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文档简介
算法案例1.辗转相除法:例1求两个正数8251和6105的最大公约数。解:8251=6105×1+2146;6105=2146×2+1813;2146=1813×1+333;1813=333×5+148;333=148×2+37;148=37×4+0.则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。第一步,给定两个正数m,n第二步,计算m除以n所得到余数r第三步,m=n,n=r第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则返回第二步辗转相除法求最大公约数算法:思考:需不需要比较m,n的大小不需要否开始
输入两个正数m,nr=mMODnr=0?输出m结束m=nn=r是程序框图2.更相减损术:
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
翻译出来为:第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。 第二步:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.
解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,即:98-63=35;63-35=28;35-28=7;28-7=21;21-7=14;14-7=7.所以,98与63的最大公约数是7。练习2:用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(12)〖教学设计〗[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.x=5f=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7PRINTfEND程序点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项式求值问题,而且计算效率不高.n次多项式至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算案例2秦九韶算法[问题]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,当x=5时,多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.变为求几个一次式的值几个乘法几个加法?秦九韶《数书九章》.第一步,输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值第二步,将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1第三步,输入i次项的系数ai第四步,v=vx+ai,i=i-1第五步,若i>=0,则返回第三步,否则输出v算法分析:否程序框图开始输入n,an,x的值输入aii>=0?i=n-1v=anv=vx+aii=i-1输出v结束是 [问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?
进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统,约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.
可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.案例3进位制
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan-1…a1a0(k)(0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)意思是:(1)第一个数字an不能等于0;(2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k. k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1
+…+a1×k1+a0×k0.注意这是一个n+1位数.例题:把二进制数110011(2)化为十进制数.
分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.解:110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.
441例题:把89化为二进制的数.我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:289余数22202110251221210201把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到89=1011001(2).这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.[问题:]你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?解:第一步:先把三进制数化为十
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