新教材高中数学第三章函数的概念与性质2.1第1课时函数的单调性提升训练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE11第1课时函数的单调性基础过关练题组一单调性的概念及其应用1.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论不正确的是 ()A.f(B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2)2.函数f(x)的图象如图所示,则 ()A.函数f(x)在[-1,2]上单调递增B.函数f(x)在[-1,2]上单调递减C.函数f(x)在[-1,4]上单调递减D.函数f(x)在[2,4]上单调递增3.下列说法正确的是 ()A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),且x1<x2,满足f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增C.若f(x)在区间I1上单调递增,在区间I2上也单调递增,那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增D.若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),则x1<x24.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是 ()题组二单调性的判定与证明5.(2021天津河东高一上期中)函数y=x2+x+2的单调递减区间是 ()A.-12C.-∞,-126.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为 ()A.[3,+∞) B.(-∞,2),(4,+∞)C.(2,3),(4,+∞) D.(-∞,2],[3,4]7.(2021北京丰台高一上期中)下列四个函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-|x| D.f(x)=-18.(2021江苏徐州六县高一上期中)已知函数f(x)=x(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象;(2)写出此函数的定义域、单调区间及值域(不需要写过程).9.(2021北京交大附中高一上期中)已知函数f(x)=1+x(1)求函数f(x)的定义域;(2)用函数单调性的定义证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数.题组三单调性的综合应用10.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是 ()A.f(4)>f(-π)>f(3)B.f(π)>f(4)>f(3)C.f(4)>f(3)>f(π)D.f(-3)>f(-π)>f(-4)11.已知函数f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是 ()A.(-∞,-3) B.(0,+∞)C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)12.已知f(x)=(3a-1)x+4a,xA.-∞,13 C.17,13 13.(1)若f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[3,+∞),则实数a的值是;

(2)若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是.

14.(2020北京通州高一上期末)已知函数f(x)=x2-2x-3.(1)设集合A={x|f(x)>0},B={x|f(x)=0},C={x|f(x)<0},分别指出2,3,4是A,B,C中哪个集合的元素;(2)若∃a∈R,∀x1,x2∈[a,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),求实数a的取值范围.

15.(2021北京丰台高一上期中)已知函数f(x)=x2-4x+1.(1)当x∈[0,3]时,画出函数y=f(x)的图象并写出值域;(2)若函数y=f(x)在区间[a,a+1]上单调,求实数a的取值范围.16.已知函数f(x)=3-axa-1(1)若a>0,求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.

能力提升练题组一单调性的判定与证明1.(2021北京一零一中学高一上期中,)下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是()A.y=-3x-1 B.y=2C.y=x2-4x+5 D.y=|x-1|+22.()函数y=x2+3x的单调递减区间为 (A.-∞,32 C.[0,+∞) D.(-∞,-3]3.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=1-x2+x+2,则f(2-xA.12,+C.-1,14.(多选)(2020河南省实验中学高一上期中,)定义[x]为不大于x的最大整数,对于函数f(x)=x-[x]有以下四个结论,其中正确的是 ()A.f(2019.67)=0.67B.在每一个区间[k,k+1)(k∈Z)上,函数f(x)都是增函数C.f-15<D.y=f(x)的定义域是R,值域是[0,1)5.(2020山西高平一中高一上期中,)已知函数f(x)=2x+ax.(1)若a=-2,求满足f(x)=0的x的集合;(2)若a=4,求证:f(x)在(2,+∞)上单调递增.题组二单调性的综合应用6.(2020黑龙江省实验中学高一上月考,)函数f(x)=ax+1x+2在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 (A.0,12C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)7.(2020河北承德高一上期末,)二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数,则实数a的取值范围为 ()A.15,+C.-∞,15 8.(2021江苏徐州一中高一上期中,)若f(x)=(7-a)x-3,x≤79.(2021北京一零一中学高一上期中,)函数f(x)=x2,x≥t,x,0<x<t(10.(2020湖南张家界高一上期末,)函数f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D上为非减函数.设f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足:①f(0)=0;②fx3=12f(x);③f(x)+f(1-x)=1.则f13=,f1811.(2021安徽合肥八中高一上期中,)定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0.(1)求证:fmn=f(m)-f(n(2)讨论函数f(x)的单调性,并说明理由;(3)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f(3x)>3.

答案全解全析基础过关练1.C由函数的单调性定义知,若函数f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D中结论都正确.由于x1,x2大小不确定,故选项C中结论不正确.2.A由题图可知,函数f(x)在[-1,2]上是“上升”的,则f(x)在[-1,2]上是单调递增的.故选A.3.D根据函数单调性的定义和性质来判断,A、B项中的“存在”“有无穷多”与定义中的“任意”不符,C项中也不能确定对任意x1<x2,x1,x2∈(I1∪I2),都有f(x1)<f(x2),只有D项是正确的,故选D.4.B对于A,函数分别在(-∞,1)及[1,+∞)上单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不符合题意;对于C,函数分别在(-∞,1)及(1,+∞)上单调递增,但存在x1>1,使f(x1)<f(1),故C不符合题意;对于D,函数分别在(-∞,0)及(0,+∞)上单调递减,但存在x1=-1,x2=1,使f(x1)<f(x2),故D不符合题意;只有B符合增函数的定义,具有单调性,故选B.5.C函数y=x2+x+2的图象是开口向上,且以直线x=-12为对称轴的抛物线故函数y=x2+x+2的单调递减区间是-∞,-12,故选6.C作出函数f(x)=|x2-6x+8|的图象,如图所示.由图象得,函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为(2,3)和(4,+∞),故选C.7.D对于A,f(x)=3-x为一次函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于B,f(x)=x2-3x为二次函数,在区间0,32上单调递减,不符合题意;对于C,f(x)=-|x|=-x,x≥0,x,x<0在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于D,f8.解析(1)函数f(x)的图象如图所示:(2)函数f(x)的定义域为R,单调递增区间为(-∞,-3)和(-1,0),单调递减区间为(-3,-1)和(0,+∞),值域为R.9.解析(1)由1-x2≠0,得x≠±1,即f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠±1}.(2)证明:f(x)=1+x21-x2任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=21-x12∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,1-x2<0,1-x1<0,1+x2>0,1+x1>0,x2+x1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.10.D由函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,得f(4)>f(π)>f(3)>f(-3)>f(-π)>f(-4),故选D.11.C因为函数f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),所以2m>-m+9,解得m>3.故选C.12.C要使f(x)在R上为减函数,必须同时满足3个条件:①g(x)=(3a-1)x+4a在(-∞,1)上为减函数;②h(x)=-x+1在[1,+∞)上为减函数;③g(1)≥h(1).所以3解得17≤a<113.答案(1)-1(2)-∞,-解析(1)∵f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[2-a,+∞),∴2-a=3,∴a=-1.(2)函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,对称轴方程为x=-2a-12,且函数在区间(-∞,2]上是减函数,∴2≤-2a-1易错警示注意函数在某区间是增(减)函数与函数的单调增(减)区间为某区间的区别,正确理解函数的单调性是解题关键.14.解析(1)由f(x)=x2-2x-3,得f(2)=22-2×2-3=-3<0,∴2∈C;f(3)=32-2×3-3=0,∴3∈B;f(4)=42-2×4-3=5>0,∴4∈A.故2∈C,3∈B,4∈A.(2)∵f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.由∃a∈R,∀x1,x2∈[a,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),得函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,∴[a,+∞)⊆[1,+∞),因此a≥1,即a的取值范围是{a|a≥1}.解题模板解决二次函数的单调性问题,其关键是确定二次函数图象的对称轴方程,确定对称轴方程后,发现单调区间与对称轴之间的关系是解题的突破口.15.解析(1)当x∈[0,3]时,画出函数y=f(x)=x2-4x+1的图象如图:由图象可知,f(x)的值域为[-3,1].(2)二次函数f(x)=x2-4x+1图象的对称轴为直线x=2.因为函数y=f(x)在区间[a,a+1]上单调,所以a≥2或a+1≤2,解得a≥2或a≤1,所以a的取值范围是{a|a≤1或a≥2}.16.解析(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤3a,即函数f(x)的定义域为-∞,(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1<a≤3.当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,且3-a×0≥0,此时a<0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].能力提升练1.D由一次函数的性质可知,y=-3x-1在区间(1,+∞)上为减函数,故A错误;由反比例函数的性质可知,y=2x在区间(1,+∞)上为减函数,故B错误;由二次函数的性质可知,y=x2-4x+5在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,当x>1时,y=x+1,函数在(1,+∞)上单调递增,故D正确.故选D.2.D由x2+3x≥0,得x≤-3或x≥0,即函数y=x2+3x的定义域为(-∞,-3]∪[0,+∞),又二次函数t=x2+3x图象的对称轴方程为x=-32,所以函数t=x2+3x(x∈(-∞,-3]∪[0,+∞))在区间(-∞,-3]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增,又函数y=t(t≥0)为增函数,所以函数y=3.D因为f(x)=1-x2+x+2,所以f(2-由-x2+3x>0,得0<x<3,所以y=f(2-x)的定义域为(0,3).又t=-x2+3x=-x-322+94(0<x<3)在区间0,32上单调递增,在区间32,3上单调递减,又y=1t(t>0)为减函数,所以函数4.ABD在A中,f(2019.67)=2019.67-2019=0.67,故选项A正确;在B中,任取x∈[k,k+1),则x=k+t,0≤t<1,因此f(x)=k+t-k=t=x-k,是增函数,故选项B正确;在C中,f-15=-15-(-1)=45,f15=15-0=15,而4在D中,显然f(x)的定义域为R,任取x∈[k,k+1)(k∈Z),则f(x)=x-k∈[0,1),故选项D正确.故选ABD.5.解析(1)当a=-2时,f(x)=2x-2x,令f(x)=2x-2x=0,解得x=±1,所以满足f(x)=0的x的集合为(2)证明:当a=4时,f(x)=2x+4x任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+4x1=2(x1-x2)+41=2(x1-x2)+4·x=2(x1-x2)1-∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,∴0<1x1x2<14,∴0<2∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(2,+∞)上单调递增.6.Bf(x)=ax+1x+2=a(x+2)-2a+1x+2=a+1-7.D∵二次函数f(x)在(-∞,4]上为减函数,∴a>0,1-aa≥48.答案[4,5]解析∵f(x)=(7-a)∴7解得4≤a≤5.∴实数a的取值范围是[4,5].故答案为[4,5].易