山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料第九编解析几何93圆方程(教案)理

高三数学（理）一轮复习教学设计第九编分析几何

总第

45期§9.3

圆的方程基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是.答案-2＜a＜232.圆x2+y2+2x-4y+1=0对于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是.答案1,4过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是

.答案

（x-1

）2+(y-1)

2=44.以点（

2，-1

）为圆心且与直线

3x-4y+5=0

相切的圆的方程为

.答案

(x-2)

2+(y+1)

2=95.直线

y=ax+b

经过第一、三、四象限，则圆（

x+a）2+(y+b)

2=r2

(r

＞0)的圆心位于第

象限.答案

二例题精讲例1已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为.答案x2+y2-4x=0例2已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2知足条件：y1+y2=4,y1y2=12m.5∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时＞0,圆心坐标为1,3，半径r=5.22方法二如下图，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴kO1M=2.∴O1M的方程为:y-3=2x1,即：y=2x+4.2由方程组y2x4x2y30

.解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.∴（0+1）2+（22222.0-2）=r，即r=5,MQ=r在2222Rt△O1MQ中，O1Q=O1M+MQ.∴1122+5=1(6)24m.4

+（3-2）∴m=3.∴半径为5,圆心为1,3.22方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.∴m-3=0，即m=3.∴圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圆心M1,2(3)，22又圆在PQ上.∴-1+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圆心为1,3，22半径为5.2例3已知实数x、y知足方程x2+y2-4x+1=0.1）求y-x的最大值和最小值；2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b获得最大值或最小值，此时20b3，解得b=-2±6.因此y-x的最2大值为-2+6，最小值为-2-6.2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处获得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(20)2(00)2=2，因此x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43，x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.稳固练习（2008·山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是.答案(x-2)2+(y-1)2=12.已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).1）证明：无论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.1）证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即无论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.双方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部，∴无论m为什么实数，直线l与圆恒订交.（2）解从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2r2CM2=225[(31)2(12)2]=45.此时，kl=-1,进而kl=-1kCM2113

=2.∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上随意一点.1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求y2的最大值和最小值.x1解（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=

3(2)4012=6.∴P点到直线3x+4y+12=0的距离32425的最大值为d+r=6+1=11，最小值为d-r=6-1=1.55552）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.2t1222

≤1.∴-5-2≤t≤5-2，∴tmax=5-2，tmin=-2-5.（3）设k=y2，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1x1有公共点，∴3k2≤1.∴33≤k≤33,∴kmax=33，k21444kmin=343.回首总结知识方法思想课后作业一、填空题1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为.答案22.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是.答案-1＜a＜153.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是.答案3+2圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.答案x2+y2-x±2y+1=045.若直线2ax-by+2=0(a＞0,b＞0)一直均分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则11的最小值ab是.答案4从原点O向圆：x2+y2-6x+27=0作两条切线，切点分4别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为.答案（2008·四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为.答案2以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为.答案（x+2)2+y23=2524二、解答题依据以下条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P（1,1），而且圆心在直线2x+3y+1=0上；2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程.解（1）明显，所求圆的圆心在OP的垂直均分线上，OP的垂直均分线方程为：x2y2=(x1)2(y1)2，即x+y-1=0.解方程组xy10,得圆心C的坐标为（4，-3）.2x3y10又圆的半径r=|OC|=5,因此所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25.2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0①将P、Q点的坐标分别代入①得：令x=0，由①得y2+Ey+F=0④由已知|y1-y2|=43，此中y1、y2是方程④的两根，因此（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤解②、③、⑤构成的方程组得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.解将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,如图，因为四边形PACB的面积等于Rt△PAC面积的2倍，因此PACB12|PA|×r=|PC|21.∴要使四边形PACB面积最小,只要|PC|最小.

②③当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得|PC|min=348=3,5故四边形PACB面积的最小值为22.已知圆x2+y2=4上必定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.求线段AP中点的轨迹方程;若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).P点在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,因此|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,因此x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;是否存在正实数r,使得动圆C中知足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,恳求出来;若不存在,请说明原因.解(1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,此中圆心(a,b)知足a-b+10=0.又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组ab100,(5a)2(0b)225可得a10或