计算机控制系统第六章

第四节限制器的设计一、分别性原理限制对象：（1）最优反馈限制规律（限制器）：（2）离散性能指标：连续性能指标：（3）（4）1、LQ系统：确定性系统干脆状态反馈的最优限制系统。限制对象：（5）LQG系统限制器：（6）2、LQG系统：随机性估计状态反馈的最优限制系统。问题：（1）由上述对象和限制器组成的闭环限制系统是否仍是最优限制系统？（2）假如仍是最优限制系统，使何种性能指标最优？可以证明，由（5）（6）两式组成的LQG系统仍旧是最优限制系统，它使如下的离散性能指标达到最优：（7）其最小值为：（8）（9）其最小值为：（10）使如下的连续性能指标达到最优其中上述便是著名的分别性原理。（11）由分别性原理，LQG限制器的设计可以分为两个独立的部分：（1）最优限制规律的设计。在设计最优限制规律时，可以将系统看作确定性系统而不考虑随机的过程干扰何测量噪声，同时认为全部状态可用于反馈。（2）状态最优估计的计算。考虑随机的过程干扰和测量噪声，状态最优估计的计算与性能指标中加权矩阵的选择无关。分别性原理的运用：LQ系统与LQG系统的区分：（1）在LQ系统中，考虑的是系统对非零初始条件的响应性能，性能指标Jd

由无穷多项相加，Jc

是在无穷大区间上积分，但Jd

和Jc皆为有限数；在LQG系统中，考虑的是系统在平稳状态时抗随机干扰和测量噪声的性能，由于随机干扰和测量噪声的影响，因此在性能指标中只取时的一项，在中只取时一个采样周期内积分的平均值。（2）LQ系统考虑的是确定性系统，Jd

和Jc

表达式中的各量均为确定量；

LQG系统考虑的是随机系统，系统中各量均为随机量，因此在性能指标和均取数学期望。LQG系统闭环极点的分布状况：结合（5）（6）式并整理，得到整个系统的状态方程为：（12）（13）其中从而得到闭环系统的特征方程为：（其次列加到第一列）（其次行减去第一行）（14）其中为LQ系统的闭环极点。由上节公式（9）（12）得到（15）明显为状态估计器的极点。因此LQG系统的闭环极点由两部分组成：（1）LQ系统的极点；（2）状态估计器的极点。二、积分限制的引入（PI限制器的设计）问题的提出：前面所设计的调整系统的限制器（r(k)=0），其目的在于使系统从非零的初始条件回到零状态时具有满足的响应性能，即所设计的系统对脉冲型干扰具有很好的抑制作用，但对于阶跃或常值干扰，将具有稳态误差。缘由分析：限制规律为比例反馈（线性反馈），限制器中没有积分作用。解决方法：限制规律中引入积分作用，设计成PI限制器。设限制对象的离散状态方程为：（16）其中为阶跃型干扰，即（17）（18）定义各量的差分为：明显，当时，有。对式（16）两边取差分得到：（22）（19）（20）令，结合式（19）（21），得到关于z(k)的状态方程：即：（21）其中：（23）设取二次型性能指标为：（24）其中Q1

是非负定对称阵，Q2

是正定对称阵。假定是能稳定的，且设D

为能使DTD=Q1

成立的任何矩阵，同时假定是能检测的。式（22）和（24）是标准的最优调整器问题，依据定理1可以求得：（25）（26）（27）由式（25）得到其中是相应的分块矩阵。（28）由式（22）和（24）组成的标准最优调整器问题，由于假设了是能稳定的，是能检测的，因此依据定理1，该最优反馈限制系统是渐进稳定的，即从而（29），即系统对常值干扰无稳态误差。对（28）式两边做求和运算，得到：（30）忽视初始条件x(0)与u(0)，实际限制规律为：（31）可见，u(k)由两部分组成，一部分是状态的比例调整，另一部分是输出量的积分反馈，通常称这样的调整器为PI最优调整器，其结构图如下图所示：Cu(k)+x(k)y(k)+-L2-L1PI调整器图1接受最优状态估计器（Kalman滤波）来重构系统的全部状态后，PI调整器变为：u(k)+y(k)+-L2-L1PI调整器图2最优估计器限制对象基于二次型性能指标函数设计调整系统PI限制器步骤如下：（1）按式（23）组成矩阵；（2）给定二次型性能指标函数，并合适地给定加权矩阵Q1，Q2；（3）针对状态方程式（22），按最优限制设计出限制规律；（4）选择最优估计器的类型（预报估计器，现时估计器）；（5）应用Kalman滤波公式计算出最优估计器增益矩阵K；（6）按图2的结构图组成PI调整器。由第三章的内容可知，引入参考输入后限制器的标准状态方程为：（32）当接受现时的Kalman滤波时（相当于现时预报观测器）有：（33）（一）一般跟踪系统第五节跟踪系统设计当接受一步预报的Kalman滤波时有：（34）依据一般结构限制器标准状态方程，按如下三种方式引入参考输入，增益矩阵M和N的选择方法如下：1、方式1，即参考输入的引入不影响观测器的状态重构的状况。对于现时Kalman滤波器，有（35）对于一步预报的Kalman滤波器，有（36）（1）的选择：（2）N的选择：（37）若对象中包含积分环节，上式简化为：（38）2、方式2，即仅用误差进行限制，此时有（39）3、方式3（只适合单输入/输出系统）：随意选择M和N，以满足零点配置及静态精度的要求。若给定D1(z)的零点多项式，则有由此得到：（40）（41）N值由（37）式或（38）式确定。（二）积分限制的引入问题的提出：系统对脉冲型干扰具有很好的抑制作用，但对于阶跃或常值干扰，将具有稳态误差。缘由分析：限制规律为比例反馈（线性反馈），限制器中没有积分作用。解决方法：限制规律中引入积分作用。由前述积分限制的引入内容（参考图1），不考虑状态估计器，可以得到引入参考输入时相应的跟踪系统的结构图如图3。Cu(k)+x(k)y(k)_L2L1限制器图3包含积分限制的跟踪系统结构图ue(k)+_e(k)r(k)依据图3，得到限制器方程为：（49）其中L1和L2仍按第一节介绍的PI调整器的方法进行设计。对于这样的限制器结构，对于常值参考输入以及在常值干扰作用下，均不存在稳态误差。图5中，仍旧要求全部状态干脆反馈，这在实