南京市、盐城市2022届高三年级第一次模拟考试数学试卷及答案

2022届高三年级第一次模拟考试(一)数学(满分150分，考试时间120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合M＝{y|y＝sinx，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则M∩N等于()A.[－1，＋∞)B.[－1，0)C.[0，1]D.(0，1]2.在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0<q<1是数列{an}单调递减的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计，得数学成绩X～N(110，100)，则该班数学得分大于120分的学生人数约为()(参考数据：P(|X－μ|<σ)≈0.68，P(|X－μ|<2σ)≈0.95)A.16B.10C.8D.24.若f(α)＝cosα＋isinα(i为虚数单位)，则[f(α)]2等于()A.f(α)B.f(2α)C.2f(α)D.f(α2)5.已知直线eq\r(2)x＋y＋a＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为()A.－4或2B.－2或4C.－1±eq\r(3)D.－1±eq\r(6)6.在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0)，B(3，4)，向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，x＋y＝6，则|eq\o(AC,\s\up6(→))|的最小值为()A.1B.2C.eq\r(5)D.2eq\r(5)7.已知α＋β＝eq\f(π,4)(α>0，β>0)，则tanα＋tanβ的最小值为()A.eq\f(\r(2),2)B.1C.－2－2eq\r(2)D.－2＋2eq\r(2)8.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(ex－4，,x≤4，,（x－16）2－143，,x>4，)))则当x≥0时，f(2x)与f(x2)的大小关系是()A.f(2x)≤f(x2)B.f(2x)≥f(x2)C.f(2x)＝f(x2)D.不确定二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.若函数f(x)＝cos2x＋sinx，则下列关于f(x)的性质的说法中正确的有()A.函数f(x)为偶函数B.函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)既有最大值也有最小值D.函数f(x)有无数个零点10.若椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，则能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的b的值有()A.b＝eq\r(2)B.b＝eq\r(3)C.b＝2D.b＝eq\r(5)11.若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1，记在数列{an}的前n＋2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为Pn，则下列结论中正确的有()A.P1＝eq\f(1,3)B.P2n<P2n＋2C.P2n－1<P2nD.P2n－1＋P2n<P2n＋1＋P2n＋212.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2.记四棱锥P-ABCD的外接球为球O，平面PAD与平面PBC的交线为l，BC的中点为E，则下列结论中正确的有()A.l∥BCB.AB⊥PCC.平面PDE⊥平面PADD.l被球O截得的弦长为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若函数f(x)＝(x＋3)5＋(x＋m)5是奇函数，则m＝________．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3b，则cosB的最小值为________．15.计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制，一个十进制数n(n∈N*)可以表示成二进制数(a0a1a2…ak)2，k∈N，则n＝a0·2k＋a1·2k－1＋a2·2k－2＋…＋ak·20，其中a0＝1，当i≥1时，ai∈{0，1}．若记a0，a1，a2，…，ak中1的个数为f(n)，则满足k＝6，f(n)＝3的n的个数为________．16.已知：若函数f(x)，g(x)在R上可导，f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x)．英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，则a0＝________，eq\i\su(n＝1,10,)eq\f(an＋1,nan)＝________．(第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)从①sinD＝sinA；②S△ABC＝3S△BCD；③eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝－4这三个条件中，任选一个补充在下面的横线中，并完成解答．已知点D在△ABC内，cosA>cosD，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若________，求△ABC的面积．

18.(12分)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2.(1)若{bn}是公差为3的等差数列，求证：{abn}也是等差数列；(2)若{abn}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和．

19.(12分)佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断地进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔的人数y125010501000900(1)请利用所给数据求不戴头盔的人数y与年度序号x之间的回归直线方程y＝bx＋a，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；(2)交警统计2018～2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式和数据：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879

20.(12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D为AC的中点，平面AB1C⊥平面ABC.(1)求证：B1D⊥平面ABC；(2)求直线C1D与平面AB1C所成角的正弦值．

21.(12分)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，虚轴长为eq\r(2)，两准线间的距离为eq\f(2\r(6),3).(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值．

22.(12分)设函数f(x)＝－3lnx＋x3＋ax2－2ax，a∈R.(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若x1，x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点，设点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，求证：k＋2<x1＋x2.2022届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学参考答案1.D2.C3.C4.B5.A6.D7.D8.B9.CD10.ABC11.AB12.ABD13.－314.eq\f(2\r(,2),3)15.1516.1eq\f(20,11)17.若选①.因为cosA＞cosD，A∈(0，π)，D∈(0，π)，所以A＜D.又sinD＝sinA，所以D＋A＝π，所以cosD＝－cosA．(4分)设BC＝x，在△ABC与△BCD中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(42＋62－x2,2×4×6)，cosD＝eq\f(DB2＋DC2－BC2,2DB·DC)＝eq\f(42＋22－x2,2×4×2)，所以eq\f(42＋22－x2,2×4×2)＝－eq\f(42＋62－x2,2×4×6)，(6分)解得x2＝28,所以cosA＝eq\f(42＋62－28,2×4×6)＝eq\f(1,2).(8分)因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×6×4×eq\f(\r(,3),2)＝6eq\r(,3).(10分)若选②.因为S△ABC＝3S△BCD，所以eq\f(1,2)AB·ACsinA＝3×eq\f(1,2)DB·DCsinD.又AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，所以eq\f(1,2)×6×4sinA＝3×eq\f(1,2)×4×2sinD，所以sinD＝sinA．(2分)因为cosA>cosD，A∈(0，π)，D∈(0，π)，所以A<D.又sinD＝sinA，所以D＋A＝π，所以cosD＝－cosA．(4分)设BC＝x，在△ABC与△BCD中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(42＋62－x2,2×4×6)，cosD＝eq\f(DB2＋DC2－BC2,2DB·DC)＝eq\f(42＋22－x2,2×4×2)，所以eq\f(42＋22－x2,2×4×2)＝－eq\f(42＋62－x2,2×4×6)，(6分)解得x2＝28，所以cosA＝eq\f(42＋62－28,2×4×6)＝eq\f(1,2).(8分)因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×6×4×eq\f(\r(,3),2)＝6eq\r(,3).(10分)若选③.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cosD＝DB2＋DC2－2eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝42＋22－2×(－4)＝28.(4分)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(42＋62－28,2×4×6)＝eq\f(1,2).(8分)因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×6×4×eq\f(\r(,3),2)＝6eq\r(,3).(10分)18.(1)因为{bn}是公差为3的等差数列，所以bn＋1－bn＝3.(2分)又an＝2n＋4，所以abn＋1－abn＝2(bn＋1＋4)－2(bn＋4)＝2(bn＋1－bn)＝6，所以{abn}是等差数列．(6分)注：写出bn＝3n－1得2分．(2)因为{abn}是公比为2的等比数列，首项为ab1＝a2＝2×2＋4＝8，所以abn＝8×2n－1＝2n＋2.(8分)又abn＝2bn＋4＝2n＋2，所以bn＝2n＋1－2，(10分)则数列{bn}的前n项和为Sn＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－2n＝2n＋2－2n－4.(12分)19.(1)由表中数据知，x＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，y＝eq\f(1250＋1050＋1000＋900,4)＝1050，所以b＝＝eq\f(9950－10500,30－25)＝－110，(2分)所以a＝y－bx＝1050－(－110)×eq\f(5,2)＝1325，故所求的回归直线方程为y＝－110x＋1325.(4分)令x＝5，则y＝－110×5＋1325＝775(人)，故该路口2022年不戴头盔的人数约为775.(6分)(2)提出假设H0：不戴头盔行为与事故伤亡无关．由表中数据，得K2＝eq\f(50×（7×27－3×13）2,10×30×40×20)＝4.6875>3.841.(9分)又P(K2≥3.841)＝0.05，所以有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．(12分)20.(1)因为AB1＝B1C，D为AC的中点，所以B1D⊥AC.(2分)因为平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，B1D⊂平面AB1C，所以B1D⊥平面ABC.(5分)(2)方法一：在平面ABC内过点D分别作AB，BC的平行线，交AB，BC于点E，F.由(1)知B1D⊥平面ABC，AB⊥BC，以{eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))}为基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(7分)因为AB＝8，BC＝6，所以AC＝10，BD＝5.因为AA1＝BB1＝13，所以B1D＝12，则D(0，0，0)，A(3，－4，0)，B(3，4，0)，C(－3，4，0)，B1(0，0，12)．设点C1(x，y，z)，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(B1C1,\s\up6(→))，得(－6，0，0)＝(x，y，z－12)，即点C1(－6，0，12)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－6，8，0)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－3，4，－12)，eq\o(C1D,\s\up6(→))＝(6，0，－12)．设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝－6x＋8y＝0，,n·\o(B1C,\s\up6(→))＝－3x＋4y－12z＝0，))整理得3x＝4y，z＝0.不妨取x＝4，则平面AB1C的一个法向量为n＝(4，3，0)．(10分)设直线C1D与平面AB1C所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(C1D,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(C1D,\s\up6(→))|,|n|·|\o(C1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(|6×4＋0×3＋（－12）×0|,5×\r(,62＋02＋（－12）2))＝eq\f(4\r(,5),25).(12分)方法二：设B1C∩BC1＝M，由BM＝MC1知点C1到平面AB1C的距离d和点B到平面AB1C的距离相等．过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接C1H.因为BH⊥AC，平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，BH⊂平面ABC，所以BH⊥平面AB1C，则BH为点B到平面AB1C的距离．(7分)在Rt△ABC中，易知d＝BH＝eq\f(6×8,10)＝eq\f(24,5).(9分)由(1)知B1D⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以B1D⊥BC.因为B1C1∥BC，所以B1D⊥B1C1，则△B1DC1为直角三角形．因为AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，所以AC＝10，BD＝5.因为AA1＝BB1＝13，所以B1D＝12.因为B1C1＝BC＝6，所以C1D＝eq\r(,62＋122)＝6eq\r(,5).(11分)设直线BC1与平面AB1C所成的角为θ，则sinθ＝eq\f(d,C1D)＝eq\f(\f(24,5),6\r(,5))＝eq\f(4\r(,5),25).(12分)21.(1)由虚轴长为eq\r(,2)，得b＝eq\f(\r(,2),2)，(1分)由两准线间的距离为eq\f(2\r(,6),3)，得eq\f(a2,c)＝eq\f(\r(,6),3)，(2分)则3a4＝2c2＝2(a2＋b2)＝2(a2＋eq\f(1,2))，解得a2＝1，故双曲线的方程为x2－2y2＝1.(4分)(2)①若动直线l的斜率不存在，则设l：x＝t，代入双曲线方程，得P(t，eq\r(,\f(t2－1,2)))，Q(t，－eq\r(,\f(t2－1,2)))．由AP⊥AQ，得(t－1)2－eq\f(t2－1,2)＝0，解得t＝3或t＝1(舍去)，此时点A到直线l的距离为d＝2.(6分)②若动直线l的斜率存在，则可设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：y＝kx＋t，代入双曲线的方程，得(1－2k2)x2－4ktx－(2t2＋1)＝0，则x1＋x2＝eq\f(4kt,1－2k2)，x1x2＝－eq\f(2t2＋1,1－2k2).(8分)由AP⊥AQ，得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0.又y＝kx＋t，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，化简整理，得(1＋k2)x1x2＋(kt－1)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，将x1＋x2＝eq\f(4kt,1－2k2)，x1x2＝－eq\f(2t2＋1,1－2k2)代入化简，得(3k＋t)(k＋t)＝0.(10分)若k＋t＝0，则直线经过右顶点A，舍去；故3k＋t＝0，即直线经过定点M(3，0)，(11分)则d≤AM＝2.综上所述，d的最大值为2.(12分)22.(1)由f(x)＝－3lnx＋x3＋ax2－2ax，得f′(x)＝－eq\f(3,x)＋3x2＋2ax－2a，所以f′(1)＝0.又f(1)＝－3ln1＋13＋a·12－2a·1＝1－a，所