高考数学大一轮复习.2导数的应用课件

考点一

导数与函数的单调性考点清单考向根底设函数f(x)在区间(a,b)内可导,f'(x)是f(x)的导数,那么f'(x)>0f(x)在(a,b)内①单调递增

f'(x)<0f(x)在(a,b)内②单调递减

f'(x)=0f(x)在(a,b)内为常数函数注:(1)f(x)在(a,b)内可导为此规律成立的一个前提条件;(2)对于在(a,b)内可导的函数f(x)来说,f‘(x)>0是f(x)在(a,b)上为递增函数

的充分不必要条件;f’(x)<0是f(x)在(a,b)上为递减函数的充分不必要条

件.例如:f(x)=x3在整个定义域R上为增函数,但f‘(x)=3x2,f’(0)=0,所以在x

=0处并不满足f‘(x)>0,即并不是在定义域中的任意一点处都满足f'(x)>0.考向突破考向一

利用导数求函数的单调性(区间)例1函数f(x)= (x>0且x≠1),求函数f(x)的单调区间.解析解法一:(解不等式法)函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f

'(x)=-

,由f

'(x)>0得lnx+1<0,∴0<x<

.由f'(x)<0得lnx+1>0,∴x>

.又∵x≠1,∴

<x<1或x>1.∴f(x)的单调递增区间是

,单调递减区间是

和(1,+∞).解法二:(列表法)函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f'(x)=-

,令f'(x)=0,得x=

.列表如下:x

(1,+∞)f'(x)+0——∴f(x)的单调递增区间是

,单调递减区间是

,(1,+∞).考向二

由函数的单调性求参数的取值范围例2

(2021课标Ⅰ文,12,5分)函数f(x)=ax3-3x2+1,假设f(x)存在唯一的

零点x0,且x0>0,那么a的取值范围是 ()A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-2)

D.(-∞,-1)解析

a=0时,不符合题意.a≠0时,f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,得x1=0,x2=

.若a>0,分析可知f(x)有负数零点,不符合题意.则a<0,又f(0)=1>0知,此时必有f

>0,即a×

-3×

+1>0,化简得a2>4,又a<0,所以a<-2,故选C.答案

C考点二

导数与函数的极(最)值考向根底1.函数的极值与导数定义设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有①

f(x)<f(x0)

,则f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作f(x)极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点,都有②

f(x)>f(x0)

,则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作

f(x)极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值结论设函数f(x)在点x0处连续.(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值;(3)如果在x0附近的左、右两侧导数值③同号

,那么f(x0)④不是极值

利用导数求函数极值的步骤(1)求f'(x);(2)求方程f'(x)=0的根;(3)判断f'(x)在方程的根的左、右两侧值的符号;(4)利用结论求出极值注:(1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义

域内可能有多个极大值和极小值;(2)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小;(3)导数等于零的点不一定是极值点(例如:f(x)=x3,f'(x)=3x2,当x=0时,f'(0)

=0,但x=0不是函数的极值点);(4)对于处处可导的函数极值点的导数必为零.2.函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值:在⑤闭区间[a,b]

上连续的函数f(x),在[a,

b]上必有⑥最大值与最小值

;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不

一定有最大值与最小值.(ii)将f(x)的各⑧极

值与⑨

f(a)、f(b)

比较,其中最大的一个是最

大值,最小的一个是最小值.(2)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最

小值的步骤如下:(i)求f(x)在(a,b)内的⑦极值

;知识拓展1.假设函数f(x)的图象连续不断,那么f(x)在[a,b]上一定有最值.2.假设函数f(x)在[a,b]上是单调函数,那么f(x)一定在区间端点处取得最值.3.假设函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极值点,那么相应的极值点一定是函

数的最值点.考向突破考向一

利用导数求函数的极值例

1

(2021陕西文,15,5分)函数y=xex在其极值点处的切线方程为

.解析由y=xex可得y'=ex+xex=ex(x+1),从而可得y=xex在(-∞,-1)上递减,在

(-1,+∞)上递增,所以当x=-1时,y=xex取得极小值-e-1,因为y'|x=-1=0,故切线方

程为y=-e-1,即y=-

.答案

y=-

考向二

利用导数求函数的最值例2

(2021江苏,11,5分)假设函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只

有一个零点,那么f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为

.解析∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.又f(0)=1,∴f(x)在(0,

+∞)上没有零点,∴a>0.当0<x<

时,f'(x)<0,f(x)为减函数;当x>

时,f'(x)>0,f(x)为增函数,∴x>0时,f(x)有极小值,为f =- +1.∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f =0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,那么f'(x)=6x(x-1).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+

-

f(x)-4增1减0∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.答案-3考点三

导数的综合应用考向根底生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问

题通常称为优化问题,导数在这一类问题中有着重要的作用,它是求函

数最大(小)值的有力工具.(2)解决优化问题的根本思路:

方法1

利用导数解决函数的单调性问题1.利用导数的符号判断函数的单调性函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;

如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.求可导函数单调区间的一般步骤

方法技巧3.假设函数y=f(x)在区间A上是单调增(减)函数,那么f'(x)≥0(f'(x)≤0)在A上

恒成立,然后别离参数转化为函数的最值问题,或直接转化为f'(x)min≥0(f'(x)max≤0).例1函数f(x)=-2a2lnx+ x2+ax(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-

+x+a.(1)当a=1时,f(1)=

,f'(1)=-2+1+1=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=

.(2)f'(x)=

=

,①当a=0时,f'(x)=x>0,f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f'(x)=0,得x1=-2a(舍去),x2=a,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,a)a(a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘

↗此时,f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增;③当a<0时,令f'(x)=0,得x1=-2a,x2=a(舍去),当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,-2a)-2a(-2a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘

↗此时,f(x)在区间(0,-2a)上单调递减,在区间(-2a,+∞)上单调递增.例2函数f(x)=ex(x2-a),a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)假设函数f(x)在(-3,0)上单调递减,试求a的取值范围.解析由题意可知f'(x)=ex(x2+2x-a).(1)因为a=1,所以f(0)=-1,f'(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-(-1)=-(x-0),即x+y+1=0.(2)因为函数f(x)在(-3,0)上单调递减,所以当x∈(-3,0)时,f‘(x)=ex(x2+2x-a)≤0恒成立,即当x∈(-3,0)时,x2+2x-a≤0恒成立.设g(x)=x2+2x-a,x∈(-3,0),显然,当x∈(-3,-1)时,函数g(x)=x2+2x-a单调递减,当x∈(-1,0)时,函数g(x)=x2+2x-a单调递增.所以“当x∈(-3,0)时,x2+2x-a≤0恒成立”等价于

即

所以a≥3.方法2

利用导数解决函数的极值、最值问题1.解决函数极值问题的一般思路:

2.函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的,函数

的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,极值只能在区间内一点处

取得,最值那么可以在端点处取得,有极值未必有最值,有最值未必有极值,

极值可能成为最值.例3求函数f(x)=lnx-ax,a∈R的极值.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞).求导,得f'(x)=

-a=

.若a≤0,则f'(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函数,无极值;若a>0,则令f'(x)=0,可解得x=

.当x∈

时,f'(x)>0,f(x)在

上是增函数;当x∈

时,f'(x)<0,f(x)在

上是减函数.∴当x=

时,f(x)有极大值,极大值为f

=ln

-1=-lna-1.综上所述,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)的极大值为-lna-1,无极小值.方法3

利用导数解决不等式问题1.利用导数证明不等式假设证明f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果能证明F(x)在

(a,b)上的最大值小于0,即可证明f(x)<g(x),x∈(a,b).2.利用导数解决不等式的恒成立问题“恒成立〞与“存在性〞问题可看作一类问题,一般都可通过求相关函

数的最值来解决,如:当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时,假设f(x)≥g

(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)在x∈D上的最小值,将原条件转化为g(a)≤

f(x)min,假设f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)在x∈D上的最大值,将原条

件转化为g(a)≥f(x)max;假设存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)在x∈D

上的最大值,将原条件转化为g(a)≤f(x)max,假设存在x∈D,使得f(x)≤g(a)成立,应求f(x)在x∈D上的最小值,将原条件转化为g(a)≥f(x)min.例4函数f(x)=lnx- .(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x>1时,f(x)<x-1.解题导引

解析(1)f'(x)= -x+1= ,x∈(0,+∞).由f'(x)>0得 解得0<x< .故f(x)的单调递增区间是 .(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(1,+∞),那么有F'(x)= .当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(1,+∞)上单调递减,故当x>1时,F(x)<F(1)=0,即当x>1时,f(x)<x-1.方法4

利用导数解决函数的零点问题利用导数研究函数零点的方法:(1)①求函数f(x)的单调区间和极值;②根据函数f(x)的性质作出图象;③判断函数零点的个数.(2)①求函数f(x)的单调区间和极值;②分类讨论,判断函数零点的个数.注意:研究零点时,首先要确认有没有零点,如果有,再研究有几个;研究

零点个数时,对于函数自变量趋向无穷时函数值的描述,一般采用选取

某个特殊的函数值来说明符号正负的方法.例5函数f(x)=x3-9