静电场中的导体和电介质教材习题

22-822-8第章电中导和介13.1带电量为，半径为的属球A，原先不带电、内外半径A分别为r和r的属球壳放置，如图所示，则图中P点场BC强度如何？若用导线将A和B起来A球势为多少设

C

B穷远处电势为零）

A

解：过点作一个同心球面作为斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q据高斯定理可得得0q点的电场强度为E．4r0当金属球壳内侧会感应出异种电时，外侧将出现同种电荷．用导线将和B连接起来后，正负电荷将中和球一个等势体，其电势等于球心的电势电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷球心的距离都是，以A球势为Uc

4

q

r0c

．13.2轴电缆是由半径为的圆柱和半径为R的薄圆筒构成的满对12介电常数为的匀电介质，沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别+和r通过介质内长为半径为r的封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？解：介质中的电场强度和电位移轴对称分布的．在内外半径之间作一个半SR2径为、为l圆柱形高斯面根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷即=qdlε设高斯面的侧面为，下两底分别为S和S．通斯面的电位移r012通量为

1

R

1

D

rS0ΦDdSDD2，dSSSS0可得电位移为D轴向外．电场强度为E==也直中心轴向外．0r0r13.3属球壳原来带有电量Q，内外半径分别为、b壳内距球心为r处有一点电荷q求球心o的势多？

S

2

b解：点电荷q内壳上感应出电，不论电荷如何分布，距离球心都

or

q

a为．外壳上就有电荷q+Q，距球为b球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为

图

o

0

0013.4块平行金属板AC是距d=2mm，1A相d=4mm、C接地板正电荷C，边缘2效应．求（1、C板电荷为多少？（2）A板电势为多少？

Bq图13.4

C解：A的左面的电荷密度分别为σ所电分和q121122在、C板分别感应异号电和，电守得程12q=q+1212

-8-8-8-89-912-7-2-7-2R100-8-8-8-89-912-7-2-7-2R100A、B间场强为E=、C间的场强为=110220设A板与B板势差和板C的的电势差相等，设为，=E，即11221122解联立方程①和③得qd+d所+d12121121221B、C的电荷分别为q=-q；q=-q．B1C2板电势差为E+d1111012012由于π10=00由于板和C的电势为零，以U=．A13.5无限大均匀带电平面A，带电量为，在它的附近放一块与A平的金属导体板B有一定的度，如图所示．则在板个表面

q

1

q

2

q和的感应电荷分别为多少？

P解：由于板B原不带电，两边应出电荷后，由电荷守恒得B

Aq12虽然两板是无限大的了算方便妨它的积S面电荷密度分别为q、q、σ1122它们产生的场强大小分别为E=1102200

图13.5在B板内取一点P，强零，其中面生的场强向右和A板生的场强向左，取向右的方向为正，可E-E即1212或者说q解量分别为q．1221213.6平行金属板带有等异号电，若两板的电势差为板间相σσ距为1.2mm略效应一个金属板表面的电荷密度各为多少？解：由于左板接地，所以σ．1由于两板之间的电荷相互吸引右的电荷会全部吸引到右板左

σσ34面，所以σ．4由于两板带等量异号的电荷，所σ23

图13.6两板之间的场强为E=E30所以面电荷密度分别为10=3002313.7球形电容器，内外球壳半分别为R和R，球壳与地面及其他物体相距很远．将内124R球用细导线接地面容可用公式C表示R21可看作两个球电容器的并联，且球半径>>）2R证：方法一：并联电容法．在外外面再接一个半径大壳，外3壳也接地．内球壳和外球壳之间一个电容器，电容为1RRC4412RR1221外球壳和大外球壳之间也是一个容器，电容为

R

1/6

2021200211R21002RR12122021200211R21002RR12121C4．1/R1/R23外球壳是一极，由于内球壳和大球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时并容为202RR1202．R2121方法二：电容定义法．假设外壳正电为q则内壳将感应电荷．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果由内球接其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为qq`0，此感应电荷为44R0201根据高斯定理可得两球壳之间的强为E由外球壳指向内球壳．

Rq`1q．R2R1424Rr002

表场强方向取外球壳指向内球壳的一条电力，两球壳之间的电势差为REdlR2球面间的电容为

RR

12

drR

RR2

(22021

4．

R1R0

2

4

R111()2RRR40212

R1R20213.8形电容器的内、外半径分为R和，一半充满相对介电常量12为均介质，求电容C为少？r1RRRo解：球形电容器的电容为4412．RRRR12对于半球来说，由于相对面减少了一半所以电容也减少一半：RC01当电容器中充介质时，电容为：C0r12．RRR21212(1R由于内球是一极，外球是一极，以两个电容器并联：12RR213.9板面积为的平板电容析板间有两层介质，介电常量分别

εr．为和厚别为和d，电器电．1212解：假设在两介质的介面插入一导体，可知两个电容器串联，电容分别为和．111222

12

12总电容的倒数为总电容为C

111dCCC11．1

ddd112SS2

，圆电容器是由半径为R的和与它同轴的内半径为R的圆筒构成的，其12长为其充满了介电常量为介．沿线位度线电荷为电荷为效应．求：（1）极的电势差U；（2）质中的电场强度E、位D；2/6

Rln．00234r33333122Rln．00234r33333122（3）容C它是真空时电容多少倍？解：介质中的电场强度和电位移轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为、为l的圆柱形高斯面，侧面为S，两底面分别为S和S．过面的电位移通量为012ΦDdSDDD2dSS012高斯面包围的自由电荷为q=介的高斯定理=q，d

R

2

S1

R

1可得电位为D=心外．电场强度为=D/外一条电力线为积分路径，电势差为E22Rl电容为．R)ql在真空时的电容为C0，以数C/C=UR/R)

l

S2

DS0

r在为的球外还一层半径为的匀质相电常量为金属12r球带电，：0（1）质层内、外D的；（2）质层内、外表面的极化荷面密度．解介质内，电场强度和位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为的高斯面，通过斯面的电位移通量ΦDdDd4，高dS斯面包围的自由电荷为q=Q据介质中的高斯定理=q，电位为=Q方0d0向沿着径向强度为E=Dr/4r方着径向．由DP，P0r00r01Qr=DE=(1)．之外是真空，真空可当作介电常量ε=1的介质处理，所0r3r以D=Q=Qr/4=000（2）介质层内靠近金属球处自由电荷产场为=Q化q00001的场强为q为=r．于E=E+E解化电荷为1000r0q`(，10r介质层内表面的极化电荷面密度

`1

q`14R

21

1Q(0．4R2r在介质层外表面，极化电荷为

2

1

，面密度为

`2

q`24R

1Q(1)0．24R22r2两容器电容之比C=，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比12为多少？如果把它们并联后接到源上充电，它们的静电能之比又是多少？解：两个电容器串联后充电，每电容器带电量是相同的，根据静电能量公式=QC，得静电能之比为W==1221两个电容器并联后充电，每个电器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W=CU得静电能之比为==1212一板电容器板面积为S板间距离为，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对电常量为的介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为r3/6

221122222-520r-42221122222-520r-42多少？解：平行板电容器的电容为C=面积减少一半时，电容为C；一半插入010电介质时，电容为C20r两个电容器并联，总电容为==12r0静电能为=CU

2

/2=r0

2

．一板电容器板面积为板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为时，电源，使电容的一半浸在相对介电常量为液中．求：r（1）容器的电容C（2）入液体后电容器的静电；（3）板上的自由电荷面密度解如述，两电容器并的电容为r0（2）容器充电前的电容为C充所带电量为Q=CU．000当电容器的一半浸在介质中后，容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W=Q

=C

0

U

2

C0

2

r（3）容器的一半浸入介质后真空的一半的电容为C；介质中的一半的电容为10C=两半的所带自由荷分别为Q和Q，20r12则Q+Q=Q①12由于=Q/U，U=QQ1122CC解联立方程得Q10CC1C1221Q2C2U真空中一半电容器的自由电荷面度为100S(1C(121r2CU同理，介质中一半电容器的自由荷面密度为0(112r

．．平电容器极板面积为200cm，距离为1.0mm，器内有一块1.0mm厚玻璃板容器与300V的源相连．求：r（1）持两极板电压不变抽出璃板，电容器的能量变化为多少？（2）开电源维持板上电量不，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？解：平行板电容器的电容为C=电为=CU00r00玻璃板抽出之后的电容为C=．0（1）持电压不变抽出玻璃板静电能为W=CU电能器能量变化为

2

．=-W=00r0（2）电后所带电量为=CU，0保持电量不变抽出玻璃板，静电为=Q

U电能器能量变化为W0

2

SU(1)0r

2

10设形电容器的内圆筒半径分别为试电容器能量的一半储存在半径R圆柱体内．解：设圆柱形电容器电荷线密度E，元为00dV=2元dW=wdV半径a到R的体储存的能量为4/6

2222222222WwdVV

V

02

E

2

dV

Ra

2lln4a00

．当R=b时量为

1

4

2

lblna0

；当

时，能量为W

2

4

2

lb2lblnlna8a00

，所以