考研数一历年真题可直接打印

二、(本题满分8分)

1987年全国硕士研究生入学统一考试1-X*

求正的常数。与"使等式lim---「.dt=1成立.

xTO/zr-sin/J。心+/

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题三、(本题满分7分)

中横线上)

(1)设/、g为连续可微函数，〃=f(x,xy),v^g(x+xy),求

(1)当x=_____________时，函数y=x-2x取得极小值.

dudv

dx'dx

(2)由曲线y=lnx与两直线y=e+l-x及y=0所围成的平面

(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中

图形的面积是_____________.

x=1-3or

(3)与两直线1y=—1+f及区=匕吆=三1都平行且过原

A=110，求矩阵B.

111

014

点的平面方程为一、__________.

z=2+/

四、(本题满分8分)

(4)设乙为取正向的圆周f+F=9,则曲线积分

求微分方程y"，+6/+(9+a2)/=l的通解，其中常数a>0.

L(2盯-2yMx+(x2-4x)dy=.

(5)已知三维向量空间的基底为五、选择题(本题共4小题,每小题3分满分12分.每小题给出的

四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括

api»(1,1,0),2=(1,0,1),3=。1/)，则向量6=(2,0,0)在此基底

号内)

下的坐标是.

(1)设lim/(')_〃")=-1,则在x=a处

(1一。)一

(A)/(x)的导数存在，且/'伍)*0(B)/(x)取(Qa"(D)a

得极大值

六'(本题满分10分)

(C)/(%)取得极小值(D)/(x)的

81

求幕级数£」一x"T的收敛域，并求其和函数.

导数不存在占〃2"

S

(2)设/(x)为已知连续函数,/=爪/(a)dx,其中f>0,s>0,则

/的值七、(本题满分10分)

(A)依赖于s和t(B)依赖于s、求曲面积分

f和X/=x(8y+Y)dydz+2(1—y2)dzdx-4yzdxdy,

(C)依赖于f、X,不依赖于s(D)依赖于s,

不依赖于f［7=Jy—11<y<3

其中Z是由曲线/(x)=j5_0一绕y轴旋转一周而

(3)设常数k〉0,则级数£(—1)"工

“=1巴7T

成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于］.

(A)发散(B)绝对收敛

(C)条件收敛(D)散敛性与八'(本题满分10分)

k的取值有关

设函数/(x)在闭区间［0,1］上可微，对于［0,1］上的每一个x,函数

(4)设A为”阶方阵，且A的行列式IAI=a*0,而A*是A的伴

/(x)的值都在开区间(0,1)内，且1,证明在(0,1)内有且仅有

随矩阵，则IA*I等于

一个x,使得/(x)=x.

(A)<2(B)-

a

九'(本题满分8分)

十一、(本题满分6分)

问凡。为何值时,现线性方程组

设随机变量x,y相互独立，其概率密度函数分别为

玉+々+*3+X4=P

x+2X+2X=110<x<lr->,y>0

234f(x)=_,/(：，)=e；，

~x-,+(a—3)七b八x0其它t0yvo

3X1+2X2+£+温=-1求z=2x+y的概率密度函数.

有唯一解，无解，有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

+'填空题(本题共3小题,每小题2分满分6分.把答案填在题中

横线上)

(1)设在一次实验中，事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,

则A至少发生一次的概率为;而事件A至多发生一次的

概率为.

(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4

个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,

再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为.已

知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球

是白球的概率为.

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为

1

/(x)则X的数学期望为,x的方差为

21<*一°,则的傅里叶(Fourier)级数在x=l处收敛于

年全国硕士研究生入学统一考试

1988x20<x<l

数学(一)试卷

(4)设4阶矩阵AoY^yBpYYy,4],=[,2,3,4],其中

一、(本题共3小题海小题5分满分15分)

(1)求幕级数£生?的收敛域.a%//,3,4均为4维列向量,且己知行列式性|=4,四=1,则行列式

"=]"3

|A+B|=.

⑵设/(%)=er,f[(p{x}]=1-xJ=L(p{x}>0^J(X)及其定义

域.三、选择题(本题共5小题海小题3分，满分15分.每小题给出的

四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括

(3)设Z为曲面x2+y2+z2=\的外侧，计算曲面积分

号内)

/=jjxJdydz+y^dzdx+z'dxdy.⑴设/(X)可导且r(x0)=；，则醺-o时，/(外在/处的微

分dy是

二'填空题(本题共4小题,每小题3分满分12分.把答案填在题

中横线上)(A)与Ar等价的无穷小(B)与Ax同

(1)若=limr(l+，产，则/⑴=_____________.阶的无穷小

Xfoo

x(C)比Ar低阶的无穷小(D)比Ax高阶的

(2)设/(x)连续且J；tf(t)dt=x,则/⑺=.无穷小

(2)设y=/(x)是方程y"—2y'+4y=0的一个解且

(3)设周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上定义为/(x)|=

V

/(X。)>0,/'(x0)=0,则函数/(x)在点/处

(A)取得极大值(B)取得极小

&[G网1女22+…+4s±0

值

(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内

出)6口(12L・・，5中任意两个向量均线性无关

单调减少

(3)设空间区域

Q:x2+y2+z2<7?2,z>O,Q,:x2+y2+z2<7?2,x>0,y>0,z>0,(C)a口a2,…，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示

则

中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

(D)a^a2,-S,

(A)jjjxdv=4JJJdv

(B)jjjydv=4jjj2

R7四、(本题满分6分)

(C)JJJz小=4"Jzdp

设〃=对、(土)+裕(马,其中函数/、具有二阶连续导数，求

AQzg

yx

d2iid2u

x二+)’

(4)设幕级数£a„(x-l)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处oxdxdy

n=l

(A)条件收敛(B)绝对收敛五、(本题满分8分)

(C)发散(D)收敛性不

设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y'+2y=2e\其图形在点

能确定

(5)n维向量组叫叫2,…，5(3«$<〃)线性无关的充要条件是(0,1)处的切线与曲线y=x2—x—i在该点处的切线重合，求函数

(A)存在一组不全为零的数占,左2,…人，使y=y(x).

六、(本题满分9分)九、(本题满分9分)

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为二(女>0为常

设函数f(x)在区间加上连续，且在(a,Z?)内有f\x)>0,证明:

r

数，r为A质点与M之间的距离)，质点M沿直线y=12x—f自在(a,b)内存在唯一的。使曲线y=/(x)与两直线y==a

5(2,0)运动到。(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所所围平面图形面积S,是曲线y=/(x)与两直线y==b所围

作的功.

平面图形面积$2的3倍.

七、(本题满分6分)

-10o--10O-十、填空题(本题共3小题,每小题2分满分6分.把答案填在题中

横线上)

己知AP=BP,其中B=000,p=2-10,求

(1)设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等,若已知4至少

00-1211

1Q

出现一次的概率等于—,则事件A在一次试验中出现的概率是

27

(2)若在区间(0,1)内任取两个数，则事件“两数之和小于的概

八'(本题满分8分)

'20O--200-率为.

(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，己知

己知矩阵A=001与8=0y0相似.

01x00-10(x)=「0(2.5)=0.9938,

(1)求x与y.J-

(2)求一个满足PAP=B的可逆阵P.则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为.

十一'（本题满分6分）

设随机变量X的概率密度函数为/x（x）=-二，求随机变量

乃（1一厂）

Y=T-逐的概率密度函数4（y）.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的

1989年全国硕士研究生入学统一考试四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括

号内)

数学(一)试卷(1)当x>0时，曲线y=xsin，

x

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有

中横线上)铅直渐近线

(D已知r(3)=2,则lim/(3-力)7(3)=____________(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水平

人-02/z渐近线，又无铅直渐近线

(2)设/(x)是连续函数，且/(x)=x+2(/Q)力，则(2)已知曲面Z=4—f—y2上点p处的切平面平行于平面

/“)=.2x+2y+z-l=0,则点的坐标是

(3)设平面曲线L为下半圆周y=-71-x2,则曲线积分(A)(1,-1,2)(B)(-l,l,2)

£(x2+y2)ds=.(0(1,1,2)

(4)向量场divw在点P(1,1,O)处的散度div“=.(D)(-l,-l,2)

'30O--100(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,

则该非齐次方程的通解是

⑸设矩阵A=140,1=010则矩阵

003001(A"*2y2+%

(A—21尸=.(B)c*+c2y2-(C1+C2)%

(C)c,%+c2y2-(l-c,-c2)y3

(2)设曲线积分［92公+)，9(外力,与路径无关，其中叭x)具有连

(D)cly1+c2y2+(l-cl-c2)y3

(4)设函数/(x)=x2,0<x<l,而续的导数，且夕(0)=0,计算

_Q0I。y叭Qdy的值.

S(x)=sin〃乃苍一oo<x<+oo,其中

n=l(3)计算三重积分+z)d匕其中。是由曲面z=不£+>”与

b=2,/(x)sinn兀xdx,〃=1,2,3,…，则S(—；)C

n等于

Z=，l—1-y2所围成的区域.

1

(A)——(B)--

24

(D)《四、(本题满分6分)

21+X

将函数/(x)=arctan----展为x的寨级数.

1-x

⑸设A是”阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中

(A)必有一列元素全为0(B)必有两列五'(本题满分7分)

元素对应成比例

设/(x)=sinx-J；(x-f)/(f)力，其中/为连续函数，求/(x).

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向

量是其余列向量的线性组合

六、(本题满分7分)

三、(本题共3小题海小题5分满分15分)证明方程lnx=之一「Jl-cos2xdx在区间(0,+oo)内有且仅有

e

(1)设1=f(2x-y)+g(x,孙)，其中函数/(f)二阶可导，g(“,v)

两个不同实根.

具有连续二阶偏导数，求三.

七、(本题满分6分)

dxdy

问4为何值时，线性方程组

P(A\JB)=.

r%,+x=2

3(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和

0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为.

J4%+x2+2X3=2+2

(3)若随机变量看在(1,6)上服从均匀分布,则方程F+Jx+1=0

6%1+x+4X=22+3

23有实根的概率是.

有解，并求出解的一般形式.

八'(本题满分8分)十一'(本题满分6分)

假设X为〃阶可逆矩阵A的一个特征值，证明设随机变量x与y独立，且x服从均值为1、标准差(均方差)为

(1)工为AT的特征值.

的正态分布，而y服从标准正态分布.试求随机变量

2

Z=2X—Y+3的概率密度函数.

(2)国为A的伴随矩阵A*的特征值.

2

九'(本题满分9分)

设半径为R的球面Z的球心在定球面V+y2+/=/①>0)

上，问当R为何值时，球面Z在定球面内部的那部分的面积最大？

十、填空题(本题共3小题,每小题2分满分6分.把答案填在题中

横线上)

⑴已知随机事件A的概率P(4)=0.5,随机事件3的概率

P(B)=0.6及条件概率P(5IA)=0.8,则和事件A\JB的概率

四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括

1990年全国硕士研究生入学统一考试号内)

⑴设/(x)是连续函数，且尸(x)=J；"⑺力，则F'(x)等于

数学(一)试卷

(A)-e-V(e-x)-/U)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题

中横线上)

(B)-e-V(e-r)+/(x)

'x=-t+2

(1)过点且与直线iy=3f-4垂直的平面方程是

(C)e-V(e-A)-/(x)

•L

(D)e-x/(e-v)+/(x)

z=t-l

x+〃

⑵设”为非零常数，则lim(-)v=___________.(2)已知函数/(x)具有任意阶导数，且/,(x)=[/(x)]2,则当〃为

28X-a

大于2的正整数时，/(x)的“阶导数/<n)(x)是

fl|x|<1

(3)设函数/(x)=\，则/"(x)]=_____________.

L°W>1(A)〃!"(x)产

(4)积分，dxfeTdy的值等于.(B)n[/(x)r+,

(5)已知向量组

(C)"(x)P

2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),

(D)〃!"(x)产

则该向量组的秩是.

二、选择题(本题共5小题海小题3分满分15分.每小题给出的(3)设。为常数,则级数1广吗⑷一。]

«=i«-y/n

(A)绝对收敛(B)条件收敛

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

(C)发散(D)收敛性与

cr'ln(l+x)

a的取值有关U(2T)2dx.

(4)已知/(%)在x=0的某个邻域内连续，且

(2)设z=/(2x-y,ysinx),其中/(w,v)具有连续的二阶偏导数,

/(0)=O,lim-〃£)-=2,则在点x=0处/(x)

1-cosX

(A)不可导(B)可导，且求

dxdy

/(0)70

(3)求微分方程y〃+4y'+4y=eN的通解(一般解).

(C)取得极大值(D)取得极小

值

四、(本题满分6分)

(5)己知1国、隹是非齐次线性方程组AX=)的两个不同的解

求基级数£(2〃+1)X"的收敛域，并求其和函数.

,3、是对应其次线性方程组AX=0的基础解析，匕、后为任意

a2n=0

常数，则方程组AX=8的通解(一般解)必是

五、(本题满分8分)

(A)Zra(x«A：(

l21求曲面积分

/=jjyzdzdx+2dxdy

(B)%a供i左2(1-2)+叱2s

其中5是球面/+y2+*=4外侧在z>0的部分.

©尢耶自左2(i+2)+喈？

(D)占即”2(1-2)+邮：21六、(本题满分7分)

九、(本题满分8分)

设不恒为常数的函数/(x)在闭区间［a,们上连续，在开区间

质点P沿着以A8为直径的半圆

(a,b)内可导，且/(a)=/(").证明在(a,b)内至少存在一点3使得周，从点4(1,2)运动到点5(3,4)的过

rc)>o.程中受变力F作用(见图).F的大小

等于点P与原点。之间的距离，其方

七、(本题满分6分)

向垂直于线段0P且与y轴正向的夹

设四阶矩阵

TT一

-1-10o-2134角小于X.求变力/对质点尸所作的

01-1002132

,c=功.

001-10021

00010002

且矩阵A满足关系式十、填空题(本题共3小题,每小题2分满分6分.把答案填在题中

横线上)

A(E-C"B)'C'=E

(1)已知随机变量X的概率密度函数

“、1-W

其中E为四阶单位矩阵,C1表示C的逆矩阵，C'表示C的转置矩阵.j(%)=—e!,-oo<%<+00

将上述关系式化简并求矩阵A.

则X的概率分布函数产(x)=.

八'(本题满分8分)(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,

求一个正交变换化二次型

若8表示8的对立事件，那么积事件A片的概率

/=X；+-4.x,x2+4x,x3-8x2x3成标准型.

P(AB)=.

(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,

2*e-2

即P{X=%}=—^,4=0,1,2,…，则随机变量Z=3X—2的数学

k\

期望E(Z)=.

十一'(本题满分6分)

设二