三角函数练习题(附详细解答过程)

.../三角函数1．已知,〔1求的值；〔2求的值。2．求证：3．已知的值.4．设为实数,且点,是二次函数图像上的点.<1>确定m的取值范围<2>求函数的最小值．5．已知,〔1求的值；〔2求的值．6．设函数,其中＝<sinx,－cosx>,＝<sinx,－3cosx>,＝<－cosx,sinx>,x∈R；<1>求函数f<x>的最大值和最小正周期；<2>将函数y＝f<x>的图象按向量平移,使平移后的图象关于坐标原点成中心对称,求||最小的．7．在△ABC中,sinA<sinB＋cosB>－sinC＝0,sinB＋cos2C＝0,求角A、B、C的大小．8．设f<x>＝cos2x＋2sinxcosx的最大值为M,最小正周期为T．⑴求M、T．⑵若有10个互不相等的函数xi满足f<xi>＝M,且0<xi<10π,求x1＋x2＋…＋x10的值．9．已知f<x>＝2sin<x＋>cos<x＋>＋2cos2<x＋>－。⑴化简f<x>的解析式。⑵若0≤θ≤π,求θ使函数f<x>为偶函数。⑶在⑵成立的条件下,求满足f<x>＝1,x∈[－π,π]的x的集合。10．已知函数＝2cos2x＋2sinxcosx＋1.<1>若x∈[0,π]时,＝a有两异根,求两根之和；<2>函数y＝,x∈[,]的图象与直线y＝4围成图形的面积是多少？11．已知函数。〔1求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；〔2证明：函数的图像关于直线对称。12．已知向量,求的值；<2>若的值。13．已知函数〔其中〔I求函数的值域；〔II若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间．14．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1〔x∈R,〔1当函数y取得最大值时,求自变量x的集合；〔2该函数的图像可由y=sinx<x∈R>的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？15．在中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且,<1>求的值；<2>若,且a=c,求的面积。16.设函数f<x>=cos<2x+>+sinx.〔1求函数f<x>的最大值和最小正周期.〔2设A,B,C为ABC的三个内角,若cosB=,,且C为锐角,求sinA.17.在ABC中,,sinB=.〔I求sinA的值；<II>设AC=,求ABC的面积.18．已知函数,的最大值是1,其图像经过点．〔1求的解析式；〔2已知,且,,求的值．19．已知函数,．〔I求的最大值和最小值；〔II若不等式在上恒成立,求实数的取值范围．20．已知函数,．〔I设是函数图象的一条对称轴,求的值．〔II求函数的单调递增区间．1解：〔1,由,有,解得〔22证明：左边=====左边=右边原式成立。3解：由得又于是4解：由已知,必为方程的两根,,,故=3/2-m,又由△≥0,得,的最小值是．5．解：<1>tan<＋>＝＝解得tan＝－<2>＝6.解：<1>由题意得f<x>＝＝<sinx,－cosx>·<sinx－cosx,sinx－3cosx>＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝2＋cos2x－sin2x＝2＋sin<2x＋>故f<x>的最大值2＋,最小正周期为<2>由sin<2x＋>＝0得2x＋＝k即x＝－,k∈z于是＝<－,－2>||＝<k∈z>因为k为整数,要使|d|最小,则只有k＝1,此时＝<－,－2>为所示．7．∵sinA<sinB＋cosB>－sinC＝0∴sinAsinB＋sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB∵sinB>0sinA＝cosA,即tanA＝1又0<A<π∴A＝,从而C＝－B由sinB＋cos2C＝0,得sinB＋cos2<－B>＝0即sinB<1－2cosB>＝0∴cosB＝B＝C＝8．＝2sin<2x＋><1>M＝2T＝π<2>∵＝2∴sin<2xi＋>＝12xi＋＝2kπ＋xi＝2kπ＋<k∈z>又0<xi<10π∴k＝0,1,2,…9∴x1＋x2＋…＋x10＝<1＋2＋…＋9>π＋10×＝π9．解：<1>f<x>＝sin<2x＋θ>＋cos<2x＋θ>＝2sin<2x＋θ＋><2>要使f<x>为偶函数,则必有f<－x>＝f<x>∴2sin<－2x＋θ＋>＝2sin<2x＋θ＋>∴2sin2xcos<θ＋>＝0对x∈R恒成立∴cos<θ＋>＝0又0≤θ≤πθ＝<3>当θ＝时f<x>＝2sin<2x＋>＝2cos2x＝1∴cos2x＝∵x∈[－π,π]∴x＝－或10．＝2sin<2x＋>＋2由五点法作出y＝的图象<略><1>由图表知：0＜a＜4,且a≠3当0＜a＜3时,x1＋x2＝当3＜a＜4时,x1＋x2＝<2>由对称性知,面积为<－>×4＝2π.11、解：<1>所以的最小正周期,因为,所以,当,即时,最大值为；<2>证明：欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立,因为,,所以成立,从而函数的图像关于直线对称。12、解：<1>因为所以又因为,所以,即；<2>,又因为,所以,,所以,所以13、答案：由-1≤≤1,得-3≤≤1。可知函数的值域为［-3,1］.〔Ⅱ解：由题设条件及三角函数图象和性质可知,的周其为w,又由w＞0,得,即得w=2。于是有,再由,解得。所以的单调增区间为［］14、解：〔1y=cos2x+sinx·cosx+1=<2cos2x－1>++〔2sinx·cosx+1=cos2x+sin2x+=<cos2x·sin+sin2x·cos>+=sin<2x+>+所以y取最大值时,只需2x+=+2kπ,〔k∈Z,即x=+kπ,〔k∈Z。所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}〔2将函数y=sinx依次进行如下变换：〔i把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin<x+>的图像；〔ii把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍〔纵坐标不变,得到函数y=sin<2x+>的图像；〔iii把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍〔横坐标不变,得到函数y=sin<2x+>的图像；〔iv把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin<2x+>+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。15、解：<1>由正弦定理及,有,即,所以,又因为,,所以,因为,所以,又,所以。<2>在中,由余弦定理可得,又,所以有,所以的面积为。16、解:〔1f<x>=cos<2x+>+sinx.=所以函数f<x>的最大值为,最小正周期.〔2==－,所以,因为C为锐角,所以,又因为在ABC中,cosB=,所以,所以17、解：〔Ⅰ由,且,∴,∴,ABC∴,又,∴ABC〔Ⅱ如图,由正弦定理得