35206y0=0.3940394736842110.3800671287128710.3569266666666674、分段二次插值>>y1=piece_square(x,y,x0)y(1)=0.394460x1=0.100y1=0.39695x2=0.195y2=0.39142x3=0.300y3=0.38138y(2)=0.380225x1=0.195y1=0.39142x2=0.300y2=0.38138x3=0.401y3=0.36812y(3)=0.357247x1=0.300y1=0.38138x2=0.401y2=0.36812x3=0.500y3=0.35206y1=0.3944603195488720.3802246915953730.3572468448844885、全区间拉格朗日插值>>y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=0.39447y(2)=0.38022y(3)=0.35722y2=0.3944728038780610.3802190624547320.3572221123394856讨论与结论1、使用tic,toc函数计算以下四种方法计算上述问题所运行的时间Functionlagrange(x0,y0,x)piece」inear(x0,y0,x)piecesquare(x0,y0,x)运行时间(s)0.0002720.0003750.000272从三次实验结果可知，三个程序的运行时间都很短。2、程序优化由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表范围内时，插值结果有意义，而当x取值在函数表范围以外，利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值，但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值，不予以输出结果；假设输入的函数表x与y的长度不相等，则无法插值。所以加入以下判断以提高插值的准确性n=length(xO);p=length(yO);m=length(x);ifn~=pfprintf'Error!Pleaseinpu