力学与结构课件幻灯片三

第4章

杆件的应力、强度和刚度

目录.ppt截面的几何性质轴向拉伸和压缩杆件的剪切和扭转梁的弯曲应力及强度计算杆件的组合变形习题本章内容

教学要求：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯性半径等几何性质的概念及计算方法；熟悉内力、应力、应变等基本概念；了解材料在轴向拉、压时的力学性能；掌握虎克定律及其应用；熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、剪切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算；重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、极惯性矩和抗扭截面模量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。一、静矩和形心

1.静矩如图4.1所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系zoy，在坐标(z,y)处取微面积dA，则微面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA对z轴(或对y轴)的静矩，记作dSz(或dSy)。即截面的几何性质平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的静矩之和，称为平面图形对z轴(或对y轴)的静矩，用Sz(或Sy)表示，即(4-1a)(4-1b)从静矩的定义可以看出，静矩是对特定的坐标轴而言的。选择不同的坐标轴，静矩也不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。静矩常用的单位是m3或mm3。若则截面的几何性质2.形心现设平面图形的形心C的坐标为(Zc，Yc)。均质等厚薄板的形心在板平面zoy中的坐标为(4-2a)(4-2b)则由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平面图形有两个或以上的对称轴，则形心在对称轴的交点上。【例4.1】矩形截面尺寸如图4.2所示，以矩形的形心为原点建立坐标系zoy，z1通过矩形的底边。试求该矩形对z轴的静矩和对z1轴的静矩。图4.2矩形截面截面的几何性质解:(1)计算矩形截面对z轴的静矩。由于z轴是矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形对z轴的静矩等于零，即。(2)计算矩形截面对Z1轴的静矩。

【例4.2】试确定如图4.3所示的组合截面的形心位置，长度单位为cm。图4.3组合截面解:取坐标zoy，因为y为截面的对称轴，所以形心必在y轴上，即。故只需确定yc。该截面可视为由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ组合而成。矩形Ⅰ的面积，形心纵坐标。矩形Ⅱ的面积，形心纵坐标。一、惯性矩、惯性积和惯性半径

1.惯性矩图4.4惯性矩如图4.4所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系zoy。微面积dA与坐标y(或坐标z)平方的乘积y2dA或(Z2dA)称为微面积dA对z轴(或对y轴)的惯性矩。整个平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的惯性矩之和，称为平面图形对z轴(或对y轴)的惯性矩，用Iz(或Iy)表示，即截面的几何性质用积分精确表示为(4-3a)(4-3b)微面积dA与坐标原点O的距离ρ的平方的乘积ρ2dA称为微面积dA对坐标原点O的极惯性矩，整个图形对坐标原点O的极惯性矩用积分表达为所以由于存在几何关系：即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式(4-5)中，z2和y2恒为正值，故惯性矩也恒为正值，惯性矩常用的单位是m4或mm4。简单图形的惯性矩可以直接由式(4-5)计算。在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。

2.惯性积如图4.4所示，微面积dA与坐标y和坐标z的乘积zydA称为微面积dA对y和z两轴的惯性积，记为zydA。整个图形上所有的微面积对z和y两轴的惯性积之和称为该图形对z和y轴的惯性积，用表示Izy，即截面的几何性质(4-4) (4-5)(4-6)惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m4或mm4。如图4.4所示，微面积dA与坐标y和坐标z的乘积yzdA称为微面积dA对z和y两轴的惯性积，记为yzdA。整个图形上所有的微面积对z和y两轴的惯性积之和称为该图形对z和y轴的惯性积，用Izy表示，即截面的几何性质(4-6)惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m4或mm4。如图4.5所示，y轴是图形的对称轴，在y轴两侧各取一相同的微面积dA，显然，两者的y坐标相等，而z坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数，它们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零，即如果z轴是图形的对称轴，同理可得，3.惯性半径在工程中因为某些计算的特殊需要，经常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即截面的几何性质(4-7)或写成(4-8)截面的的几何何性质质式中，，iz、iy、iρ分别称称为平平面图图形对对z轴、y轴和极极点的的惯性性半径径，也也叫回回转半半径，，单位位为m或mm。在建建筑力力学中中，分分析组组合截截面压压杆的的稳定定性时时，常常用惯惯性半半径来来表示示组合合图形形截面面的几几何特特征。。规则图图形的的惯性性半径径可用用公式式直接接计算算，或或查相相关的的图表表，常常用组组合截截面(如T形、L形截面面)的惯性性半径径可查查相关关计算算手册册，也也可直直接由由式(4-8)计算；；型钢钢的惯惯性半半径可可查型型钢钢表。。4.抗弯截截面模模量W在计算算抗弯弯构件件的应应力时时，经经常用用到抗抗弯截截面模模量的的概念念，抗抗弯截截面模模量用用表示示，用用下面面公式式计算算：(4-9)式(4-9)中是截面关关于形心轴轴的惯性矩矩，ymax是截面上垂垂直并距离离形心轴最最远的点到到形心轴的的距离。对对于低碳钢钢、铝合金金等塑性材材料抗拉强强度和抗压压强度一样样大，抗弯弯截面模量量w只有一个值值，而对于于铸铁等脆脆性材料抗抗拉强度和和抗压强度度不一样大大，抗弯截截面模量w有两个值，，就是式(4-9)中的ymax分别取形心心轴两侧距距形心轴最最远的点到到形心轴的的距离。【例4.3】矩形截面尺尺寸如图4.6所示。试计计算矩形截截面对形心心轴z、y的惯性矩、、惯性半径径、惯性积积和抗弯截截面模量。。图4.6矩形截面解:(1)计算矩形截截面对z轴和y轴的惯性矩矩。取平行行于z轴的微面积积dA，dA到z轴的距离为为y，则截面的几何何性质同理可得，，矩形截面面对y轴的惯性矩矩：(2)计算矩形截截面对z轴和y轴的惯性半半径：(3)计算矩形截截面对z轴和y轴的惯性积积。因为z轴和y轴均是矩形形的对称轴轴，所以：：(4)抗弯截面模模量：【例4.4】直径为D的圆形截面面，如图4.7所示。(1)试计算截面面对通过圆圆心的轴的的惯性矩和和惯性半径径；(2)计算抗弯截截面模量。。解:(1)以圆心为原原点，建立立平面坐标标系yOz。(2)计算圆截面面对原点O的极惯性矩矩，圆的直直径为D，取圆的半半径，，ρ为截面上任任一点到原原点的距离离，则截面面对原点O的极惯性矩矩为：截面的几何何性质微面积(图中阴影部部分)为：由于，，圆截截面对任意意通过圆心心的轴对称称，所以可得：(3)计算惯性半半径(4)计算抗弯截截面模量：：截面的几何何性质图4.7圆形截面5.惯性矩的平平行移轴公公式前面我们介介绍的惯性性矩和惯性性积的计算算方法都是是针对平面面图形的形形心轴的，，实际上，，惯性矩和和惯性积可可以针对平平面内任意意轴。图4.8惯性矩的平平行移轴如图4.8所示C点是截面的的形心。zc轴和yc轴通过截面面形心。z轴和y轴是分别和和zc轴和yc轴平行的坐坐标轴且y轴与yc轴相距为b，z轴与zc轴相距为a。若图形对对通过形心心的坐标轴轴的惯性矩矩和惯性积积分别为Izc、Iyc及Izyc，下面计算算图形对z轴和y轴的惯性矩矩。微面积dA在两个坐标标系中的坐坐标有如下下关系：截面的几何何性质根据惯性矩矩定义，图图形对z轴的惯性矩矩为：式中：(截面面积对对自身形心心轴的静矩矩为零)于是得到(4-10a)同理可得：：(4-10b)式(4-10a)、式(4-10b)分别为惯性性矩的平行行移轴公式式。式中Izc和Iyc是对平面图图形形心轴轴的惯性矩矩。式(4-10a)、式(4-10b)分别表明：：图形对任任意轴的惯惯性矩，等等于图形对对与该轴平平行的形心心轴的惯性性矩加上图图形面积与与两平行轴轴距离平方方的乘积。。由于a2(或b2)恒为正值，，故在所有有平行轴中中，平面图图形对形心心轴的惯性性矩最小。。【例4.5】用平移轴公公式计算图图4.2中矩形截面面对底边的的惯性矩。。解：(1)计算截面对对z的惯性矩：：(2)根据惯性矩矩的平移轴轴公式，得得：截面的几何何性质轴向拉伸和和压缩一、轴向向拉伸和压压缩的概念念轴向拉伸变变形和轴向向压缩变形形是杆件的的基本变形形之一，在在工程中经经常见到。。如图4.9(a)所示三角形形托架中的的斜杆，在在荷载作用用下就发生生轴向压缩缩变形；还还有桁架中中的所有杆杆件(如图4.9(b)所示)，发生的都都是轴向变变形(拉伸或压缩缩)；屋架中的的水平拉杆杆(图4.9(c)AB线上各杆)，发生轴向向拉伸变形形；建筑结结构中的柱柱子(如图4.9(d)所示)发生轴向压压缩变形等等。这些杆杆件受力的的共同特点点是：作用用在杆件上上的外力的的作用线与与杆轴线重重合，杆件件的主要变变形是轴向向伸长或缩缩短。这类类构件称为为拉(压)杆。相应的的变形分别别称为轴向向拉伸变形形和轴向压压缩变形，，如图4.10所示。图4.9轴向拉(压)杆图图4.10轴向拉伸(压缩)变图4.11截面法二、轴轴向受拉(压)杆的内力1.内力的概念念杆件的内力力是指杆件件在外力作作用下发生生变形，引引起内部相相邻两部分分的相对位位置发生变变化，从而而产生附加加内力，简简称内力。。荷载作用F，杆件内力力是由于外外力而引起起的，杆件件所受的外外力越大，，内力也就就越大，同同时，变形形也越大。。内力与杆杆件的强度度、刚度有有密切的关关系。讨论论杆件的强强度、刚度度和稳定问问题时，必必须先求出出杆件的内内力。2.求杆件内力力的方法——截面法为了确定外外力作用下下杆件所产产生内力的的大小和方方向，通常常采用截面面法。即先先用一个假假想的平面面将杆件““截开”，，使杆件在在被截开处处的内力显显示出来；；然后取杆杆件的任一一部分作为为研究对象象，将另外外部分对它它的的作用用以截面的的内力代替替；利用平平衡条件求求出杆件在在被截断处处的内力，，这种求内内力的方法法称为截面面法。截面面法是求杆杆件内力的的基本方法法。如图4.11(a)所示，杆件件受一对轴轴向拉力作作用而产生生轴向拉伸伸，计算杆杆上任一截截面C上的内力。。轴向拉伸和和压缩(1)截开：用假假想的截面面，在要求求内力的位位置处将杆杆件截开，，把杆件分分为两部分分。如图4.11(b)、(c)所示，在C-C’处用假想面面把杆截断断。(2)代替：取截截开后的任任一部分作作为研究对对象，画受受力图。现现以左部分分为研究对对象，在截截开截面处处用该截面面上的内力力代替右部部分对它的的的作用，，如图4.11(d)所示，用FN、FN’来表示两部部分的相互互作用力。。(3)平衡：由于于整体杆件件本身处于于平衡状态态，因此被被“截开””后。任一一部分都处处于平衡状状态。对如如图4.11(d)所示的杆件件，列方程程，，得得，，内力方方向如图4.11(d)图4.11(e)所示。3.轴向拉(压)杆的内力——轴力轴向拉压杆杆的内力是是一个作用用线与杆件件轴线重合合的内力，，习惯上称称为轴力，，用符号FN表示。通通常规定定，拉力力(轴力FN的作用方方向背离离该力作作用的截截面)为正，压压力(轴力FN的作用方方向指向向该力作作用的截截面)为负。轴轴力的常常用单位位是N(牛[顿])或kN(千牛)。说明：(1)截面法计计算轴力力时通常常先假设设轴力为为拉力，，在列平平衡方程程时，把把FN作为正值值来看待待，这样样如果计计算结果果为正，，表示假假设与实实际相符符，轴力力为拉力力；如果果计算结结果为负负，表示示假设与与实际相相反，轴轴力为压压力。(2)列平衡方方程时，，轴力及及外力在在平衡方方程中的的正、负负号由其其投影的的正负决决定，与与轴力本本身正负负无关。。(3)计算轴力力时，可可以取被被截开处处截面的的任意一一侧研究究，计算算结果相相同，但但为了简简化计算算过程，，通常取取杆件上上外力较较少的一一侧研究究。(4)在计算杆杆件内力力时，在在将杆件件截开之之前，不不能用合合力来代代替力系系的作用用，也不不能使用用力的可可传性原原理，因因为这样样会改变变杆件内内部的内内力及变变形。轴向拉伸伸和压缩缩4.轴力图工程中有有些拉(压)杆件受多多个轴向向外力而而平衡，，随着外外力的变变化，各各段轴力力也在变变化。为为了形象象地表示示杆的轴轴力随横横截面位位置而变变化的规规律，通通常以平平行于杆杆轴线的的坐标表表示横截截面的位位置，以以垂直于于杆轴线线的坐标标表示横横截面上上的轴力力，按适适当比例例将轴力力随横截截面位置置变化的的情况画画成图形形，这种种表明轴轴力随横横截面位位置而变变化规律律的图形形称为轴轴力图。。从轴力力图上可可以很直直观地看看出最大大轴力所所在位置置及大小小、正负负。习惯惯上将正正轴力(拉力)画在x轴上方，，负轴力力(压力)画在x轴下方。。【例4.6】】一个杆件件受力经经简化后后，其计计算简图图如图4.12(a)所示。试试求杆件件的轴力力并画出出轴力图图。解：(1)在第一段段内任意意取一截截面将杆杆断开，，取左段段为隔离离体，假假设轴力力为拉力力，在截截开处施施加方向向向右的的力FNI，如图4.12(b)所示。由由平衡条条件：，，，，得得，，故故假设轴轴力为拉拉力是正正确的。。(2)在第二段段范围内内任意取取一截面面将杆断断开，取取左段为为隔离体体，同样样假设轴轴力为拉拉力，在在截开处处施加方方向向右右的力FN2，如图4.12(c)所示由平平衡条件件：，，，，得得，，如如图4.12(d)所示。(3)用同样的的方法可可以得到到，，如图图4.12(d)所示。(4)杆件的全全部轴力力已经求求出来了了，可根根据前述述方法作作杆件的的轴力图图，如图图4.12(e)所示轴向拉伸伸和压缩缩1.应力的概概念在确定了了杆件的的内力后后，还不不能解决决工程中中的强度度问题。。例如两两根同种种材料制制成的但但横截面面积不同同的拉杆杆，承受受同样的的拉力。。显然二二者的轴轴力相同同。但当当拉力逐逐渐增大大时，截截面积小小的杆必必定首先先被拉断断。这说说明，杆杆的强度度不仅与与杆件上上的内力力有关，，还与横横截面的的面积有有关。要要解决强强度问题题，仅研研究内力力的合力力是不够够的，还还要研究究分布内内力在横横截面上上各点的的集度。。截面上上的分布布内力在在某一点点的集度度，称为为截面上上这一点点的应力力。如图4.13所示，在在受力杆杆件横截截面上任任一点C的周围取取一微面面积ΔA(图中阴影影)，设作用用在微面面积ΔA上的分布布内力的的合力为为ΔF，取ΔF和ΔA的比值为为ΔA上的平均均应力。。一般来来说，杆杆件横截截面上的的应力不不是均匀匀分布的的，因此此，习惯惯上将微微面积ΔA无限缩小小而趋向向于零时时平均应应力的极极限值称称为C点的内力力集度，，即C点的总应应力，用用p表示：一、轴向拉压压杆的应应力图4.12杆件轴力力图轴向拉伸伸和压缩缩总应力p是一个矢矢量，通通常情况况下，既既不与截截面垂直直，也不不与截面面相切。。为了研研究问题题时方便便，习惯惯上将它它分解为为与截面面垂直的的分量σ和与截面面相切的的分量τ，如图4.13(b)所示。σ称为正应应力，τ称为切应应力。应力的常常用单位位为Pa(帕)，MP(兆帕)，换算关关系为图4.13应力轴向拉伸伸和压缩缩(4-11)关于应力力的几点点说明。。(1)应力是针针对某杆杆件的某某一截面面上的某某点而言言的，所所以提及及应力时时，必须须指明杆杆件、截截面和点点的位置置。(2)应力是矢矢量，不不仅有大大小，还还有方向向。对于于正应力力，通常常规定拉拉应力为为正，压压应力为为负，对对于切应应力τ，通常规规定使研研究对象象内部顺顺时针抟抟动为正正，反之之为负。。(3)内力与应应力的关关系。内内力是对对杆件的的整个截截面而言言，是整整个截面面上各点点处的应应力总和和；应力力是对截截面上一一点而言言的，是是内力在在截面某某一点的的集度。。2.轴向拉压压杆上的的应力轴向拉压压杆上的的内力只只有轴力力，截面面上的应应力只能能是与横横截面垂垂直的正正应力。。通过实实验证明明正应力力在杆件件横截面面上均匀匀分布，，由此可可导出轴轴向拉压压杆横截截面上正正应力的的计算公公式。若用A表示拉(压)杆横截面面的面积积，则拉拉(压)杆横截面面上的正正应力为为轴向拉伸伸和压缩缩(4-12)正应力的的正负号号规定与与轴力FN一致，拉拉应力为为正，压压应力为为负。对于等截截面直杆杆，最大大正应力力一定发发生在轴轴力最大大的截面面上。习惯上把把杆件在在荷载作作用下产产生的应应力称为为工作应应力，并并且通常常把产生生最大工工作应力力的截面面称为危危险截面面，产生生最大工工作应力力的点称称为危险险点。可可见，对对于产生生轴向拉拉压变形形的等截截面直杆杆，轴力力最大的的截面就就是危险险截面，，该截面面上任意意一点都都是危险险点。【例4.7】】某轴向受受力柱如如图4.14(a)所示，柱柱子顶部部所受压压力为Fp，柱子材材料的重重度为γ，横截面面为矩形形，尺寸寸为，，柱高为为H，求柱子子的最大大工作应应力。由可得解:(1)求轴力。。该柱需需要考虑虑自重，，在距柱柱顶处用用m-m截面把柱柱子截开开，m-m截面处的的轴力用用FN(x)表示，取取m-m截面以上上部分研研究，画画出受力力图，列列平衡方方程。轴向拉伸伸和压缩缩图4.14轴向受力力柱由此可见见，柱子子各横截截面上的的轴力随随x位置变化化而变化化，轴力力随x位置变化化的函数数称为轴轴力方程程当x=0时，当x=H时，(2)求应力。。该柱为为等截面面柱，柱柱子底部部截面的的内力和和应力最最大，是是危险截截面。其其应力值值为：四、轴轴向拉拉压杆的的变形及及虎克定定律实验结果果表明，，直杆在在轴向荷荷载作用用下既产产生沿轴轴线方向向的纵向向变形。。也产生生垂直于于轴线方方向的横横向变形形。杆的的变形量量与所受受外力有有关，也也与杆件件尺寸与与选用材材料有关关。1.杆的纵(横)向变形如图4.15所示正方方形截面面杆，受受轴向力力作用，，产生轴轴向拉伸伸和压缩缩变形，，设杆变变形前的的长度为为，其横横截面的的边长为为a，变形后后长度为为l1，横截面面边长为为a1。则杆的的纵向变变形量为为，，杆在轴轴向拉伸伸时为正正值，压压缩时为为负值。。杆的横横向变形形量为，，杆杆在轴向向拉伸时时为负值值，压缩缩时为正正值。轴向拉伸伸和压缩缩图4.15杆的纵、、横向变变形杆件的纵纵向变形形量和横横向变形形量只能能说明纵纵向和横横向总的的变形量量，不能能说明变变形程度度。为了了消除杆杆件尺寸寸对杆件件变形量量的影响响，准确确说明杆杆件的变变形程度度，将杆杆件的纵纵向变形形量Δl除以杆的的原始长长度l，得到杆杆件单位位长度的的纵向变变形(4-13a)ε称为纵向向线应变变，简称称线应变变。ε的正负号号与Δl相同，杆在轴轴向拉伸时为为正值，压缩缩时为负值。。ε是一个无量纲纲的量。同理理，将杆的横横向变形量Δa除以杆的截面面原边长a，得到杆件单单位长度的横横向变形轴向拉伸和压压缩(4-13b)ε’称为横向线应应变。ε’的正负号与Δa相同，杆在轴轴向拉伸时为为负值，压缩缩时为正值。。ε’也是一个无量量纲的量。2.泊松比从上述分析可可知，杆件在在轴向拉压变变形时，纵向向线应变ε与横向线应变变ε’总是正负相反反的。通过试验表明明：当轴向拉拉压杆的应力力不超过材料料的比例极限限时，对同一一材料，横向向线应变ε’与纵向线应变变ε的比值的绝对对值为一常数数，通常将这这一常数称为为泊松比或横横向变形系数数，用μ表示。(4-14)泊松比是一个个无量纲的量量，它的值与与材料有关，，可由实验测测出。建筑工工程中常用材材料的泊松比比见表4-1。泊松比建立了了某种材料的的横向线应变变与纵向线应应变之间的关关系。在工程程中，一般先先根据受力情情况计算纵向向线应变，然然后通过泊松松比确定横向向变形。由于杆件的横横向线应变ε’与纵向线应变变ε总是符号相反反，所以3.虎克定律计算杆件变形形时，关键是是计算杆件的的纵向变形量量。试验表明明，工程中使使用的材料都都有一个弹性性范围，在弹弹性范围内杆杆的变形量与与杆所受的轴轴力成正比，，与杆的横截截面积成反比比，用公式表表示为：引进比例常数数E后，得这一公式是英英国科学家虎虎克提出来的的，故称为虎虎克定律。对对于长度相同同，所受轴力力相等的构件件，分母EA越大，则杆的的纵向变形越越小；分母EA越小，则杆的的纵向变形越越大。由此可可见，EA反映了拉压杆杆抵抗变形的的能力，所以以称为拉压杆杆的抗拉压刚刚度。将式(4-16)两边除以l，并把和和代代入入，于是得(4-15)(4-16)轴向拉伸和压压缩(4-17)式(4.17)是虎克定律的的另一种表达达方式，它表表明在线弹性性范围内，正正应力与线应应变成正比，，比例系数即即为材料的弹弹性模量E。工程中常用用的材料的弹弹性模量E见表4-1。弹性模量En5应力σ有相同的量纲纲，单位为Pa、MPa和GPa。轴向拉伸和压压缩表4-1常用工程材料料的弹性模量量和泊松比【例4.8】试计算如图4.16所示柱子顶点点的位移。已已知柱子材料料的弹性模量量为E，重度为γ。图4.16求柱子顶点位位移解：例4.7已计算出柱子子任意高度x处的轴力为：：(0≤x≤H)则高度x处的正应力为为(0≤x≤H)根据虎克定律律，高度x处的应变为图4.17杆的轴力图轴向拉伸和压压缩(0≤x≤H)则应变在高度度H上积分，可得得柱子顶点处处的位移(方向向下)顶点位移由两两部分组成，，部部分是由顶点点集中力FP引起的，部部分是是由柱子自重重引起的。【例4.9】如图4.17所示，杆受轴轴向力作用，，，，，，材料为钢材材，弹性模量量为，，杆件的截截面面积，，求杆杆的总的纵向向变形。解:杆的总的纵向向变形就是沿沿着杆的长度度方向各段纵纵向变形之和和。(1)求轴力，并做做出轴力图，，如图4.17(b)所示。该杆可可分三段计算算轴力。AB段：FNAB=FP=20KNBC段：FNBC=0KNCD段：FNCD=-20KN(2)求杆总的纵向向变形。总的变形：轴向拉伸和压压缩AB段：BC段：CD段：【例4.10】一个矩形截面面杆件如图4.18所示，其截面面尺寸为，，材料料的弹性模量量。。杆件两端受受拉力FP作用，在纵向向100的长度内，杆杆伸长了0.05，在横向60范围内，杆的的尺寸缩小了了0.0093，试求：(1)该钢材的泊松松比；(2)杆件所受的轴轴向拉力FP。轴向拉伸和压压缩图4.18矩形截面杆解:(1)求泊松比。要要想通过上述述试验测出的的数值计算泊泊松比，首先先要计算出纵纵向线应变及及横向线应变变。杆件的纵向线线应变杆件的横向线线应变求泊松比μ(2)计算杆受到的的轴向拉力。。由虎克定律律，，计计算图示杆件件在作用下任任一横截面上上的正应力又按照应力的的计算公式，，可可求得在FP作用下，杆件件横截面上的的轴力：轴向拉伸和压压缩该杆为二力杆杆，任一截面面上的轴力与与两端拉力相相等，即，，所以该杆杆受到的轴向向外力。。五、材料在拉拉伸和压缩时时的力学性质质在对杆件进行行强度、刚度度和稳定性的的计算时，必必须知道材料料在外力作用用下的力学性性能，如4.2.4小节提到的弹弹性模量和泊泊松比，都属属于材料的力力学性能。材材料的力学性性能要通过试试验来测定，，本节主要介介绍工程中常常用材料在拉拉伸和压缩时时的力学性能能。1.低碳钢的力学学性质低碳钢是建筑筑工程中最常常用的材料之之一，在拉伸伸时表现出的的力学现象比比较全面。1)低碳钢的拉伸伸实验实验通常是在在常温、静载载条件下进行行的。按照国国家标准的规规定，将材料料做成标准试试件。常用标标准试件有圆圆形截面和矩矩形截面两种种。图4.19(a)和4.19(b)分别为圆截面面试件和矩形形截面试件。。试件中间一一段为等截面面，在该段中中标出长度为为l0的一段称为工工作段，工作作段的长度l0称为“标距””。它与横截截面尺寸有规规定的比例。。常用的标距距比例有两种种：轴向拉伸和压压缩圆形截面：和和矩形截面：和和图4.19标准试件试验时，将试试件安装在试试验机上，然然后缓缓加载载使试件承受受轴向拉伸。。试验过程中中，测量并记记录试件的受受力和变形，，直到试件拉拉断时为止。。一般试验机机均附有自动动绘图装置，，能自动绘出出荷载值FP与伸长量Δl之间的关系曲曲线，该曲线线反映了试件件所受拉力F与相应伸长量量Δl之间的关系，，称为试件的的拉伸图。如如图4.20所示为低碳钢钢的拉伸实验验时的荷载-变形图。图4.20低碳钢拉伸的的荷载-变形图FP—比例极限荷载载；Fs—屈服荷载；Fb—最大荷载显然，试件的的拉伸量与试试件尺寸有关关。为了消除除试件尺寸的的影响，将横横坐标除以试试验段的标距距l0，即；；将纵纵坐标Fp除以杆件的横横截面面积A，即，，画出以ε轴向拉伸和压压缩为横坐标，以以σ为纵坐标的曲曲线，由此得得到的曲线称称为应力-应变曲线，也也称为曲曲线。该曲曲线只反映材材料本身的力力学性质，与与构件的几何何尺寸无关。。如图4.21所示为低碳钢钢拉伸的应力力-应变曲线。图4.21低碳钢拉伸的的应力-应变曲线2)低碳钢变形发发展的四个阶阶段从图4.21中可以看出，，低碳钢在整整个拉伸过程程中，大致可可分为四个阶阶段。(1)弹性阶段：图图4.21中的Ob段，若试件内内应力不超过过b点的应力值。。卸除载荷后后，应力和应应变沿bo线回到原点O，变形可以全全部消失，即即变形全部是是弹性的，这这一阶段称为为弹性阶段，，弹性阶段的的最高点所对对应的应力值值称为弹性极极限，用σe表示。这一阶段又可可分为两部分分：Oa段为直线段，，应力与应变变成正比，材材料符合虎克克定律，该段段最高点的应应力值称为比比例极限，用用符号σP表示。低碳钢钢的比例极限限大约为200MPa。ab段是一段很短短的微弯曲线线。虽然弹性极限限和比例极限限意义不同，，但是弹性极极限和比例极极限的数值十十分接近，工工程中常将这这两个名字不不加区别，统统称为弹性极极限，近似认认为在弹性极极限内材料服服从虎克定律律。在弹性阶段还还可以看出，，Oa段直线的斜率率为，可见，，此阶段可以以通过测定直直线的斜率来来确定材料的的弹性模量。。低碳钢的弹弹性模量约为为(200～210)GPa。(2)屈服阶段：(对应图4.21中的段)图中接近水平平的锯齿形线线段，此时应应力几乎不变变，而应变却却急剧增加，，表明材料已已失去抵抗变变形的能力。。这种现象称称为屈服或流流动。屈服阶阶段最低点所所对应的应力力称为屈服极极限或流动极极限，用σs表示。低碳钢钢的屈服极限限约为240MPa。如果试件表面面光滑，当材材料屈服时在在试件表面将将出现与试件件轴线约成45°角的倾斜条纹纹。此条纹称称滑移线。它它由于轴向拉拉伸时45°斜面上产生了了最大剪应力力，使材料内内部晶格间发发生相对滑移移而引起的。。屈服阶段材材料将产生很很大的塑性变变形，工程中中的杆件不允允许产生很大大的塑性变形形，所以设计计中常取屈服服极限为σs材料的强度指指标。(3)强化阶段：图图4.21中的cd阶段。材料在在经过了屈服服阶段后又增增强了抵抗变变形的能力。。此时，要使使材料继续变变形需要增大大拉力，这种种现象称为强强化。强化阶阶段的最高点点所对应的应应力，称为材材料的强度极极限，用σb表示。低碳钢钢的强度极限限约为480MPa。(4)颈缩阶段：图图4.21中的de段，在应力达达到强度极限限σb后，应力-应变曲线开始始出现下降段段。此时，试试件某一局部部范围内横截截面积显著缩缩小产生所谓谓的颈缩现象象。颈缩现象象出现后，继继续拉伸所需需荷载迅速减减小，最后导导致试件断裂裂。综上所述，低碳钢钢在整个拉伸过程程中，经历了弹性性、屈服、强化和和颈缩四个阶段，，并存在三个特征征点，其相应的应应力分别为比例极极限、屈服极限和和强度极限，其中中屈服极限和强度度极限是衡量其强强度的主要指标。。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩3)低碳钢的冷作硬化化在应力超过屈服极极限之后，如果在在强化阶段某一点点(如图4.21中的k点)卸载，则卸载时应应力-应变曲线将沿直线线kO’回到应力零点O’，直线O’k几乎平行于线段Oa，这说明在卸载过过程中，卸去的应应力与卸去的应变变成正比，图4.21中卸载后消失的应应变O’k’为弹性应变，保留留下的应变OO’为塑性应变。若卸载后再加载，，则应力-应变曲线大致沿着着卸载时的路径(直线O’k)，直到k点后才开始出现塑塑性变形，以后的的应力-应变曲线与第一次次加载时大致相同同。第二次加载的的应力-应变曲线，在k点以前，材料的变变形是弹性的，过过k点后开始出现塑性性变形，即第二次次加载时，材料的的比例极限提高，，而塑性变形有所所降低，这种现象象称为冷作硬化。。工程中经常利用用冷作硬化提高材材料在弹性范围内内的承载能力。例例如把钢筋冷拉，，以提高抗拉强度度。但是，经过冷冷拉的材料，强度度提高了，其塑性性会有所降低。4)塑性指标试件拉断后，弹性性变形全部消失，，而塑性变形则保保留了下来，工程程中常用试件拉断断后保留下来的塑塑性变形的大小来来表示材料的塑性性性质。表征材料料塑性性质的有延延伸率和断面收缩缩率两个指标。(1)延伸率。将拉断的的试件拼在一起，，量出断裂后的标标距长度l1，习惯上把断裂后后的标距长度l1与原标距长度l0的差值除以原标距距长度l的百分率称为材料料的延伸率，用符符号δ表示：轴向拉伸和压缩(4-18)低碳钢的延伸率约约为20%~30%。延伸率表示试件直直到拉断时塑性变变形所能达到的最最大程度。δ越大，表示材料的的塑性越好。工程程中常按延伸率的的大小将材料分为为两类：δ≥5%的材料为塑性材料料，例如低碳钢、、低合金钢、铝合合金等；δ<5%的材料为脆性材料料，例如混凝土、、铸铁、砖、石材材等。拉伸试验表表明，低碳钢是一一种抗拉能力良好好的塑性材料。(2)断面收缩率。测出出断裂试件颈缩处处的最小横截面面面积A1，原试件的横截面面面积A0与A1的差值除以原试件件的横截面面积A0的百分率称为断面面收缩率，用符号号Ψ表示：(4-19)低碳钢的断面收缩缩率约为60%~70%。2.铸铁的力学性质铸铁是一种典型的的脆性材料。如图4.22所示的曲线1为(虚线表示)铸铁拉伸时的应力力-应变图。从图中可可以看出，图线没没有明显的直线部部分，没有屈服阶阶段。试验表明构构件在拉应力很小小的情况下就被突突然拉断了，并且且拉断之前没有明明显的颈缩现象，，变形也很小，拉拉断时的应力是衡衡量它强度的惟一一指标，称为抗拉拉强度，用σb表示。可见铸铁的的拉伸强度很小，，抗拉能力差，在在工程中不宜用作作抗拉构件。轴向拉伸和压缩图4.22铸铁拉伸、压缩时时的应力-应变曲线铸铁压缩时的应力力-应变曲线如图中曲曲线2(实线表示)。将曲线1与曲线2比较可以看出，铸铸铁压缩时也没有有明显的直线部分分及屈服阶段。压压坏时的应力是衡衡量它强度的唯一一指标，称为抗压压强度，用σbc表示。铸铁的抗压压强度大约是抗拉拉强度的(4~5)倍，压缩时的变形形也比拉伸时大。。可见，铸铁是一一种抗压性能好而而抗拉性能差的材材料，工程中常用用作抗压构件，也也常用来做动力机机械、桥梁的底座座。3.其他常用材料的力力学性质建筑工程中用到的的材料很多，按按延伸率可以分为为塑性材料和脆性性材料两类。塑性性材料拉伸和压缩缩时的弹性极限、、屈服极限基本相相同，应力超过弹弹性极限后有屈服服现象，破坏前有有明显的预兆，延延伸率和断面收缩缩率都较大。脆性性材料(混凝土、砖石等)压缩强度大于拉伸伸强度，破坏前没没有明显的预兆，，是突然发生的，，延伸率较小。一般情况下，塑性性材料的抗拉、抗抗压能力都较好，，既能用于受拉构构件，也能用于受受压构件。但在工工程中实际选用材材料时，不但要考考虑材料的力学性性能，还要考虑经经济因素。例如建建筑工程中很少用用低碳钢作为受压压构件，而常用混混凝土等材料做成成受压构件。影响材料力学性能能的因素是很多的的，上述材料的性性质是在常温、静静荷载条件下得出出的。若环境因素素发生变化(如温度变化、动动力荷载)，则材料的性质质也会发生变化化。轴向拉伸和压缩缩六、轴向拉伸杆杆件的强度计算算根据杆件承受外外力的大小便可可算出截面上应应力的大小，当当外力增大时，，截面上的应力力也加大。但是是任何材料的杆杆件其截面应力力的增长都存在在一个固有的极极限，超过此极极限时，杆件就就要破坏，例如如杆件断裂或虽虽不断裂，但出出现不可恢复的的塑性变形而丧丧失承载能力，，不能正常工作作。这时的材料料应力称为极限限应力，即材料料丧失工作能力力时的应力，以以符号σ0表示，其值由试试验确定。在设计杆件时，，有很多情况难难以估计。为了了保证构件有足足够的强度，还还必须有足够的的安全储备，使使杆件在荷载作作用下所引起的的最大应力小于于材料的极限应应力。通过大量量调查研究，给给各种材料分别别规定了一个可可以作为设计依依据，且比极限限应力小得多的的应力，即杆件件在工作时允许许承受的最大工工作应力，我们们称为许用应力力或容许应力(见表4-2)，以符号[σ]表示。许用应力力等于极限应力力除以安全系数数n，即(4-20)式中，σ0表示材料的极限限应力。安全系数n是一个大于1的系数，安全系系数的确定应考考虑以下几个方方面的因素。轴向拉伸和压缩缩(1)实际荷载与设计计荷载的出入。。(2)材料性质的不均均匀。建筑力学学假设材料均匀匀连续、各向同同性，但实际情情况并非如如此此。(3)计算结果的近似似性。在计算杆杆件的内力、应应力和变形时，，都对具体结构构做了不同的简简化和近似性的的假设，这就使使得计算结果与与实际情况有了了差距。(4)施工、制造和使使用时的条件影影响。施工、制制造和使用条件件不同，也会影影响杆件的强度度。例如，混凝凝土是机械拌制制还是人工拌制制，是现场浇注注还是工厂预制制都会影响杆件件的强度，对木木结构、钢结构构，大气的含水水量、温度变化化都会影响其强强度。综上所述，安全全系数的确定涉涉及工程的方方方面面，不仅仅仅是力学问题。。选取安全系数数的原则是：在在保证杆件安全全可靠的前提下下，尽可能减小小安全系数，提提高容许应力。。确定材料的安安全系数是一项项严肃的工作，，安全系数低了了，不安全，安安全系数高了，，浪费材料。通通常安全系数由由国家指定的专专门机构制定。。目前建筑工程程中的安全系数数取值，对塑性性材料，破坏前前有明显的预兆兆，一般取1.4~1.7；脆性材料破坏坏前没有明显的的征兆，破坏是是突然的，所以以安全系数取得得较大，一般取取2.5~3.0。轴向拉伸和压缩缩表4-2常用材料的容许许应力值材料抗拉/MPa抗压/MPa钢Q215、Q23516锰钢140~170215~240140~170215~240轴向拉压杆要满满足强度要求，，就必须保证杆杆件的最大工作作应力不超过材材料的许用应力力。即(4-21a)对等截面杆，上上式可写成(4-21b)式(4-21)就是拉(压)杆的强度条件。。如果最大应力力与许用应力相相等，则说明安安全与经济达到到了统一。如果果最大应力远小小于容许应力，，则说明材料浪浪费了。如果最最大应力大于容容许应力，说明明强度储备不足足，安全程度没没有达到标准。。根据强度条件公公式，可以解决决实际工程中的的三类问题。轴向拉伸和压缩缩①强度校核：：已知杆件所受受的荷载、杆件件尺寸及材料的的容许应力，根根据式(4-21)可校核杆件是否否满足强度要求求。②截面选择：：已知杆件所受受的荷载及材料料的容许应力，，确定杆件所用用的最小截面积积，可用下式计计算，，求出截面积后后，可进一步根根据相关条件，，确定有关尺寸寸。③确定许用荷荷载：已知杆件件的横截面积和和材料的容许应应力，确定许用用荷载，先用下下式计算最大许许用轴力，，然后可可根据实际情况况下轴力与荷载载的平衡关系，，进一步计算许许用荷载。说明：利用强度度条件对受压直直杆进行计算，，仅对由强度较较低的材料制成成、横截面尺寸寸较大的杆件适适用(如由木材、素混混凝土、砌体材材料制成的受压压柱)。而对于由高强强度材料制成的的受压杆件，承承载能力主要取取决于稳定性，，例如由低碳钢钢制成的受压杆杆，一般在工作作应力远小于其其材料容许应力力的情况下，突突然发生失稳破破坏。轴向拉伸和压缩缩【例4.11】】一钢筋筋混凝凝土组组合屋屋架的的计算算简图图如图图4.23所示。。其中中，，屋顶顶的上上弦杆杆由钢钢筋混混凝土土制成成，下下弦杆杆为圆圆截面面钢拉拉杆，，直径径为2.2cm。钢的的容许许拉应应力为为，，试校校核该该拉杆杆的强强度。。图中中尺寸寸单位位为mm。图4.23钢筋混混凝土土组合合屋架架解:(1)求支座座反力力FA和FB。把屋屋架整整体作作为研研究对对象，，根据据和，，可求求出FA和FB。结构构和荷荷载均均左右右对称称，FA和FB必相等等，所所以(2)求拉杆杆的内内力FN。用截截面法法取左左边部部分为为隔离离体，，如图图4.23(b)所示，，以铰铰C为矩心心，建建立平平衡方方程轴向拉拉伸和和压缩缩(3)求拉杆杆上的的正应应力σ，先求求拉杆杆的横横截面面面积积由于，，所以以拉杆杆安全全。【例4.12】】如图4.24所示，，一铸铸铁圆圆筒，，顶部部承受受压力力，，筒的的外径径，，已已知铸铸铁的的容许许应力力，，试求求筒壁壁的厚厚度t，筒的的自重重略去去不计计。解:先求所所需的的横截截面积积A，将及及代代入，，得圆环面面积为为轴向拉拉伸和和压缩缩圆筒的的内径径值图4.24铸铁圆圆筒由此可可得筒筒的内内壁厚厚为实际工工程中中可选选用，，即筒筒的内内径为为20cm。【例4.13】】如图4.25所示的的三角角架，，AB为钢拉拉杆长长1.5m，横截截面积积为，，容容许应应力，，倾倾角为为45°°；BC为木杆杆，横横截面面积为为120cm2，容许许应力力为。。试试求结结构的的容许许荷载载。解:(1)取B结点为为隔离离体。。轴向拉拉伸和和压缩缩由，，得得①①由，，得得②②联合求求解①①和②②可得得③④图4.25三角架架(2)根据拉拉压杆杆的应应力强强度条条件求求出杆杆件的的最大大轴力力。假设杆杆AB充分发发挥作作用，，使其其应力力达到到容许许值时时相应应的最最大轴轴力为为：将此值值代入入③，，求得得容许许荷载载再假设设杆BC充分发发挥作作用，，使其其应力力达到到容许许值时时相应应的最最大轴轴力为为：轴向拉拉伸和和压缩缩将此值值代入入④，，求得得容许许荷载载取和和取取较小小者，，即为为结构构的容容许荷荷载。。杆件的的剪切切和扭扭转一、剪剪切和和挤压压的概概念在工程程中常常遇到到这样样一类类构件件：构构件受受到一一对大大小相相等、、方向向相反反、作作用线线平行行且相相距很很近的的横向向外力力，如如图4.26所示，，在外外力作作用下下，两两力之之间的的截面面沿着着力的的方向向产生生相对对错动动，习习惯上上称为为剪切切变形形，如如图4.27所示。。通常常把相相对错错动的的截面面叫剪剪切面面，剪剪切面面上的的内力力称为为剪力力，与与剪力力相应应的应应力为为剪应应力。。图4.27只有一一个剪剪切面面(单剪)，而图图4.28有两个个剪切切面(双剪)。图4.26剪切杆件的的剪切切和扭扭转图4.27单剪图图4.28双剪构件在在受剪剪切时时，常常伴随随着挤挤压现现象。。挤压压面上上的内内力称称为挤挤压力力，引引起的的应力力称为为挤压压应力力。二、剪剪切和和挤压压的实实用计计算1.剪切实实用计计算如图4.29所示，，假定定剪应应力在在剪切切面上上是均均匀分分布的的，为为使构构件不不发生生剪切切破坏坏，要要求剪剪应力力不超超过材材料容容许剪剪应力力，即即(4-22)杆件的的剪切切和扭扭转式中，，FQ、As分别表表示剪剪切面面上的的剪力力和面面积；；[τ]为容许许剪应应力，，容许许剪应应力是是仿照照连接接件的的实际际受力力情况况进行行剪切切实验验测定定的，，对于于钢材材，根根据试试验结结果，，常取取[τ]=(0.6~0.8)[σ]，式中中的[σ]为其容容许拉拉应力力。图4.29均匀分分布的的剪应应力2.挤压实实用计计算如图4.30所示，，受剪剪的构构件常常常伴伴随发发生挤挤压受受力。。图4.30挤压两接触触面上上的压压力称称为挤挤压力力FC、挤压压面面面积为为AC，挤压压面上上产生生的应应力叫叫挤压压应力力σC。在实实用计计算中中通常常用承承压面面在直直径面面上的的正投投影面面积A’C除挤压压力FC，所得得到的的平均均值作作为计计算挤挤压应应力。。即杆件的的剪切切和扭扭转(4-23)式中，，A’C为钉孔孔直径径d与板厚厚δ的乘积积。。挤压压强度度条件件为：：(4-24)式(4-24)中，[σC]为材料料的容容许挤挤压应应力。。三、扭扭矩和和扭矩矩图扭转变变形是是杆件件的基基本变变形之之一。。在垂垂直于于杆件件轴线线的两两平面面内，，作用用一对对大小小相等等、转转向相相反的的力偶偶时，，杆件件就产产生扭扭转变变形。。圆轴轴扭转转的变变形特特点是是杆件件的各各横截截面绕绕杆轴轴线发发生相相对转转动。。其中中杆件件在两两横截截面间间相对对转动动的角角度称称为扭扭转角角，用用ψ表示，如图4.31所示。杆件的剪切和扭转转图4.31扭转变形工程中，以扭转变变形为主的杆件很很常见，例如汽车车方向盘的操纵杆杆，搅拌器的主轴轴，钻井机的钻杆杆等。作用于轴上的外力力偶矩，由轴所传传递的功率和轴的的转速计算可得：：(4-25)式中，P为轴传递的功率(KW)；n为轴的转速(转/分)；Me为轴上的外力偶矩矩。。扭转圆轴横截面上上的内力扭矩仍可可以通过截面法来来分析，一般用右右手螺旋法则规定定扭矩的正负号，，即按右手螺旋法法则将扭矩T用矢量表示，若矢矢量T的指向离开截面，，则该扭矩为正，，反之为负。T的单位与力偶矩相相同，为或或。。反映圆轴各横截面面上扭矩随截面位位置不同而变化的的图形称为扭矩图图。扭矩图的绘制制与轴力图相似，，可由截面法求得得。四、剪应力互等等定理和剪切虎克克定律杆件的剪切和扭转转1.剪应力互等定理取受纯剪(四周只有剪应力无无正应力)的微平面单元体，，分别由力的和力力偶的平衡条件很很容易得到剪应力力互等定律：两个个互相垂直平面上上的剪应力大小相相等，其方向共同同指向(或背离)两个平面的交线，，如图4.32(d)所示。2.剪切虎克定律试验发现，材料在在线弹性范围内，，剪应力τ和剪应变γ成正比：(4-26)式(4-26)称为材料的剪切虎虎克定律，其中G为比例系数，也称称为材料的剪切弹弹性模量，单位与与弹性模量相同，，为Pa、MPa和GPa，其数值由试验测测得。γ为剪切变形中直角角的改变量，如图图4.32(d)所示。根据理论研究和试试验证实，对于各各向同性材料，在在弹性变形范围内内，剪切弹性模量量G、弹性模量E和泊松比μ之间有下列关系：：(4-27)杆件的剪切和扭转转五、圆轴扭转的的应力和强度条件件1.横截面上的应力受扭实心圆轴横截截面上的应力分布布要从三个方面考考虑：几何方面、、物理方面和静力力学方面。图4.32圆轴扭转的应力几何方面：假设实实心圆轴在扭转过过程中，横截面刚刚性转动，保持平平面。在图4.32(b)中，取微段杆长dx，杆两端横截面上上的扭矩为T，两横截面的相对对转角为dψ，杆外表面上任意意一点的剪应变为为γ，杆的半径为R，由几何关系有：：得(4-28)若横截面上半径为为ρ处剪应变为γρ，则有(4-29)杆件的剪切和扭转转式中，为单位长度度的扭转角，给定定截面上为常量，，由此可知，在同同一半径ρ的圆周上各点的剪剪应变相等，大小小与ρ成正比。物理方面：由剪切切虎克定律可知，，在线弹性范围内内，剪应力与剪应应变成正比。即式式(4-26)：故可得(4-30)受扭圆轴横截面上上剪应力与剪应变变的分布规律相同同。同一半径ρ的圆周上各点的剪剪应力τρ大小均相等，其值值与ρ成正比，方向与圆圆周周边相切。静力学方面：横截截面上的内力元素素τρdA的合力为零，组成成一个力偶即扭矩矩T。由平衡条件可得(4-31)整理可得(4-32)杆件的剪切和扭转转综合以上三方面，，得等直圆杆扭转转时横截面上任意意一点剪应力的计计算公式(4-33)(4-34)当ρ等于半径时，即为为圆杆实心圆轴为为外表面的剪应力力，也是该截面上上最大的剪应力τmax。(4-35)式中，Wp——圆轴横截面抗扭截截面模量，等于IP/R，实心圆轴为、、空心圆轴为，，单位位m3。【例4.14】横截面积相等的两两根圆轴，其一为为实心圆截面，另另一根为空心圆截截面。两轴的材料料，长度以及所受受的外扭矩均相等等。已知实心圆轴轴的直径D1=100mm，空心圆轴的外径径D2=120mm，外扭矩为20KNm，求：(1)实心轴横截面上的的最大剪应力，(2)空心圆轴横截面上上的最大剪应力。。杆件的剪切和扭转转解：(1)计算扭矩。由于空空心圆轴与实心圆圆轴所受的外扭矩矩相等，故两轴横横截面上的扭矩相相等。。(2)计算两轴横截面的的极惯性矩和抗扭扭截面模量。对于实心轴：因为空心轴的截面面和实心轴的面积积相等，故空心轴轴内径可由求求得为为空心圆轴的内外径径比为：杆件的剪切和扭转转所以空心圆轴的极极惯性矩和抗扭截截面模量分别为：：(3)计算剪应力。实心轴圆截面上的的最大剪应力为：：空心圆轴横截面上上的最大剪应力和和最小剪应力分别别为：杆件的剪切和扭转转从中我们可以看到到，空心圆轴的最最小剪应力为35.8MPa，大于实心圆轴的的最小剪应力；而而其最大剪应力为为64.9MPa，反而小于实心圆圆轴的最大剪应力力。由此可得，空空心圆轴的材料利利用率要比实心圆圆轴要高。因此，，在实际工程中，，为了充分利用截截面中心区域附近近的材料，可以将将这部分材料移到到距截面中心较远远处，即将实心轴轴改为空心轴，这这样在不增加材料料用量的条件下，，使截面的剪应力力趋于均匀，并因因此增大了截面的的抗扭截面模量，，提高了轴的抗扭扭截面承载能力。。2.圆轴扭转的强度计计算圆轴扭转强度计算算时，为确保安全全，材料的强度要要有一定的储备。。一般把极限剪应应力τ0除以大于1的安全系数，所得得结果称为许用剪剪应力，用[τ]表示，即(4-36)圆轴扭转时，杆内内各点均处于纯剪剪切状态，其强度度条件为：杆内最最大工作剪应力不不超过许用剪应力力，即(4-37)(4-38)杆件的剪切和扭转转与拉压杆的强度问问题相似，应用圆圆轴扭转的强度条条件可以解决圆轴轴扭转时的三类强强度问题，即进行行扭转强度校核、、圆轴截面尺寸设设计及确定容许荷荷载。六、圆轴扭转转的变形和刚度条条件由式(4-33)，有对上式积分可得两两个距离为的横截截面的相对扭转角角，即计算圆杆扭扭转变形的公式：：(4-39)式中，GIP为抗扭刚度，GIP越大，在同样扭矩矩下，杆的变形越越小。对于同种材材料，同种截面，，并承担同样扭矩矩的杆，长度越大大，变形越大，所所以工程上通常用用单位长度的扭转转角θ衡量杆件的变形程程度，即(4-40)杆件的剪切和扭转转等直圆杆扭转时，，除了要满足强度度条件外，还需满满足刚度要求。例例如机床的传动轴轴，如果刚度太小小，变形过大，会会影响加工精度。。等直圆杆扭转的的刚度条件为：将式(4-40)代入上式得：(4-41)(4-42)式中，Tmax、G、IP的单位分别为，Pa和m4，[θ]的单位为°/m即度/米。梁的弯曲应力及强强度计算一般情况下，建筑筑工程中的梁，既既承受弯矩，又承承受剪力，通过研研究可知，弯矩在在横截面上引起正正应力，剪力在横横截面上引起剪应应力。在计算梁的的强度时，两方面面都要考虑。一、纯弯曲梁横截截面上的正应力图4.33(a)为一个产生平面弯弯曲的矩形截面梁梁，平面弯曲指横横截面至少具有一一个对称轴且外力力作用在此对称平平面内时梁的弯曲曲。平面弯曲时，，梁的变