高考数学考前刷题大卷练14概率统计复数算法初步推理与证明（文）（含解析）

/08/8/大卷练14概率统计、复数、算法初步、推理与证明大卷练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西榆林二中模拟]某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为()A．①系统抽样，②分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样D．①分层抽样，②简单随机抽样答案：C解析：由随机抽样的特征可知，①为等距抽样，是系统抽样；②是简单随机抽样，故选C.2．[2018·全国卷Ⅰ]设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝()B.eqB.eq\f(1,2)D.eqD.eq\r(2)答案：C解析：∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(?1－i?2,?1＋i??1－i?)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.3．已知i是虚数单位，复数z＝eq\f(1,a－i)(a∈R)在复平面内对应的点位于直线x－2y＝0上，则复数z的虚部为()A．2B．3C.eq\f(1,5)D.eqD.q\f(1,5)答案：D解析：z＝eq\f(1,a－i)＝eq\f(a＋i,a2＋1)＝eq\f(a,a2＋1)＋eq\f(1,a2＋1)i，其对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a2＋1)，\f(1,a2＋1)))，又该点位于直线x－2y＝0上，所以a＝2，z＝eq\f(2,5)＋eq\f(1,5)i，其虚部为eq\f(1,5).4．[2019·天津一中月考]用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除答案：B解析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”的否定是“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b都不能被5整除”，故选B.5．[2019·杭州模拟]某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为()A.eq\f(1,12)B.eqB.\f(1,9)C.eq\f(5,36)D.eqD.\f(1,6)答案：A解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种．以(x，y)为坐标点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).6．[2019·湖北武汉高三调研]一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．7．[2019·桂林市，百色市，崇左市联合模拟考试]半径为6cm的圆形纸板上有一个与之同圆心的半径为1cm的小圆，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机落在纸板上，则硬币与小圆无公共点的概率为()A.eq\f(21,25)B.eqB.\f(3,4)C.eq\f(5,9)D.eqD.\f(1,2)答案：A解析：若硬币全落在半径为6cm的圆形纸板上，则硬币的圆心只能在以圆形纸板的圆心为圆心，半径为5cm的圆内(包含边界)．若硬币与小圆无公共点，则硬币的圆心在以圆形纸板的圆心为圆心，半径分别为5cm和2cm的圆环内(包含边界)，所以硬币与小圆无公共点的概率为eq\f(π×52－π×22,π×52)＝eq\f(21,25)，故选A.8．[2019·山东省，湖北省部分重点中学质量检测]春节期间，某旅游景区推出掷圆圈套玩具鹅的游戏，吸引了一大批的游客参加，规则是：每人花10元拿到5个圆圈，在离最近的玩具鹅的2米处掷圆圈5次，只要圆圈连续套住同一只鹅颈3次，就可以获得套住的那只玩具鹅．假设某游客每次掷圆圈套住鹅颈的概率为eq\f(2,3)，且每次掷圆圈的结果互不影响，则该游客获得一只玩具鹅的概率为()A.eq\f(4,81)B.eqB.\f(8,81)C.eq\f(1,3)D.eqD.\f(104,243)答案：D解析：设“第i次套住鹅颈”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，则eq\x\to(A)i表示“第i次未套住鹅颈”，依题意可得该游客能获得一只玩具鹅的3种情形：A1A2A3，eq\x\to(A)1A2A3A4，eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3A4A5，而P(A1A2A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(eq\x\to(A)1A2A3A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(1,3)＝eq\f(8,81)，P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3A4A5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(8,243)，故该游客获得一只玩具鹅的概率为eq\f(8,27)＋eq\f(8,81)＋eq\f(8,243)＝eq\f(104,243)，故选D.9．[2019·昆明调研]如图所示的程序框图来源于中国古代数学着作《孙子算经》，其中定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3.执行该程序框图，则输出的a＝()A．9B．16C．23D．30答案：C解析：执行程序框图，k＝1，a＝9,9－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,3)))＝0≠2；k＝2，a＝16,16－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,3)))＝1≠2；k＝3，a＝23,23－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(23,3)))＝2,23－5·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(23,5)))＝3，满足条件，退出循环．则输出的a＝23.故选C.10．[2019·河南濮阳模拟]执行如图所示的程序框图(其中b＝cmod10表示b等于c除以10的余数)，则输出的b为()A．2B．4C．6D．8答案：D解析：a＝2，b＝8，n＝1；c＝16，a＝8，b＝6，n＝2；c＝48，a＝6，b＝8，n＝3；c＝48，a＝8，b＝8，n＝4；c＝64，a＝8，b＝4，n＝5；c＝32，a＝4，b＝2，n＝6；c＝8，a＝2，b＝8，n＝7，…，易知该程序框图中a，b的值以6为周期．又因为2017＝6×336＋1，所以当n＝2017时，b＝8.故选D.11．[2019·贵阳监测]在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A．15B．18C．20D．25答案：A解析：根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是eq\f(40,0.4)＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.12．在面积为S(S>0)的平行四边形ABCD内任取一点M，则△MCD的面积小于eq\f(S,3)的概率为()A.eq\f(1,3)B.eqB.\f(3,5)C.eq\f(2,3)D.eqD.\f(3,4)答案：C解析：设△MCD边CD上的高为ME，ME的反向延长线交AB于点F，当△MCD的面积等于eq\f(S,3)时，eq\f(1,2)CD×ME＝eq\f(1,3)CD×EF，即ME＝eq\f(2,3)EF，此时过点M作GH∥AB，且分别交AD，BC于点G，H，则满足△MCD的面积小于eq\f(S,3)的点M在?CDGH中，由几何概型的知识得到△MCD的面积小于eq\f(S,3)的概率P＝eq\f(\f(2S,3),S)＝eq\f(2,3)，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2019·西安八校联考]若eq\f(a＋bi,i)(a，b，∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________.答案：－7解析：eq\f(a＋bi,i)＝eq\f(i?a＋bi?,i2)＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.14．观察下列等式1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…据此规律，第n个等式可为________．答案：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)解析：规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).所以第n个等式可为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).15．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．答案：eq\f(1,6)解析：从2,3,8,9中任取两个数分别记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，所以P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).16．[2019·济南市高考模拟考试]如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为________．答案：2解析：由茎叶图可知乙运动员的成绩较稳定，且其平均数为eq\f(88＋89＋90＋91＋92,5)＝90(环)，从而所求方差为eq\f(?88－90?2＋?89－90?2＋?90－90?2＋?91－90?2＋?92－90?2,5)＝2.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)[2019·武汉市高中毕业生调研]某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4000名考生的平均成绩eq\o(x,\s\up6(－))(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)记70分以上为合格，70分及以下为不合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？不合格合格合计男生720女生1020合计4000附：K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?).解析：(1)由题意，得：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴eq\o(x,\s\up6(－))＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)．∴这4000名考生的平均成绩eq\o(x,\s\up6(－))为70.5分．(2)2×2列联表如下：不合格合格合计男72011801900女108010202100合计180022004000K2＝eq\f(4000×?720×1020－1180×1080?2,1800×2200×1900×2100)＝eq\f(4000×??2,18×22×19×21×108)＝eq\f(4000×54×54,18×22×19×21)≈73．82>10.828.故有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关．18．(本小题满分12分)已知m>0，a，b∈R，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋mb,1＋m)))2≤eq\f(a2＋mb2,1＋m).证明：∵m>0，∴1＋m>0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．19．(本小题满分12分)若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，求证：eq\r(d)＋eq\r(a)<eq\r(b)＋eq\r(c).证明：要证eq\r(d)＋eq\r(a)<eq\r(b)＋eq\r(c)，只需证(eq\r(d)＋eq\r(a))2<(eq\r(b)＋eq\r(c))2，即a＋d＋2eq\r(ad)<b＋c＋2eq\r(bc)，因a＋d＝b＋c，只需证eq\r(ad)<eq\r(bc)，即ad<bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)<0，故ad<bc成立，从而eq\r(d)＋eq\r(a)<eq\r(b)＋eq\r(c)成立．20．(本小题满分12分)[2018·天津卷]已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).21．(本小题满分12分)[2019·广西五校联考]某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y(单位：万件)之间的关系如表：x1234y12284256(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据(1)中的散点图拟合y与x的回归模型，并用相关系数加以说明；(3)建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？参考数据：eq\r(\i\su(i＝1,n,)?yi－\o(y,\s\up6(－))?2)＝32.7，eq\r(5)＝2.24，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝418.参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\o(x,\s\up6(－))??yi－\o(y,\s\up6(－))?,\r(\i\su(i＝1,n,)?xi－\o(x,\s\up6(－))?2\i\su(i＝1,n,)?yi－\o(y,\s\up6(－))?2))，回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\o(x,\s\up6(－))??yi－\o(y,\s\up6(－))?,\i\su(i＝1,n,)?xi－\o(x,\s\up6(－))?2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解析：(1)作出的散点图如图：(2)由(1)散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(69,2)，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝418,eq\r(\i\su(i＝1,4,)?yi－\o(y,\s\up6(－))?2)≈32.7，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，eq\i\su(i＝1,4,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,4,x)iyi－4eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝418－4×eq\f(5,2)×eq\f(69,2)＝73，eq\r(\i\su(i＝1,4,)?xi－\o(x,\s\up6(－))?2)＝eq\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\r(30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\r(5)≈2.24，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)?xi－\o(x,\s\up6(－))??yi－\o(y,\s\up6(－))?,\r(\i\su(i＝1,4,)?xi－\o(x,\s\up6(－))?2\i\su(i＝1,4,)?yi－\o(y,\s\up6(－))?2))＝eq\f(73,2.24×32.7)≈0.9966.∵y与x的相关系数近似为0.9966，说明y与x的线性相关程度相当强，∴可以用线性回归模型拟合y与x的关系．(3)由(2)知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(69,2)，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝418，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－