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文档简介
2020年小升初尖子生拓展提高-数论-1
一.填空题(共17小题)
1.在一个两位数的两个数字之间加上一个0,所得的新数是原数的9倍,原数是
2.在信息时代,信息安全十分重要,往往需要对信息进行加密,若按照“叠3加1取个位”
的方式逐位加密,明码“16”加密之后的密码为“49”,若某个四位明码按照上述加密方
式,经过两次加密得到的密码是“2445”,则明码是
3.甲、乙两人合买了"个篮球,每个篮球”元,付钱时,甲先乙后,10元,10元地轮流付
钱,当最后要付的钱不足10元时,轮到乙付,付完全款后,为了使两人所付的钱数同样
多,则乙应给甲元
4.四位数78,它即是4的倍数,又能被11整除,这个四位数最小是.
5.已知A=(6143-728)X22472,那么A+9的余数是.
6.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”(如3=2?-
I2,5=32-2?),已知智慧数按照从小到大的顺序构成如下数列:3,5,7,8,9,11,
12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,.则第100个智慧数是.
7.一个自然数被7,8,9除的余数分别为1,2,3,并且三个商数的和是570,这个自然数
是.
8.长沙市为美化芙蓉路,在街道左边每隔30米植一棵树,在街道右边每隔5()米树一杆街
灯,当左右两边刚好树与街灯正相对时将树改成立一块宣传牌,已知芙蓉路全长9.6千米
(起点处有一宣传牌),则芙蓉路全长有块宣传牌.
9.有2015盏亮着的电灯,各有一条拉线开关控制着,现在按其顺序编号为1,2,3,4,-
2015,然后将编号为2的倍数的灯的开关线拉一下,再将编号为3的倍数的灯的开关线
拉下,最后将编号为5的倍数的灯的开关线拉一下,三次拉完之后,还有____盏亮着
的灯.
10.计算1992个9X1992个9+1992个9后所得的末尾有个零.
11.已知两个数的和是1576,分别把这两个数的数字顺序倒过来后,所得两个新数的和是
4375.则原来这两个数分别是.
12.小华玩某种游戏,每局可随意玩若干次,每次得分是8、a(自然数)、0这三个自然数
中的一个,每局各次得分的总和叫做这一局的总积分.小华曾得到过这样的积分:103,
104,105,106,107,108,109,110,又知道他不可能得到83分这个总积分,则a是.
13.将100个乒乓球放入从左到右排成一行的26个盒子中,如果最左边的盒子中有4个乒
乓球,且任意相邻的4个盒子中乒乓球的个数和都是15,那么最右边的盒子中有乒乓球
个.
14.有一个三位数,它等于去掉它的首位数字之后剩下的两位数的七倍与66的和,则符合
条件的所有三位数是.
15.今年是2012年,四位数2012的数字和为2+0+1+2=5,那么;
(1)像这样数字和是5且只含有一个数字0的四位数有个.
(2)像这样数字和是5的四位数一共有个.
16.37口5口能被72整除,这个数除以72的商是.
17.现有三个整数393,603,939,其中393="(机。M),603=b(modA),939=c
又有4a=2c=b,a、b、c是三个不为零的自然数,则自然数4=.
二.应用题(共2小题)
18.甲、乙、丙三位同学向班级图书箱献了一些图书,甲献的是乙的2倍,丙献的比乙少
13本,如果把这三个人的图书合在一起,是质数,不超过50本,各位数字的和是11.问
甲乙丙各献出多少本图书?三人一共献出多少本?
19.现有A8两地每隔45米远有一根电线杆,共有65根电线杆,现在要求每隔60米需要
有一根电线杆,除两端的电线杆不动,还有多少个电线杆不需要动?
三.解答题(共21小题)
20.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个
位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
21.有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字小3,十位上的数字与个位上的数字
之和等于这个两位数的工,求这个两位数.
4
22.有三张扑克牌,牌上写有互不相同的数字(即0,1,2,3……9中的三个数字)把三张
牌洗好后,分别发给甲、乙、丙三人,每人记下自己牌上的数字,再重新洗牌、发牌、
计数,如此反复三次后,三人各自记录的数字和分别是13,15,23.请问这三张牌的数
字各是什么?
23.小卉将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个恰好装完.如果
弹子数为99个,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?
24.如图,在平衡架的左侧已挂上了4个祛码,每个20克.在右边第5格处必须挂多少克
祛码?才能使平衡架平衡.I…]
25.某单位分两次购买了80奴的荔枝,单价如下表所示,且第二次比第一次买的多,共花
了1060元,问:两次各买了多少千克?
不足30仅30kg至50kg50kg以上
价格(元/版)
26.一个两位数,它的十位数与个位数之和是12,如果这个两位数减去54,则这个两位数
的数字交换了位置,求原来的两位数.
27.在九个连续的自然数中,至多有多少个质数?
28.聪聪和明明同算两数之和,聪聪得685,计算正确;明明得280,计算错误,明明所以
算错的原因是将其中一个加数末尾的0漏掉了.你知道两个加数各是多少?
29.能否把I,1,2,2,3,3,…,50,50这100个数排成一行,使得两个1之间夹着这
100个数中的一个数,两个2之间夹着这100个数中的两个数,…两个50之间夹着这100
个数中的50个数?并证明你的结论.
30.小明和爸爸每天围绕街心花园晨跑,小明15分钟跑一圈,爸爸12分钟跑一圈.如果父
子两人同时同地起跑,至少多少分钟后两人再次在起点相遇?此时,爸爸和小明各跑了
几圈?
31.从1999、1989和1979中分别减去同一个四位数,便能得到三个不同的质数.减去的这
个四位数是多少?简要说明理由.
32.有八个盒子,各盒内装的奶糖分别为9、17、24、28、30、31、33和44块.甲先取走
了一盒,其余各盒被乙、丙、丁分别取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同,且都为丁
的2倍.问甲取走的盒中有多少块奶糖?(简要说明理由)
33.甲、乙两个数,甲数除以乙数商2余17,乙数的10倍除以甲数商3余45.求甲、乙二
数.
34.有一个六位数,它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数,并且它们的数字和原
来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样,求这个六位数.
35.从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆,加上两端的两根,一共有53根电线杆,
现在改成每隔60米装一根电线杆,除两端的两根不需要移动外,中途还有多少根不必移
动?
36.有三根细铁丝,长度分别是120厘米、180厘米、300厘米,现在要把它们截成相等的
小段,每根都不能有剩余,每小段最长____厘米,一共能截成段.
37.某个四位数有如下特点:它加上1之后是15的倍数,它减去3之后是38的倍数.把它
的各数位上的数字左右倒过来写,所得的新数与原数之和能被10整除,这个四位数是多
少?
38.从1开始的若干个连续奇数:1,3,5,7,…从中擦去一个奇数后,剩下的所有奇数之
和为2008,擦去的奇数是多少?
39.如图所示的四个圆形跑道,每个跑道的长都是1千米,A、B、C、。四位运动员同时从
交点。出发,分别沿四个跑道跑步,他们的速度分别是每小时4千米,每小时8千米,
每小时6千米,每小时12千米.问从出发到四人再次相遇,四人共跑了多少千米?
40.下面是四季香水果店今天公布的水果价格:
水果品种橘子苹果香蕉菠萝
单价(每千克)2元3元2元4角4元
为了做水果布丁,四种水果恺撒西餐厅工买83千克,用去228元.已知买橘子所用去的
与买苹果所用去的钱一样多,买菠萝所用去的钱是买香蕉所用去的钱的2倍.那么橘子
买了多少千克?苹果买了多少千克?香蕉买了多少千克?菠萝买了多少千克?
2020年小升初尖子生拓展提高-数论-1
参考答案与试题解析
填空题(共17小题)
1•【分析】由原题可知,一个两位数的数字之间加一个0,新得的数为原数9倍,即原数两
位数的个位X9,所得结果的个位还是原个位数.根据乘法所知1X9=9,2X9=18,
只有5X9=45个位还是5,所以原数个位为5.然后根据十位数字扩大10倍的新数为原
数的9倍,假设这个两位数的数字是a、b,根据已知列出等式,即可得解.
【解答】解:设这个两位数为lOa+b,则
100〃+/?=9(\0a+h)
100a+b=90a+9b
10〃=8。
因为m人都小于10且mb都是正整数,(或把6=5直接代入)
所以a=4,h=5;
答:原数是45;
故答案为:45.
【点评】根据位值原则,同一个数字在不同数位上的值不同来解决实际问题.
2.【分析】根据规则,按照“叠3加1取个位”的方式逐位加密,将2445的每一位数字减
去1,再看看哪个一位数字乘3得到的个位数字是这一数,比如2-1=1,7X3=21,所
以第一次加密后的第一个数字就是7,以此类推,得到原来的四位明码即可解答.
【解答】解:2-1=1,7X3=21,
4-1=3,1X3=3,
5-1=4,8X3=24,
所以第一次加密后的密码是7118,
7-1=6,2X3=6,
1-1=0,0X3=0,
8-1=7,9X3=27,
所以明码是2009.
故答案为:2009.
【点评】本题主要考查数字问题,利用逆推的方法得到答案是解答本题的关键.
3•【分析】篮球的总价为由题意“首先由甲付10元,然后乙付10元,甲再付10元,
乙再付10元,…直到某次甲付10元后,乙只需要再付不足10元“可知,每轮他们付20
元,最后一轮甲付了10元后乙没付够10元,所以他们支付的总价格的十位上必定是奇
数.
由下面可以推出十位上是奇数个位必定是6:
假设一个数为〃=10x+y,其中x和y是整数,且0WyW9,于是,我们有:
"*〃=100x*x+20xy+y*y.
=20x(5x+y)+y*y
如果〃*〃的十位数字是奇数,那么y的平方十位数字是奇数,由此推得
y的平方等于16或36
所以〃的平方个位数字是6
所以最后乙付得钱肯定是6元,由此可以作答.
【解答】解:总价为/A由题意的,总价的十位数上为奇数,所以个位数上必定为6.
所以最后一轮乙支付了6元,甲支付了10元.
所以乙需要给甲(10+6)4-2-6=2(元)
答:按照约定,乙需要再给甲2元.
故答案为:2.
【点评】本题考差了平方数的一些规律,灵活运用即可作答.
4.【分析】(1)能被4整除的数的特征:如果一个整数的末两位数能被4整除,那么它必能
被4整除.
(2)能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差
(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除;据此解答即可.
【解答】解:要使7口8口能被4整除,个位数字只能是0、4、8.
偶数位数字之和是7+8=15,所以奇数位数字之和只能是15、4.
当个位数字是。时,百位数字只能是4,那么这个数是7480;
当个位数字是4时,百位数字只能是0,那么这个数是7084;
当个位数字是8时,百位数字只能是7,那么这个数是7788;
7084<7480<7788;
所以,这个四位数最小是7084.
故答案为:0,4,7084.
【点评】明确能被4、11整除的数的特征是解决此题的关键.
5.【分析】根据“弃九法”直接简算即可.
【解答】解:6143去掉数字6+3=9,剩下的数字和是1+4=5,
728去掉数字7+2=9,剩下的数字是8,
5减8不够减,所以9+5-8=6,
所以(6143-728)+9的余数就是6;
同理,22472去掉数字7+2=9,剩下的数字和是2+2+4=8,所以22472+9的余数就是8;
6X8=48
所以,48+9=5…3
所以,A+9的余数是3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了利用“弃九法”求余数的问题,一个数除以9的余数,等于数字和
除以9的余数.
6.【分析】根据规律可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组,从第2组开始每组的第
一个数都是4的倍数.归纳可得第n组的第一个数为4n后面的两个数分别是
4”+1,4/1+3,又因为100+3=33……1,所以第100个智慧数是第34组中的第1个数,
从而得到4X33=132.
【解答】解:观察探索规律,可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组,从第2组
开始每组的第一个数都是4的倍数,
归纳可得第〃组的第一个数为4〃(〃22).
100+3=33....1
所以第100个智慧数是第34组中的第1个数,
即为4X34=136
答:第100个智慧数是136.
故答案为:136.
【点评】解决这类问题关键是把重复出现的一种类型看成一组,根据除法的意义,求出
总数量里面有多少个这样的一组,还余几,然后根据余数进行推算.
7.【分析】“一个自然数被7,8,9除的余数分别为1,2,3,”,77=8-2=9-3=6,就
是说这个数加6后就能整除7,8,9.7,8,9的最小公倍数是504,所以这个数可以写成
504&-6(k是大于0的自然数),这个数除以7,8,9的商分别是72%-1,63A-1,56k
-1.它们的和191*-3=570,所以k=3,那么这个数是504X3-6=1506;据此解答即
可.
【解答】解:7-1=8-2=9-3=6,就是说这个数加6后就能整除7,8,9,
7,8,9的最小公倍数是:7X8X9=504
设这个数可以写成504%-6(A是大于0的自然数),
这个数除以7,8,9的商分别是72k-1,63k-1,56k-1,
即,72火-1+63A-1+56A-1=570
191Z-3=570
k=3
这个数是:504X3-6=1506.
故答案为:1506.
【点评】本题考查了孙子定理,本题关键是明确这个数加6后就能整除7,8,9.
8.【分析】当左右两边刚好树与街灯正相对时将树改成立一块宣传牌,即从起点开始每隔
30和50的公倍数时就有一块宣传牌,即150米,求出9.6千米里面有几个150,再加上
起点处一个宣传牌求出一侧的数量,再乘2即可.
【解答】解:30=2X3X5
50=2X5X5
2X3X5X5=150
9.6千米=9600米
96004-150+1=65(块)
65X2=130(块)
答:芙蓉路全长有130块宣传牌.
故答案为:150.
【点评】本题考查了因数倍数应用题和植树问题的综合应用,关键是明确每隔30和50
的公倍数时就有一块宣传牌.
9.【分析】由题意可知,第一次拉的是2的倍数编号,第二次拉的是3的倍数编号,第三次
拉的是5的倍数编号.所有灯被拉的次数分别为1、2、3次,其中拉一次的和拉三次的
最后是灭的:只是2的倍数情况:2的倍数一共有1007盏,减去2和3的倍数,减去2
和5的倍数,其中,所有2和3的倍数中包含了2、3、5的倍数,而所有2和5的倍数
中也包含了2、3、5的倍数,相当于多减了一次2、3、5的倍数,则应该再加上一个2、
3、5的倍数,即再加一个66.只是3的倍数和只是5的倍数求解过程同理.本质就是2、
3、5的倍数包含在了2和3的倍数、2和5的倍数、3和5倍数当中,因为所有灯本来就
是亮的,所以只考虑灭掉的灯的盏数,比考虑亮的灯的盏数简单的多.据此解答即可.
【解答】解:1-2015中,
2的倍数有:20004-2=1007个…;
3的倍数有:2015的3=671个…2;
2、3的公倍数有:2015+6=335个…5;
5的倍数为:2015的5=403个;
2、5的公倍数有:2015+10=201个…5;
3、5的公倍数有:2015+15=134个…5;
2、3、5的公倍数有:2015+30=67个…5;
所有灯被拉的次数分别为1、2、3次,其中拉一次的和拉三次的最后是灭的,而只拉1
次的和拉3次的灯的编号情况是:
只是2的倍数:1007-335-201+67
只是3的倍数:671-335-134+67
只是5的倍数:403-201-134+67
2、3、5的公倍数,共67盏
则灭掉的灯的总数为:1007-335-201+67+671-335-134+67+403-201-134+67+67=
1009
则最后亮着的灯的总盏数为:20157009=1006.
故答案为:1006.
【点评】完成本题思路要清晰,理清数字之间的倍数关系及拉灯次数之间的关系进行分
析.
10.【分析】根据数字特点,把原式变为1992个9义(11992个Q-1)+1992个9,运用乘法分
配律简算.
【解答】解:
19924-9X1992个9+1992个9
=1992个9X(11992个CT1)+1992个9
=1992个91992个0-1992个9+11992个0+1992个9
=13984个0
故答案为:3984.
【点评】完成此题,应认真分析式中数据,运用所学知识,灵活解答.
11.【分析】1、首先确定两个数的位数,判断两个数字的位字,如果都是由百位数组成,和
不可能超过2000;如果都由千位数组成,和不可能为小于2000.因此是这两个数由一个
千位和一个百位或十位数构成.
2.判断千位数的第一位和第四位.此数倒过来构成4000以上的数,第四位为4;正过来
构成1000以上的数,第一位为1.
3.判断较小数.此数末位与4构成6,末位为2.此数首位与1构成5,首位为4.
4.若较小数为42,较大数为1534.
5.若较小数的百位为4,则与千位数的第二位之和为5.千位数的第二位为1;较小数的
第二位与1之和为7,较小数的第二位为6.即较小数为462,较大数为1114.
【解答】解:由于两个数的和是1576,分别把这两个数的数字顺序倒过来后,所得两个
新数的和是4375,
所以这两个数由一个千位和一个百位或十位数构成;
由于千位数倒过来构成4000以上的数,则第四位为4;正过来构成1000以上的数,第一
位为1.
如较少的数的末位与4构成6,末位为2.此数首位与1构成5,首位为4.即较少数为
42,则千位数为1534;
如较小数的百位为4,则与千位数的第二位之和为5.千位数的第二位为1;
较小数的第二位与I之和为7,较小数的第二位为6.
即较小数为462,较大数为1114.
所以这两个数为1534,42或1114,462.
故答案为:1534,42或1114,462.
【点评】完成本题思路要清晰,根据所给条件弄清与位数之间的逻辑关系进行分析解答.
12•【分析】根据题意,本题从83这个数入手,然后依次分析,排除不可能的情况,最后得
出结果.
【解答】解:83+8X3=107,所以在得到总积分107时,得(8分)的局数必定小于3
(否贝483=107-3X8可以得至I),
即得(8分)的局数为0、1或2,从而107,107-1X8=99,107-2X8=91这三个数
中必有一个是〃的倍数.
如果107是a的倍数,那么a=l或107,但a=l时,可以得到总积分83;。=107时,
无法得到总积分103,所以这种情况不可能发生.
如果99是。的倍数,那么。=1,3,9,11,33,99.
因为83=9X3+8X7=11+8X9,所以a不能是1,3,9,11(否则83可以得到).
因为103=99+14=33+70=2X33+37,所以a=99或33时,无法得到总分103.
因此这种情况也不可能发生.
如果91是a的倍数,那么“=1,7,13,91,因为83=7X5+8X6,所以“#7.1103=91+12,
所以291.
因此13,下面验证〃=13是否符合要求.
由于103=8X8+3X13,
104=8X13,
105=8X5+5X13,
106=8X10+2X13,
107=8X2+7X13,
108=8X7+4X13,
109=8X12+1X13,
110=8X4+6X13,
所以a=13符合要求.
故答案为:13.
【点评】本题考查了学生较难的数字问题的理解能力,依次列举用排除法解题是解答数
字问题的有效方法之一.
13•【分析】第一个4,那么第二、三、四个中球数量的和就是15-4=11个,又每4个相
邻的盒子里共有15个小球,则第五个一定是4个.而且第(4的倍数+1)个盒子中必定
是4个,26=6X4+2,所以,第25个盒子里放4个,前24个盒子放了6X15=90(个),
90+4=94,所以最右边的盒子中有乒乓球100-94=6;据此得解.
【解答】解:据题意可知,4个相邻的盒子里共有15个小球,
则第5个一定是4个,
而且第(4的倍数+1)个盒子中必定是4个.
26=6X4+2
第25个盒子里放4个,
前24个盒子放了6X15=90(个)
90+4=94
100-94=6
所以,最右边的盒子中有乒乓球6个.
故答案为:6.
【点评】完成此类题目的关健是据所给条件分析出数列的排列规律,然后据排列规律得
出结论.
14•【分析】由题意,设这个三位数的百位数码为A,去掉它的首位数字之后剩下的两位数
为X,则有:100A+X=7X+66,得6X=100A-66.从而进一步确定A和X的值.
【解答】解:设这个三位数的百位数码为A,去掉它的首位数字之后剩下的两位数为X,
则有:100A+X=7X+66,得6X=1004-66.
等式右边应是6的倍数,故4=3或6.
X=39或89.
符合条件的三位数是339或689.
故答案为:339或689.
【点评】此题属于数字和问题,此题用设未知数的方法较简单.
15•【分析】(1)首先,0除外,把5分成3个数字之和,只可能是1+1+3=5,或者1+2+2
=5,那么组成这个四位数的数字可能是0、1、1、3或者0、1、2、2;然后把这两种情
况进行排列组合即可;
(2)把5分成4个数字的和:5+0+0+0=5;或者4+1+0+0=5;或者3+2+0+0=5;或者
3+1+1+0=5;或者2+2+1+0=5;或者2+1+1+1=5,据此进行排列组合即可解答问题.
【解答】解:(1)根据题干分析可得:像这样数字和是5且只含有一个数字0的四位数,
这个四位数的数字可能是0、1、1、3或者0、1、2、2;
由0、1、1、3组成的四位数有:1130、1103、1013、1031、1310,1301、3110、3101、
3011一共有9个;
由0、1、2、2、组成的四位数有:2210、2201、2021、2012>2102、2120、1220、1202、
1022,一共有9个;
所以9+9=18(个升
答:像这样数字和是5且只含有一个数字0的四位数有18个.
(2)把5分成4个数字的和:5+0+0+0=5;或者4+1+0+0=5:或者3+2+0+0=5;或者
3+1+1+0=5;或者2+2+1+0=5;或者2+1+1+1=5,
由5、0、0、0组成的四位数是:5000,只有一个;
由4、1、0、0组成的四位数有:4100、4010、4001,1400、1040、1004,有6个;(可
按照从大到小或从小到大的顺序)
由3、2、0、。组成的四位数有:3200、2300、3020、3002、2030、2003,有6个;
由3、1、1、0组成的四位数有:3110、3101,3011、1310、1301,1130、1103,1031、
1013,有9个;
由2、2、1、。组成的四位数有:2210、2201、2120、2102、2021、2012、1220、1202、
1022,有9个;
由2、1、1、1组成的四位数有:2111、1112、1121、1211、有4个;
所以1+6+6+9+9+4=35(个),
答:一共有35个这样的四位数.
故答案为:18;35.
【点评】本题的关键是找出数字和是5的四个数字,再进行排列组合即可解答问题,耍
注意数字相同的情况.
16.【分析】因为72=8X9,则7口5口能被8和9整除;
8的倍数则最后三位是8的倍数;9的倍数则各位数字之和是9的倍数;这两个同时成立,
7口5口能被8和9整除;进行分析即可;
【解答】解:7口5口能被8和9整除.
首先它是一个偶数;其次它的所有的数字和是9的倍数;
先考虑9的倍数:3+7+5=15,再加上3或者12就可以是9的倍数;
再考虑偶数:所以肯定是如下几组(先百位,后个位):(3、0),(1、2),(8、4),(6、
6),(4、8).
能被8整除的数的后三位是8的倍数,经过试除可知:
37152+72=516;
376564-72=523;
故答案为:516或523.
【点评】解答此题的关键是能被72整除,即能被8、9整除,然后根据能被8和9整除
的数的特征进行分析、解答即可.
17•【分析】根据4a=2c=4。扩大4倍,b扩大2倍,那么甲、乙、丙三数余数就相同了,
即939X2=1878,393X4=1572,然后两两相减求出三个差,然后求出306、969的最大
公因数,讨论即可得出答案.
【解答】解:设393除以A的余数为x,
则:603=4x(modA).939三2x(modA),393=x(modA).
由同余性质可得,603三4x(modA),939X2三2X2x(modA),393X4三4XxCmodA),
即:603、1878、1572对于模A同余.
1878-1572=306,
1572-603=969,
所以4是306、969的因数,
306、969的最大公因数是51=3X17;
当A是51时,603+51=11...42,939+51=18....21,393+51=7...36,则51不
是A的取值;
当A是17时,603+17=35....8,939+17=55....4,393+17=23...2,4X2=2X4
=8,
所以A=17.
故答案为:17.
【点评】本题考查了剩余定理的灵活应用,关键是统一余数,然后根据因数与倍数的关
系解答即可.
二.应用题(共2小题)
18•【分析】由于乙比丙献的数量多很多,所以可以假设丙只献了1本,那么乙献14本,甲
献28本,1+14+28=43,所以最少有43本,大于等于43且小于50的质数只有43和47,
由于各位数字的和是11,而1+1+4+2+8=16,不合题意,所以不是43,那么只能是47;
所以甲30本,乙15本,丙2本.总数为47本.代入验证,符合要求.
【解答】解:假设丙只献了1本,那么乙献:1+13=14本,
甲献:14X2=28本,1+14+28=43,所以最少有43本,
大于等于43且小于50的质数只有43和47,
如果总数是43,那么1+1+4+2+8=16,不合题意,所以不是43,
那么只能是47,丙献出2本,甲献出30本,乙献出15本,
2+1+5+3+0=11,符合题意;
所以甲30本,乙15本,丙2本;
30+15+2=47(本)
答:甲乙丙分别献出30本、15本、2本图书;三人一共献出47本.
【点评】解答此题的关键是根据题意,进行假设,进而得出总数的取值,然后进一步根
据题意,进行验证,进而得出结论.
19.【分析】根据题意,先求得45、60最小公倍数是180,不必移动的就是相隔180米的电
线杆,再根据“每隔45米安装一根电线杆,加上两端的两根电线杆共65根,除去两端
的2根不需移动”,则从甲地到乙地的距离为45X(65-1),电线杆不必移动的总根数是
45X(65-1)+180,然后减去1根,解决问题.
【解答】解:45=3X3X5
60=2X2X3X5
所以45、60最小公倍数是2X2X3X3X5=180
45X(65-1)4-180-1
=2880+180-1
=16-1
=15(根)
答:除两端的电线杆不动,还有15个电线杆不需要动.
【点评】此题解答的关键在于求得从甲地到乙地的距离以及不变移动的电线杆的之间的
距离.
三.解答题(共21小题)
20•【分析】此题可以设出这个两位数为ah,根据被除数、除数、商和余数的关系,写成10a+6
—9b+6,l0a+b=5(«+/?)+3,化简后得:5a-4b=3,由于a、b均为一位整数,可推
出“、b的值,进而得解.
【解答】解:设这个两位数为加,由题意得:
10a+h=96+6,
10a+6=5(a+6)+3;
所以9b+6=5(a+b)+3,
化筒,得5a-43=3,由于“、b均为一位整数,所以a=3或7,6=3或8;
但33不符合题意,因此原数为78.
答:这个两位数是78.
【点评】此题解答的关键是设出这个两位数为浦,根据被除数、除数、商和余数的关系,
求出a、b的值
21.【分析】设这个两位数的十位数为x,则个位数为x+3.所以这个十位数为10x+x+3.又
十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的工,则此可得等量关系式:1
44
(10x+x+3)+=x+x+3.解此方程能求得这个数的十位数,进而求得这个数是多少.
【解答】解:设这个两位数的十位数为x,则个位数为x+3.可得方程:
—(10x+x+3)=x+x+3
4
A(llx+3)=2x+3.
4
44
当=旦,
44
x=3.
则个位数为3+3=6,
即这个两位数为36.
答:这个两位数为36.
【点评】通过设未知数,根据数位知识将这个两位数表示出并列出等量关系式是完成本
题的关键.
22•【分析】分析题意可知,这三张牌的和算了三遍后结果是13+15+23=51,则三张牌的和
是51+3=17,找到和为17的三个数,并符合题意,即可解答.
【解答】解:三张牌的和是:(13+15+23)+3=51+3=17可知一定有9这张牌(因为
23=8+8+7,剩下一张牌无法同时满足13和15)
于是剩下两数和为8,依次排除:
0,8排除
1,7排除
2,6排除4,4重复,排除
3,5成立(甲:5,5,3;乙:3,3,9;丙:9,9,5)
所以这三张牌的数字各是3、5、9答:这三张牌的数字各是3、5、9.
【点评】解答本题的关键是找出这3个数的和,再根据这个和,找出符合题意的数即可.
23.【分析】设大盒子x个,小盒子y个,根据“盒子个数大于9,”得出x+y>9,再根据“每
个大盒子装12个,每个小盒子装5个,一共是99个,”得出12x+5y=99,由此解方程组,
即可得出答案.
【解答】解:设大盒子x个,小盒子y个,
12x+5y=99,
x+y>9,
因为,),=99-⑵,用99减去12x,所得的数个位是0或5即可,
5
可得x=2,y=15,共2+15=17个,
x=7,y=3,共7+3=10个,
故大盒子有2个,小盒子有15个;或大盒子有7个,小盒子有3个.
答:大盒子有2个,小盒子有15个;或大盒子有7个,小盒子有3个.
【点评】本题考查不定方程的求解,根据题意,列出不定方程,再根据不定方程里未知
数的取值受限,即可得出答案,属于中档题.
24.【分析】设在右边第5格处必须挂x克祛码,才能使平衡架平衡,每个格的长度为1,
然后杠杆平衡原理,列出方程,求出x的值,即可求出在右边第5格处必须挂多少克祛
码.
【解答】解:设在右边第5格处必须挂x克祛码,才能使平衡架平衡,每个格的长度为1,
则(20X4)Xl=5x
5x=8O
5x^5=804-5
x=16
答:在右边第5格处必须挂16克祛码,才能使平衡架平衡.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,弄清题意,找出合适的等量关系,进而
列出方程是解答此类问题的关键;此题还考查了杠杆平衡原理的应用.
25.【分析】本题两个等量关系为:第一次买的千克数+第二次买的千克数=80千克;第一
次出的钱数+第二次出的钱数=1060元.对某单位买的荔枝的千克数,应分情况讨论:
①当第二次买的重量在40-50kg之间,那么80奴的荔枝的价格都是14元,14X80=1120
(元),不符合条件;②当第二次买的重量超过50kg时,设第二次买了xkg,则第一次
买了(80-x)kg,12x+16X(80-x)=1060,解方程即可求出第二次要买的千克数,
用80千克减去第二次买的千克数就是第一次买的千克数.
【解答】解:①当第二次买的重量在40-50kg之间,那么80依的荔枝的价格都是14元,
14X80=1120,不符合条件,舍去.
②当第二次买的重量超过50俄时,设第二次买了Mg,则第一次买了(80-x)kg,得:
12x+16X(80-x)=1060
12x+1280-16x=1060
4x=220
x=55(符合题意)
80-55=25(千克)
答:第一次买了25千克.第二次买了55千克.
【点评】本题主要考查学生分类讨论的思想.找到两个基本的等量关系后,应根据讨论
的千克数找到相应的价格进行作答.
26.【分析】此题可设原来的两位数是必,则有“+6=12,10a+b-54=10h+a,由此即可推
出〃、人的值,进而解决问题.
【解答】解:设原来的两位数是则有:
a+b=\2,①
\Oa+b-54=10i>+a,②
由②得:
9(a-b)=54,
a-b=6,③
①+②得:
2a=18,
a—9,
则b—3.
因此,原来的两位数是93.
答:原来的两位数是93.
【点评】此题采用了用字母代替数的方法,根据题意,列出等式,通过化简,解决问题.
27.【分析】由题意,例如:在2、3、4、5、6、7、8、9、10这9个数中,有4个质数,这
也是最多的,因为任意连续9个自然数中至少有4个偶数,剩下的五个奇数中至少有一
个是3的倍数.
【解答】解:这个问题依据两个事实:
(1)除2之外,偶数都是合数;
(2)九个连续自然数中,一定含有5的倍数.以下分两种情况讨论:
①九个连续自然数中最小的大于5,这时其中至多有5个奇数,而这5个奇数中一定有
一个是5的倍数,即其中质数的个数不超过4个;
②九个连续的自然数中最小的数不超过5,有下面几种情况:
1,2,3,4,5,6,7,8,9;
2,3,4,5,6,7,8,9,10:
3,4,5,6,7,8,9.10,11;
4,5,6,7,8,9,10,11,12;
5,6,7,8,9,10,11,12,13;
这几种情况中,其中质数个数均不超过4.
综上所述,在九个连续自然数中,至多有4个质数.
答:九个连续自然数中,至多有4个质数.
【点评】本题考查了质数的意义以及对数的列举能力,分析判断能力等.
28.【分析】将其中一个加数末尾的。漏掉了,也就是把这个数缩小了10倍,那就意味着这
个数只加上了它的工,另外9漏掉了,那么明明比聪聪少的部分(685-280=405)就
1010
占这个数的_上,那么一个数的a是405,这个数就是4054-J_=450,另一个数就为
101010
685-450=235.
【解答】解:一个加数是:
(685-280)4-(1-_1_)
10
=405+2
10
=450;
另一个加数是:
685-450=235.
答:两个加数分别是450、235.
【点评】此题解答的关键是弄清“将其中一个加数末尾的0漏掉了",也就是把这个数缩
小了10倍,这是解答的突破口.
29.【分析】假设存在某种排列,满足条件.我们把这100个数从左向右按1,2,3,…,
99,100编号,则任何两个相等的偶数之间要插入偶数个数,则这两个偶数的序号的奇偶
性是不同的;而任何两个相等的奇数之间要插入奇数个数,则这两个奇数的序号的奇偶
性相同;进而进行分析,即可得出结论.
【解答】解:假设存在某种排列,满足条件.我们把这100个数从左向右按1,2,3,…,
99,100编号,则任何两个相等的偶数之间要插入偶数个数,则这两个偶数的序号的奇偶
性是不同的;而任何两个相等的奇数之间要插入奇数个数,则这两个奇数的序号的奇偶
性相同.由此,这100个数中有25对偶数(每对是两个相等的偶数),它们占去25个奇
序号和25个偶序号「另外25对相等的奇数,它们中奇序号的个数一定是偶数.而在100
个数中奇序号和偶序号各有50个,所以这25对相等的奇数中,奇序号个数只能是25个
(因为25对偶数已占去了奇序号).25是奇数,由于奇数#偶数,所以无法实现.
答:无法实现.
【点评】解答此题的关键是先假设结论成立,然后进行分析、验证,进而进行比较,得
出结论.
30.【分析】此题关键是起点再起点相遇.实际上是求15与12的最小公倍数,再求出各自
跑的圈数.
【解答】解:15与12的最小公倍数是:60.
小明跑的圈数:604-15=4,
爸爸跑的圈数是:60+12=5,
答:至少60分钟后两人再次在起点相遇此时,爸爸和小明各跑了5圈、4圈.
【点评】解此类题一定要认真读题,关键题意明白跑圈再次相遇实际上是求他们的最小
公倍数的.
31•【分析】根据1999、1989和1979这三个数字的特点,以及减去一个数后它们的差之间
的关系,通过验证,得出结果.
【解答】解:1999、1989和1979这三个数分别相差10,减去一个数后,
设得到的最小的质数为〃,那么其余两个不同的质数变为:a+20,4+10.
根据同余定理:”+20,a+10和a这三个数中必有一个是3的倍数,那只能是a=3,
即只有a=3时,才满足a+20,a+10和a分别是质数.
故减去的数是:1979-3=1976.
【点评】此题考查了质数的概念,以及学生的分析推理能力.
32.【分析】根据题意,假设丁拿走的为X块,则乙、丙拿走的就分别为2X块,进而说明
乙、丙、丁取走的总块数就是5的倍数;然后计算出这8个盒子中糖的总数为216块,
再用216分别减去这8个数字,结果是5的倍数的只有甲取31这种情况,所以断定甲取
走的盒中有31块奶糖.
【解答】解:设丁拿走的为X块,则乙、丙拿走的就分别为2X块,说明乙、丙、丁取走
的总块数为5X,5X一定是5的倍数,
9+17+24+28+30+31+33+44=216(块),
又216-9=207(:块),216-17=199(块),216-24=192(块),216-28=188(块),
216-30=186(块),216-31=185(块),216-33=183(块),216-44=172(块),
只有185是5的倍数,
所以断定甲取走的盒中有31块奶糖.
答:甲取走的盒中有31块奶糖.
【点评】此题考查数的整除特征,解决此题关键是理解乙、丙、丁取走的总块数是5的
倍数,把它当做突破口,进而问题得解.
33.【分析】被除数、除数、商和余数的关系:被除数=除数X商+余数.如
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