【金版学案】高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第五节椭圆(一)理

第五节椭圆(一)1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.理解数形联合的思想.知识梳理一、椭圆的定义12的距离的和等于定长2a(2a>|F1F2平面内与两定点F，F|)的点的轨迹叫做____________，即点集＝{||1|＋|2|＝22＞|12|}是椭圆．此中两定点1，2叫MPPFPFa,aFFFF做___________，定点间的距离叫做____________(注意：2a＝|F1F2|时，点的轨迹为线段F1F2,2a<|F1F2|时，无轨迹)．答案：椭圆焦点焦距二、椭圆的标准方程x2y2y2x2焦点在x轴上：a2＋b2＝1(a>b>0)；焦点在y轴上：a2＋b2＝1(a>b>0)．三、椭圆的标准方程、性质222＋x2标准方程x2＋y2＝1(a>b>0)y22＝1(a>b>0)abab图形中心(0,0)(0,0)焦点F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)1212极点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长长轴|AA|的长2a，短轴|BB|的长2b，|BO|＝b，|OF|＝c，|BF|＝a12122222c离心率e＝a(0<e<1)范围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b对称性对称轴方程为x＝0，＝0；对称中心为(0,0)yOa，b，c的关系c2＝a2－b2基础自测1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()33A.2B.422C.2D.322x2y21223分析：先将x＋4y＝1化为标准方程1＋1＝1，则a＝1，b＝2，c＝a－b＝2.43因此离心率e＝a＝2.应选A.答案：A2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰巧将长轴三均分，则此椭圆的方程是()x2y281＋72＝1x2y281＋9＝1x2y281＋45＝1x2y2＋＝181361分析：依题意知，2a＝18，∴a＝9,2c＝3×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，x2y2∴椭圆方程为81＋72＝1.应选A.答案：A，2是椭圆x2＋y23．(2013·扬州模拟)已知1＝1的两焦点，过点2的直线交椭圆于，FF169FAB两点．在△1中，如有两边之和是10，则第三边的长度为________．AFB分析：依据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：64．椭圆3x2＋ky2＝3的一个焦点是(0，2)，则k＝________.222y2232分析：方程3x＋ky＝3可化为x＋3＝1，a＝k>1＝b，k2223c＝a－b＝k－1＝2，解得k＝1.答案：1x2y21．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()x2y2x2y2A.45＋36＝1B.36＋27＝1x2y2x2y2C.27＋18＝1D.18＋9＝1分析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2①－②得a2＋b2＝0，y－y2＋x22222212因此1k＝3－1＝2，＝2，又9＝c＝a－b，解得＝2，又＝＝－AB2xxayyaa22x2y2b＝9，a＝18，因此椭圆方程为＋＝1，应选D.189答案：D2．如下图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一4点，且|MD|＝5|PD|.(1)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；4(2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被C所截线段的长度.分析：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，xP＝x，5x2y2由已知得522＝1.∵点P在圆上，∴x＋y＝25，即轨迹C的方程为＋yP＝4y.42516(2)过点(3,0)44112且斜率为5的直线方程为y＝5(x－3)．设直线与C的交点为A(x，y)，B(x，4x2x－322y2)，将直线方程y＝5(x－3)代入C的方程，得25＋25＝1，即x－3x－8＝0.∴x1＝3－413＋41，x2＝2.2∴线段AB1221－y2216x122的长度为＝＝|AB|＝x－x＋y25－x414125×41＝5.x2y21．设F1，F2分别是椭圆25＋16＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为______．分析：|1|＋|2|＝10，|1|＝10－|2|，||＋|1|＝10＋||－|2|.PFPFPFPFPMPFPMPF易知点M在椭圆外，连结MF并延伸交椭圆于点P，此时|PM|－|PF|取最大值|MF|，故222|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：151：x223，连结椭圆的四2．(2013·茂名一模)已知椭圆2＋y2＝1(a>0，>0)的离心率为Cabb3个极点获得的四边形的面积为26.求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C的左焦点为F，右焦点为F，直线l1过点F且垂直于椭圆的长轴，动直线1121l2垂直l1于点，线段2的垂直均分线交l2于点，求点的轨迹2的方程；PPFMMC设O为坐标原点，取C2上不一样于O的点S，以OS为直径作圆与C2订交此外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．c3a＝3，a＝3，分析：(1)由题意可知a2＝b2＋c2，解得b＝2，1c＝1.2×2a×2b＝26，1x2y2因此椭圆C的方程是3＋2＝1.由于|MP|＝|MF2|距离，因此动点M的轨迹

，因此动点M到定直线l：x＝－1的距离等于它到定点F(1,0)的122是以l1为准线，2为焦点的抛物线，CF22因此点M的轨迹C的方程y＝4x.(3)由于以OS为直径的圆与→→C2订交于点R，因此∠ORS＝90°，即OR·RS＝0.→→，y2)．设S(x1，y1)，R(x2，y2)，SR＝(x2－x1，y2－y1)，OR＝(x2→→y2222因此OR·SR＝x2(x2－x1)＋y2(y2－y1)＝2116＋y2(y2－y1)＝0，16由于y1≠y2，y2≠0，化简得y1＝－y2＋y2，因此y222562256＝y＋＋32≥2y·＋32＝64，12y22y2225622＝±4时等号