同济大学高等数学第七版1-3函数极限

同济大学高等数学第七版1-3函数极限第一页，共40页。自变量变化过程的六种形式:

根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：二、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，

一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势第二页，共40页。一、自变量趋向有限值时函数的极限

这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限。1xyo4第三页，共40页。怎样用数学语言刻划问题无限接近于确定值A？第四页，共40页。1.定义定义1设函数有定义.记作或恒有在点x0某去心邻域内第五页，共40页。注：(1)定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素：①正数ε，

②正数δ，

③不等式(3)δ与任意给定的正数ε有关。(2)有没有极限，与

在点是否有定义无关第六页，共40页。必存在x0的去心邻域对于此邻域内的x,对应的函数图形位于这一带形区域内.作出带形区域第七页，共40页。一般说来,应从不等式出发,推导出应小于怎这个正数就是要找的与相对应的这个推导常常是困难的.

但是,注意到我们不需要找最大的所以适当放大些,的式子,变成易于解出找到一个需要的找到就证明完毕.可把样的正数,第八页，共40页。证

这是证明吗？非常非常严格！例1第九页，共40页。例2证明证于是恒有第十页，共40页。例3分析：函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点是否有极限并无关系．证第十一页，共40页。例4证min可用保证第十二页，共40页。练习

证明证由于要使解出只要可取有解不等式,第十三页，共40页。3.左、右极限(单侧极限)例如,两种情况分别讨论!记作记作第十四页，共40页。左极限右极限使得时,或使得时,或记作记作第十五页，共40页。注且此性质常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限.第十六页，共40页。(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！

函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：第十七页，共40页。例5.

设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.第十八页，共40页。练习y=f(x)xOy11在x=1处的左、右极限.解第十九页，共40页。二、自变量趋向无穷大时函数的极限第二十页，共40页。第二十一页，共40页。第二十二页，共40页。第二十三页，共40页。第二十四页，共40页。第二十五页，共40页。第二十六页，共40页。返回第二十七页，共40页。通过上面演示实验的观察:如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.第二十八页，共40页。第二十九页，共40页。2.另两种情形Axfx=-¥®)(lim第三十页，共40页。解显然有可见和虽然都存在,但它们不相等.故不存在.例5

讨论极限是否存在?第三十一页，共40页。图形完全落在:的图形的水平渐近线(horizontalasymptote).则直线第三十二页，共40页。例6证成立.由极限的定义可知:第三十三页，共40页。例7证要使成立.只要有

解不等式第三十四页，共40页。练习试证证注意有为了使只要使有第三十五页，共40页。三、函数极限的性质

函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性)有极限,若在自变量的某种变化趋势下,则极限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有极限,则f(x)在上有界;f(x)有极限,且证明方法也类似.第三十六页，共40页。定理3(局部保号性)证(1)设A>0,取正数即有自己证第三十七页，共40页。只要取便可得更强的结论:证(1)也即(2)自己证.定理3(1)的证明中,不论定理

第三十八页，共40页。证

假设上述论断不成立,那么由(1)就有在该邻