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/03/3/解密高考⑥函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”——————[思维导图]————————————[技法指津]——————函数与导数问题一般以函数为载体,以导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参数函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点,对于这类综合问题,一般是先转化(变形),再求导,分解出基本函数,分类讨论研究其性质,再根据题意解决问题.母题示例:2019年全国卷Ⅰ,本小题满分12分母题突破:2019年济南模拟已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.本题考查:利用导数讨论函数零点的个数、根据恒成立的不等式求参数的范围问题,考查考生的逻辑推理、转化与化归、数学运算能力,重点考查考生逻辑推理和数学运算的核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到证明f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点,想到解决此问题应分两步:①确定有零点;②确定唯一性.可先求出f′(x)的零点,然后利用导数证明单调性,进而确定唯一性.(2)看到求a的取值范围,想到根据f(x)≥ax构造函数或分离参数求解.[规范解答·评分标准](1)设g(x)=f′(x),则g(x)=cosx+xsinx-1,g′(x)=xcosx.············································2分当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))时,g′(x)>0;当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))时,g′(x)<0,所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上单调递增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上单调递减.················4分又g(0)=0,geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>0,g(π)=-2,故g(x)在(0,π)存在唯一零点.所以f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点.6分(2)由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.······················7分由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当x∈(x0,π)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,π)单调递减.···························································10分又f(0)=0,f(π)=0,所以,当x∈[0,π]时,f(x)≥0.又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范围是(-∞,0].·····························12分[构建模板·三处关键]解函数与导数综合问题的关键关键1:会求函数的极值点,先利用方程f(x)=0的根,将函数的定义域分成若干个开区间,再列成表格,最后依表格内容即可写出函数的极值;关键2:证明不等式,常构造函数,并利用导数法判断新构造函数的单调性,从而可证明原不等式成立;关键3:不等式恒成立问题除了用分离参数法,还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手,去求参数的取值范围.,已知函数f(x)=(x-1)lnx+ax(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.[解](1)a=0时,f(x)=(x-1)lnx,f′(x)=lnx+(x-1)·eq\f(1,x)=lnx-eq\f(1,x)+1,设g(x)=lnx-eq\f(1,x)+1,则g′(x)=eq\f(x+1,x2)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,∴x∈(0,1)时,g(x)<0,即f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,g(x)>0,即f′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)由(x-1)lnx+ax>0,得-ax<(x-1)lnx,而x>0,∴-a<eq\f(?x-1?lnx,x)=lnx-eq\f(lnx,x).记h(x)=lnx-eq\f(lnx,x),则h′(x)=eq\f(1,x)-eq\f(\f(1,x)·x-lnx,x2)=eq\f(lnx+x-1,x2),设m(x)=lnx+x-1(x>0),显然m(x)在(0,+∞)上单调递增,而m(1)=0,∴x∈(
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