专题72 空间点、直线、平面间的位置关系(解析版)

第七篇立体几何与空间向量专题7.02空间点、直线、平面间的位置关系【考纲要求】理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.【命题趋势】空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力.【核心素养】本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理的核心素养。【素养清单•基础知识】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．2．空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系［平行，共面直线｛如亠〔相父；异面直线：不同在任何一个平面内.异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aIIa,b‘〃b,把a'与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围：②范围：平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补直线与平面、平面与平面之间的位置关系

图形语言符号语言公共点直线与面相交^\~7aA«=A1个平行A, /a〃a0个在平面内aa无数个平面与面平行北一 / 7allB0个相交aOB=l无数个【素养清单•常用结论】1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线3．唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直【真题体验】【2019年高考全国II卷理数】设aB为两个平面，则allB的充要条件是A.a内有无数条直线与B平行 B.a内有两条相交直线与B平行C.aB平行于同一条直线 D.aB垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与0平行是么〃卩的充分条件，由面面平行性质定理知，若a〃卩，则a内任意一条直线都与卩平行，所以a内两条相交直线都与卩平行是a〃卩的必要条件，故选B.【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若aua,bu0,a〃b，则a〃卩”此类的错误.【2019年高考全国III卷理数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD丄平面ABCD,M是线段ED的中点，则BM=EN,且直线BM，EN是相交直线BM^EN,且直线BM，EN是相交直线BM=EN,且直线BM，EN是异面直线BM^EN,且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO丄CD于O，连接ON,BD,易得直线BM,EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF丄OD于F，连接BFt平面CDE丄平面ABCD,EO丄CD,EOu平面CDE,:.EO丄平面ABCD,MF丄平面ABCD:.△MFB与AEON均为直角三角形.设正方形边长为2,易知EO=运,ON=1,EN二2MF二遇,BF=5,「.BM=茴，二BM丰EN，故选B.22EBMDAEBMDA【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.3.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）.记直线PB与直线AC所成的角为久直线PB与平面ABC所成的角为〃，二面角P-AC-B的平面角为卩，则A.0<y，a<Y B.B<a，0<YC.B<a，Y<a D.a邙,Y邙【答案】B【解析】如图，G为AC中点，连接VG,V在底面ABC的投影为O,则p在底面的投影D在线段AO上,过D作DE垂直于AC于E,连接PE,BD,易得PE^VG,过p作PF^AC交VG于F,连接BF,过D作DH^AC，交BG于H，则以=，BPF,P=ZPBD,y=APED，结合△PFB,△BDH,△PDB均为直PFEGDHBD角三角形，可得cosa= — — < —cos卩，即a>BPBPBPBPBPDPD在RZED中，tany— > —tan卩，即丫>卩，综上所述，答案为B.EDBD【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.【2019年高考北京卷理数】已知l,m是平面Q外的两条不同直线.给出下列三个论断：l丄m；②m//么；@7丄么.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．【答案】如果l丄Q,m/a，则l丄m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：如果l丄a,m/a,则l丄m,正确；如果l丄a,l丄m,则m/a，不正确，有可能m在平面a内；如果l丄m,m/a，则l丄a,不正确，有可能l与a斜交、l/a.故答案为：如果l丄a,m/a,则l±m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断,分别作为条件、结论加以分析即可.【2018年高考浙江卷】已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为竹，SE与平面ABCD所成的角为乞，二面角S-AB-C的平面角为％,贝VA.华每望 B.&戸列1c.B戸戸2 D.e步1【答案】D【解析】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF,交CD于F,过O作ON垂直EF于N,连接SO,SN,SE,SM,OM,OE,则SO垂直于底面ABCD,OM垂直于AB,因此zsen,zseo ,zsmo,1 2 3

从而ta叫二ENSO从而ta叫二ENSOEO,tan0SOOM因为SN>SO,EO>OM，所以ta叫>ta叫>tan%即耳迄这故选D.【名师点睛】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.【2017年高考全国III卷理数】a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角;直线AB与a所成角的最小值为45°；直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】设AC=BC=1•由题意，AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由AC丄a,AC丄b又AC丄圆锥底面，所以在底面内可以过点B,作BD〃a，交底面圆C于点D,如图所示，连接DE,贝DE1BD:.DE〃b，连接AD,等腰AABD中，AB=AD=迈,当直线AB与a成60°角时，乙ABD二60O故BD=、迈，又在RtABDE中，BE二2,「.DE二迈，过点B作BF〃DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=J2,・・・△ABF为等边三角形，:.厶ABF二60,即AB与b成60°角，②正确,0①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC丄直线a,则直线AB与a所成角的最大值为90°,④错误.故正确的是②③.【名师点睛】(1)平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；r0n取舍：由异面直线所成的角的取值范围是［°，2」，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.【考法拓展题型解码】考法一平面的基本性质及应用解题技巧用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【例1】以下四个命题中，正确命题的个数是( )不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，贝A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面．【答案】B【解析】①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A,B,C三点共线，则A,B,C,D,E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图所示，显然b,c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．故选B.【例2】已知空间四边形ABCD(如图所示)，E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,11E,F,G,H四点共面；直线FH,EG,AC共点．【答案】见解析1【解析】证明⑴连接EF,GH.因为E,F分别是AB,AD的中点，所以EF//BD.又因为CG»BC,CH=13DC,所以GH〃BD,所以EF〃GH,所以E,F,G,H四点共面.⑵由(1)知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FH^AC=M,所以MW平面EFHG,MW平面ABC.又因为平面EFHGA平面ABC=EG,所以MWEG.所以FH,EG,AC三线共点.考法二空间两条直线的位置关系解题技巧判断空间两条直线的位置关系的方法异面直线,可采用直接法或反证法.平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【例3】(1)若直线l］和l2是异面直线，l］在平面a内，l2在平面B内，l是平面a与平面B的交线，则下列命题正确的是( )l与l］，12都不相交l与l］，l2都相交l至多与l1，l2中的一条相交l至少与l］，l2中的一条相交【答案】D【解析】A项，如图1所示，l2与l相交，故A项错误；B项，如图1所示，l］〃l,人与l不相交，故B项错误；C项，如图2所示，l分别与l1，l2相交，故C项错误；D项，假设l与l1，l2不相交，因为l与l1共面且l与l2共面，所以l］〃l〃l2，这与l1，l2为异面直线相矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，故D项正确.故选D.(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB,CD，EF，GH所在的直线在原正方体中互为异面直线的对数为 对.【答案】3【解析】平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面直线的有且只有3对.考法三两条异面直线所成角归纳总结两异面直线所成角的作法及求解步骤找异面直线所成角的三种方法：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.求异面直线所成角的三个步骤：

①作：通过作平行线，得到相交直线;证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角;算：通过解三角形，求出该角.【例4】（1）（2018-全国卷II）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC］的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）2A.2D.¥【答案】C【解析】取DD1中点F,连EF,AF,AE,易知EF〃DC,所以ZAEF为两异面直线所成的角.在RtMEF运 AF逅中，令正方体棱长为1,则EF=1,AF=2，所以tanZAEF=EF=2.故选C.I I A B⑵（2017•全国卷II）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZABC=120。，AB=2,BC=CC=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）\115B.\115B.53

D.3A.2C.5答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接AD,BD,则AD1//BC,所以ZBg或其补角为异面直线AB1与BC所成的角.因为ZABC=120°,AB=2,BC=CC=1,所以AB=X'5,AD]=£.在△B1D1C1中,ZB1C1D1=60°,B1C1=1,DC=2,所以Bp=5+2—3 \；1012+22—2x1x2xcos60。=\''3,所以cosZB1AD1=2^1,5^2=5.故选C.易错警示】易错警示】易错点忽视异面直线所成角的范围而出错【典例】如图所示，已知空间四边形ABCD,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30。，求BC与AD所成的角.

【错解】：如图，连接BD,并取中点E,连接EN,EM,则EN//BC,ME^AD，故ZENM为BC与MN所成的角，/MEN为BC与AD所成的角，所以ZENM=30°.又由AD=BC,知ME=EN,所以ZEMN=ZENM=30°,所以ZMEN=180。一30。一30。=120。，即BC与AD所成的角为120°.【错因分析】：异面直线所成的角的范围是（0°,90°],因此在未判断出ZMEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，如果ZMEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.【正解】：以上同错解，求得ZMEN=120°,即BC与AD所成的角为60°.误区防范求异面直线所成的角的时候,要注意它的取值范围是（0°,90°]．两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时,容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角．B．45°【跟踪训练】（2019・浙江普通高中学业水平考试）如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1±AB,AA]丄AC.BC—1'2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为B．45°C．60° D．90°【答案】C【解析】根据题意，得BC/B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A&所成的角.在题图中，连接A]B,在△ABC中，BC=A]C=A]B=V2，故ZA1CB=60°,即异面直线A1C与B^所成的角为60°【递进题组】1．下列命题中正确的个数是（ ）过异面直线a,b外一点P有且只有一个平面与a,b都平行；异面直线a,b在平面a内的射影相互垂直，则a丄b；直线a,b分别在平面a,B内，且a丄b,则a丄〃.A．0 B．1D．3C．2D．3【答案】A【解析】对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图所示的三棱锥P—ABC中，PB丄平面ABC,BA丄BC,满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；对于③，直线a，b则a，B可以平行，故③错误.所以正确命题的个数为则a，B可以平行，故③错误.所以正确命题的个数为0•故选A.2．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )两条相交直线 B.两条平行直线C.两个点 D.—条直线和直线外一点【答案】C【解析】如图，在正方体ABCD—EFGH中，M，N分别为BF,DH的中点，连接MN,DE，CF，EG•当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC,是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B,是一条直线和一个点.故选C.H GRNA B3.已知正方体ABCD-ABCDV(1)求AC与A1D所成角的大小；⑵若E,F分别为AB,AD的中点，求A1Cl与EF所成角的大小.【答案】见解析【解析】⑴如图1所示，连接B1C.由ABCD—A1B1ClD1是正方体易知AD^BC,从而ABCA(或其补角)就是AC与AD所成的角.因为AB1=AC=B1C,所以ZB1CA=60°,即AC与AD所成的角为60°.图1 图2(2)如图2所示，连接AC,BD,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC丄BD,AC〃A]C].因为E,F分别为AB,AD的中点，所以EF〃BD.所以EF丄AC.所以EF丄A^，即A^与EF所成的角为90°.考卷送检】

一、选择题（2019・武邑中学月考）下列命题正确的是（）两个平面如果有公共点，那么一定相交两个平面的公共点一定共线两个平面有3个公共点一定重合过空间任意三点，一定有一个平面【答案】D【解析】如果两个平面重合，则排除A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点.设a，b是平面a内两条不同的直线，l是平面a外的一条直线，贝V“1丄a,l丄b”是“l丄龙啲（ ）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直线a，b平行时，由“1丄a,1丄b”n/“1丄a”；“1丄a”h1丄a，1丄b”，所以“1丄a，1丄b”是“1丄a”的必要不充分条件.C.A，M，C，O不共面3•如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是BRC.A，M，C，O不共面B.A，M，O，A1不共面D.B，B1，O，M共面答案】A【解析】连接A1C1，AC,则A]C]〃AC,所以A],C1，C，A四点共面.所以AQu平面ACC*].因为MGA1C，所以MG平面ACC*].又MG平面AB1D1，所以M为平面ACC^A1与ABR的公共点.同理，O,A为平面ACC*]与平面AB1D1的公共点.所以A,M,O三点共线.4•正方体A1C中，E,F分别是线段BC,CD]的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A.相交 B.异面C.平行DC.平行【答案】A【解析】如图所示，直线A]B与直线外一点E确定的平面为A]BCD1，EFu平面A]BCD],且两直线不平行，故两直线相交.

5.（2017•全国卷I）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）DD【答案】A【解析】对于B项，如图所示，连接CD,因为AB〃CD,M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ〃CD,所以AB〃MQ,又AB©平面MNQ,MQu平面MNQ,所以AB〃平面MNQ,同理可证，C,D项中均有AB〃平面MNQ.故选A.6.（2019・绵阳二中月考）空间四边形ABCD中，AB,BC,CD的中点分别为P,Q,R,且AC=4,BD=2^5,PR=3,则AC和BD所成的角为（A.90°B.60°A.90°B.60°C.45°D.30°答案】A【解析】如图，P【解析】如图，P,Q,R分别为AB,BC,CD中点,所以PQ〃AC,QR〃BD,所以ZPQR为AC和BD所成的角.又PQ所成的角.又PQ=2AC=2,QR=2bD=\^，RP=3,所以PR2=PQ2+QR2，所以ZPQR=90°,即AC和BD所成的角为90°•故选A.已知a,b为异面直线，直线c〃a,则直线c与b的位置关系 .【答案】相交或异面【解析】直线的位置关系有三种：相交、异面、平行.因为a,b为异面直线，c〃a,所以c与b不平行,故c与b可能相交或异面.（2019・长治二中月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的 （填序号）.直线AC1在平面CC1B1B内；设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1，则平面AA&&与平面BBRD的交线为OO^由A,C1，B1确定的平面是ADC1B1；由A,C1，B1确定的平面与由A,C1，D确定的平面是同一个平面.【答案】②③④②正确，如图所示，因为OW直线ACu平面AA1C1C,OW直线BDu平面BBRD,O占直线A^u平面AA1C1C,O占直线B1D1U平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BBRD的交线为OO］；③④都正确，因为AD〃B］C］且AD=B1C1，所以四边形ABCD是平行四边形，所以A,B1，C1，D共面.9•如图所示，正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为 【答案】2【解析】如图，取BC的中点H连接FH,AH所以BE//FH，所以ZAFH即为异面直线AF与BE所成的角.过A作AG丄EF于G,则G为EF的中点.连接HG,HE,贝△HGE是直角三角形.设正方形边长返 /__1血 /51为2,则EF=、h,HE=V2,EG=2，所以HG=2+2=2，所以AH=\；2+2h月.由余弦定理知AQ+HF2—AH2 12+22—3 1cosZAFH= 2^AFHF~=2x1x2=2..4三、解答题10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别是棱CD,CC1的中点，求异面直线A^M与DN所成的角的大小．答案】见解析【解析】如图，连接D]M,可证D]M丄DN.又因为Ap丄DN,A1D1，MD1平面A1MD1，AD^CMD^D,所以DN丄平面A1MD1，所以DN丄A]M，即异面直线A