距离的计算教案

§6距的计算●三维目标．知识与技能(1)理解立体几何中点到直线的距、点到平面的距离的概念．(2)掌握各种距离的计算方法．．过程与方法(1)通过空间中距离的计算，培养生运用算法化思想解决问题的能力．(2)通过对空间几何图形的探究，学生会恰当地建立空间直角坐标系．．情感、态度与价值观学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程高析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法探中化学生对空间距离求法的认识通具体例子，让学生感求空间距离时合法的“难”和向量法的“易”体会向量法在研究空间问题中的作用．三、教学建议．引导学生自主发现问题、分析问题并解决问题，比如，为什么引入空间距离？怎求空间距离？用向量法去求的优越性是什么？教学中以问题为主线导生体验探索全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识．．在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化的思想．．教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体，以向量法作为主要教学目标●教学流程

22探探索

应设情引课――空距的义空距的算式―通例，化比

尝空距的识→较合的难，量法“”――→通练进反矫小提炼思想方法：数形结合、化归转化，形成整体认识课标解读掌点直线的距离公式到面的距离公式．重点通转，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力(点【问题导思】

1.解点到直线的距离到平面的距离的概念．重)点到直线的距离．如图，已知向量是线l的向向量，点在直l上点是空间中一点，则→向量在的投影是什么？其几何意义是什么？→→→【提示】向量PA上投影.⊥l于′，则投影A的何意义是||有向线段′的数量．→．如何利用PA在上的投影点A到线l的距？【提示】由股定理得，＝

－PA

2

22222222∴d

→→－PA||利用向量求点A到直线l的离步骤：(1)找到直线l的向向量；(2)在直线l上任取一点；→(3)计算点到点的离；→→(4)计算在向量上投影；0→→(5)计算点到直线l的离d【问题导思】

－PA0点到平面的距离如图，已知向量是面π的法向量，点P在面π内点是空间中点，试用→向量在n上投影表示点A到面的离．→n【提示】＝|.|利用向量求点A到平面的离步骤：(1)找到平面π的向量；(2)在平面内取一点；→→(3)计算在向量的投PA；0

计

算

点

A

到

平

面

π

的

距

离

d

＝

→PA

·n|.0求点到直线的距离在长方体ABCD－BCD中，＝AB，AD＝1，点F，G分是AB，11111CC的点，求点D到线GF的离．11

→1122→1122→→→→【思路探究】⇒DFG⇒GD⇒GDG⇒1【自主解答】以D为标原点DADCDD所直线为坐标轴建立如图所示的空1间直角坐标系，则D，，G，1→于是有GF，－，－1)→GD＝，－，1→→GD2所以＝＝，GD＝5→3GF所以点到线距离1＝

→→→GFGD－＝11→GF|

5＝.Plll0→→→1已知ABCDEFGH是长为正方体若P在方体内部且满足＝＋AD2→＋AE，则到的距离为()1815B．C.D．66

22112211【解析】建如图所示空间直坐标系，则→1＝(1,0,0)＋＝，，)．2→又∵＝，→→→→AB3∴APA上的投影为A＝，→∴点到的离为【答案】A

→→－

→|＝AB→AB求点到平面的距离图2－如图－－直三棱柱－ABC的棱＝，底面ABC中C＝1190°，ACBC＝1求点到面的离．1【思路探究】→B11n→

ABn|

1111【自主解答】如建立空间直坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下(1,0,0)，B，，(0,0,0)，A，，，3)，11→→→∴＝(－1,1，－，AC＝－1,0－，BA＝，－1,0)．1设平面的个法向量为n，，)，1则

→nB＝01→nC1

y－3＝⇒z＝0

⇒

3z＝即n＝－3，→B|所以，点到面的距离d＝11n．(1)(2)图2－如图－6－所示正体ABCD－BD中棱为1求A到面AD的111距离．→→→【解】以D为原点建立空间直角坐标系，A＝(0,0,1)，＝－，AD＝－111,0,1)，设平面ADC的个法向量为n＝(x，y,，1

11则

→n＝01→n＝，，得则，→AA1∴＝，d＝＝.|3求直线与平面的距离图2－如图－－所示，在已知直四棱柱ABCDAC中底面为直角梯形，111∥，且∠＝，＝1，＝，＝，＝2，E是CC的中点．求111与平面ABE的离．【思路探究】AAB11ABAABEABE111【自主解答】如所示以为点以DADD所在直线分别为x轴轴1z轴立空间直角坐标系，则A，AE(0，3，1)，1过作的线交AB于F，易得＝3∴30)，

1111→→∴AB(0,23，BE＝－，－，．设平面法向量为＝(x，y，z，则由

→n＝，→n＝0

y＝0得y＋＝，∴y＝，x＝，妨取n＝(1,0,1)．∵直线B∥面，1∴直线B到面ABE的离等于点到面的离．11→∵AA＝(0,0,2)，1→n∴B到平面ABE的距离AA＝＝2.|2四棱锥P－中四边形ABCD正方形PD⊥平面，＝＝，，E分为AD，的点．(1)证明：DE∥平面PFB(2)求点到平面PFB的离．【解】证：以为点，建如图所示的空间直角坐标系．→→→则(0,0,2)，，(2,2,0)，(0,1,1)，＝－1,0,2)，＝(1,2,0)DE，→→→→∴＝FP＋FB∴∥平面又∵D平面，∴DE∥面．(2)∵DE平面PFB，∴E到平面的离等于D到面的离．设平面PFB

22的一个法向量＝x，y，)，则

→n＝0，→n＝

，0，→令x＝2，得y，＝∴＝，－1,1)，FD＝(－．→∴

D

到

平

面

PFB

的

距

离

为

d

|FD·n＝＝|

＝

利用向量求点到平面的距离的常错误在四棱锥－中底面是形PA平面，＝AD，＝2以AC为径的球面交PD于M，点，求点N到面的距离【错因分析】ACPDMN(2)N→(3)0【防范措施】(1)认真分析图形性质进行合理转化；(3)掌握好公式，尤其是公式中各个量的几何意义．【正解】分以ABADAP为x轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，P，B，(2,4,0)，，(0,2,2)，→

→

→∴＝，AM＝(0,2,2)设平面的一个法向量＝(，yz，由，n→⊥AM，可0，

令z＝1，则＝(2，－1,1)．由已知得⊥在eq\o\ac(△,Rt)PAC中＝PNPC以＝＝PC－PN，3

－22－22NC5＝.PC→P所以所求距离为点P平面ACM距的点到平面ACM距离为＝.n3所以点到面的离为空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离

直线l过点A向量为n＝P到l的离为()B．2

D．2【解析】

→→→nPA＝(－2,0，－，|＝5，＝，点P到线l的离＝n2→→nPA－|＝|【答案】A

3－＝2图2－．如图－6－所示，正方体ABCD－ABD的长为1，O是面CD的中11111心，则O到面的距离()12B．4C.

3D．2

11111111【解析】建如图所示坐标系则D(0,0,0)，11O(，，1)，2→则A＝(1,0,1)，1→1AO＝－，，0)，12→由题意DA为面D的向量，O平面ABCD的离为111→→

DA2＝＝＝.→24DA1【答案】B．已知长方体－AD中AB，BC＝，＝，则点B到平面1111的距离为．【解析】如所示建立空间直坐标系，则B，11→→AC＝(－4,6,0)，＝，－3)11→→BC＝(－，B＝(0,6,0)，1设平面的向量为n＝x，y，)114解得＝，，)．3→AB29∴d＝|

→nA＝，11→nA＝，1【答案】

29

11．已知棱长为1的方体ACE、分别是B、CD的点．1111(1)求证：E、、、B共；(2)求点到面的DBEF的离．1【解】如，建立空间直角坐标系D－.则知，B，(0,0,0)，(，1,1)(0，，．12→→1(1)证明：由D(－，－，＝－，，0)，→→→得F＝D，EF∥，∴EF∥DB∴、F、、B共．(2)设n＝(x，y，z是平面的向量．→→→→由n⊥DB，⊥DF，DBDF＝(0，，1)得

→n＝x＋y＝0，→DF＝＋＝，

y，则z＝－y.→令y＝1，得＝(1,1，－)，DA＝，→则

A

1

到

平

面

DBEF

的

距

离

d

DA＝＝一、选择题．已知正方体ABCDCD的棱长为，则点与角线所直线间的距离111是)

222222D．

B．aC.2【解析】如建立空间直角坐系，则(a,0，a，(，0)，C(0，，a)．11→→∴＝，a，－a，AB＝2，1→→BC＝(－，a，＝21点到的离＝错误!)1＝

a

6－＝2【答案】A图2－如图－6－已ABC－A是各条棱长均等于a的三棱柱D是侧棱的111点，点到平面ABD的距离为()1

B

2C.aD【解析】∵ABB为正方形，B⊥AB，平面D⊥平面A，111111∴⊥面D，11→∴是平面ABD的个法向量，11由于CD＝CD，所以到平面D的离等于C到面D的离，11设点C平面AB的离为，则1

11111111111111→→→→→ACAB|ACA＋＝＝→aA1→→→→＝＝

A＋ACAB＋×a×60°|＝aa.【答案】A．正四棱柱ABCD－ABD中底面边长为2，侧棱长为，分为棱，11的中点EFBD＝G则棱锥－EFD的体积V等()1

316BC.3

D．16【解析】以D为标原点如所示的直角坐标系(22，1→E22，(2，22，DE＝(222－4)，1→→DF＝22－4)，B＝(22，，1→→→→DED∴cos<DE，F＝1DDF1＝

＝，26·→→∴D，F，113→→5所以eq\o\ac(△,S)EF＝DEDFD，F＝××26＝，12213又∵平面D的向量为n＝，2)，1→D|∴点到面DEF的离＝＝，1111616∴VB－EFD＝eq\o\ac(△,S)＝×5×＝.13133【答案】C

．△的点分别为(1，－，(5，－6,2)，(1,3，－1)则AC边的高BD等于)A5BC．4．25→→【解析】设AD＝，(，，)．则x－，y＋，2)＝(0,4，－．∴x＝，y＝λ－1，＝－3，→∴＝－4,4＋，－λ．∴4(4λ＋－3(－3)＝0∴＝－→12∴＝－，，)，5→∴＝

＋＋＝【答案】A．正方体ABCDABCD的长为，则平面ABD与面的距离()111111aB．3C.

3D．3【解析】由方体的性质易得面D∥面BDC，则两平面间的距离可转化为11点B到面D的距离．1明显，A⊥平面，D为坐标原点，DD所直线分别为x轴111轴z轴立间直角标系，则平面BD的个法向量为＝－(a,0,0)B，1→→n30)，＝，－0)，则两平面间的距离＝BA＝＝33【答案】D二、填空题若平面∥面β直l且平面与β之的距离为d下给出了四个命题：①内有且仅有一条直线与l的离等于d②内所有直线与l的距离等于d③内无数条直线与l距离等于；④内所有的直线与的离都等于D

22211112221111其中正确的命题的序号为．【解析】由面平行的性质可③④正确．【答案】③A(6,3,7)(－54,8)点D到面的离为________→→【解析】设面的向量＝(x，y，z，n＝，A＝0z＝，∴即0，x＝－z令z＝－，则＝，2)．y＝－→又AD＝(－，－∴点D到平面ABC的距离为d＝A

n|

＝

×49＝＝＋2＋17【答案】

17．设正方体ABCD－AC的棱长为，则点D到平面BD的距离．1111【解析】如建立空间直角坐系，则D，，，B，11→→→∴A＝(2,0,0)，DA＝(2,0,2)，＝(2,2,0)111设平面BD的向量＝，，，1则

→n＝2＋z＝0，1→n＝＋2＝0令x＝1，则＝，－1－，→DAn23∴点到面ABD的离＝＝＝|33【答案】

三、解答题

．已知正方体ABCD－ABCD的棱长为，点E是AD的点求点E到线111的距离．【解】建如图所示的空间直角坐标系．设EFF为足，由于的置未确→→定，设D＝DBλ∈，则F(，，0)．→∵＝，，，→→→1∴EF＝DF－DE(－，，)．→→→∵EF⊥DBDB(1,1,0)→→∴EFDB，即(－)λ∴＝→∴EF＝－，，．4→6∴＝，故点E到线BD的离为.4．正方体ABCD－D的棱长为1EF分为CD的中点，试求点到111平面AE距离．11【解】取所在直线分别为x轴轴轴建立空间直角坐标系如图，1则A，E(1,0，1D，(，，D．1

11→∴＝，－，D＝．11设平面DE的个法向量为＝x，y，．1则

→nE＝0，1→n＝，11

x－z＝0，即y＝令z＝，则x＝∴＝．→又F，，－，12∴点到面D的离1→1－2|AF23＝＝＝|511－6已－ABCD是面边长为1的四棱柱为C与D111111的交点．(1)设AB与面BCD所成角的大小为α角A－BD－的小β.证11111β＝2tan；(2)若点C到面ABD的离为，正四棱柱－AD的．113111图2－【解】设四棱柱的高为h(1)证明：连，1∵AA⊥面ABCD，1111∴∠ABA是AB与面CD所成角，11111∴∠ABA＝11∵在等腰eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)D中AO⊥D11又C，111∴∠AOA是面角A－BD－的个平面角，111∴∠AOA＝1

1AB1A1＋h＋1AB1A1＋h＋AA在eq\o\ac(△,Rt)中α＝＝；1111AA在eq\o\ac(△,Rt)A中β＝2111∴tan＝2tanα→(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0,0)B(1,0,0)D，，)，则A＝11→→(1,0－h，AD＝，－h)＝．1设平面D的向量为n＝(u，)．→→∵⊥，⊥AD，11→→∴＝，AD＝11＋由＋得＝h，＝∴＝，h，)．令＝1，得＝(，h,1)．由点C平面AB的离为1→＋h4＝＝＝，|

解

得

高

h

＝(教师用书独具在四棱锥O－ABCD中底边长为2的方形，⊥底面，＝，，R分别为OA，，AD的点求：直线N平面OCD的离，平面与面OCD的离．【思路探究】由意得到MN平面，平面∥平面OCD将线面距离、面面距离转化为点到面的距离求解．【自主解答】因为R分别为AO，